全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.4指数函数课件理

1、第四节指数函数【知识梳理【知识梳理】1.1.根式根式(1)(1)根式的概念根式的概念若若_,_,则则x x叫做叫做a a的的n n次方根次方根, ,其中其中n1n1且且nNnN* *. .式子式子 叫做根式叫做根式, ,这里这里n n叫做根指数叫做根指数,a,a叫做被开方数叫做被开方数. .x xn n=a=anaa a的的n n次方根的表示次方根的表示: :x xn n=a=ax x= = ( (当当n n为奇数且为奇数且nNnN* *时时),),_(_(当当n n为偶数且为偶数且nNnN* *时时). ). nana(2)(2)根式的性质根式的性质( )( )n n=a(nN=a(nN*

2、*).).naa,a0,a,a0,-a,a-a,a0, 0,m,nN: =_(a0,m,nN* *, ,且且n1);n1);负分数指数幂负分数指数幂: =_= (a0,m,nN: =_= (a0,m,nN* *, ,且且n1);n1);0 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_,0_,0的负分数指数幂的负分数指数幂_._.mnamnamnamn1amn1a0 0无意义无意义(2)(2)有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质: :a ar ra as s=_(a0,r,sQ);=_(a0,r,sQ);(a(ar r) )s s=_(a0,r,sQ);=_(a0,r,sQ);(ab)(ab

3、)r r=_(a0,b0,rQ).=_(a0,b0,rQ).a ar+sr+sa arsrsa ar rb br r3.3.指数函数的图象及性质指数函数的图象及性质函数函数y=ay=ax x(a(a0,0,且且a1)a1)图象图象0a10a1a1图象图象特征特征在在x x轴轴_,_,过定点过定点_当当x x逐渐增大时逐渐增大时, ,图象图象逐渐下降逐渐下降当当x x逐渐增大时逐渐增大时, ,图象逐图象逐渐上升渐上升上方上方(0,1)(0,1)函数函数y=ay=ax x(a(a0,0,且且a1)a1)性性质质定义定义域域_值域值域_单调单调性性_函数函数值变值变化规化规律律当当x=0 x=0时时

4、,_,_当当x0 x0 x0时时,_,_当当x0 x0 x0时时,_,_R R(0,+)(0,+)减减增增y=1y=1y1y10y10y10y10y1y1【特别提醒【特别提醒】1.1.指数函数图象画法的三个关键点指数函数图象画法的三个关键点画指数函数画指数函数y=ay=ax x(a(a0,0,且且a1)a1)的图象的图象, ,应抓住三个关键应抓住三个关键点点:(1,a),(0,1),:(1,a),(0,1),1( 1, ).a2.2.指数函数的图象与底数大小的比较指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数如图是指数函数(1)y=a(1)y=ax x, ,(2)y=b(2)y=bx x,(3)

5、y=c,(3)y=cx x,(4)y=d,(4)y=dx x的图象的图象, ,底数底数a,b,c,da,b,c,d与与1 1之间的大小关系为之间的大小关系为cd1ab.cd1ab.由此我们可得到以下规律由此我们可得到以下规律: :在在y y轴右轴右( (左左) )侧图象越高侧图象越高( (低低),),其底数越大其底数越大. .【小题快练【小题快练】链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(必修必修1P561P56例例6 6改编改编) )若函数若函数f(x)=af(x)=ax x(a(a0,0,且且a1)a1)的的图象经过点图象经过点A( ),A( ),则则f(-1)=_.f(-1)=_.123，

6、【解析【解析】依题意可知依题意可知a a2 2= ,= ,解得解得a=a=所以所以f(xf(x)=( )=( )x x, ,所以所以f(-1)=( )f(-1)=( )-1-1= =答案答案: :1333，33333.32.(2.(必修必修1P60B1P60B组组T1T1改编改编) )若函数若函数y=(ay=(a2 2-1)-1)x x在在R R上为增函上为增函数数, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】由由y=(ay=(a2 2-1)-1)x x在在(-(-,+,+) )上为增函数上为增函数, ,得得a a2 2- -11,11,解得解得a a 或或a- .a

7、a 或或a-a0,a1)(a0,a1)的图象的图象恒过点恒过点A,A,下列函数中图象不经过点下列函数中图象不经过点A A的是的是( () )A.yA.y= = B.yB.y=|x-2|=|x-2|C.yC.y=2=2x x-1 D.y-1 D.y=log=log2 2(2x)(2x)1 x【解析【解析】选选A.A.由由f(xf(x)=a)=ax-1x-1(a0,a(a0,a1)1)的图象恒过点的图象恒过点(1,1),(1,1),又又0= ,0= ,知知(1,1)(1,1)不在不在y= y= 的图象上的图象上. .1 11 x4.(20164.(2016唐山模拟唐山模拟) )函数函数y=ay=a

8、x x- (a0,- (a0,且且a1)a1)的图象的图象可能是可能是( () )1a【解析【解析】选选D.D.方法一方法一: :当当a1a1时时,y=a,y=ax x- - 为增函数为增函数, ,且在且在y y轴上的截距为轴上的截距为01- 1,01- 1,此时四个选项均不对此时四个选项均不对; ;当当0a10a0,- (a0,且且a1)a1)的图象必过点的图象必过点(-1,0),(-1,0),所以选所以选D.D.1a1a1a1a1a5.(20165.(2016黄山模拟黄山模拟) )计算计算: =_.: =_.【解析【解析】原式原式= = =2 =23=6.3=6.答案答案: :6 6632

9、 31.512111111113633632232 3( )122 332322 1 11 1 113 32 3 623 考向一考向一指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值【典例【典例1 1】(1)(1)化简化简: (x0,y0)=_.: (x0,y0)=_.(2)(2)计算计算: +0.002 -10( -2): +0.002 -10( -2)-1-1+0 0. .844216x y2x y2327()8125【解题导引【解题导引】(1)(1)将根式化为分数指数幂将根式化为分数指数幂, ,然后利用幂然后利用幂的运算性质进行计算的运算性质进行计算. .(2)(2)将负分数指数幂化为正分数指数幂将

10、负分数指数幂化为正分数指数幂, ,然后利用幂的然后利用幂的运算性质进行计算运算性质进行计算. .【规范解答【规范解答】(1)(1)答案答案: :-1-118484442216x y(16x y )2x y2x y148424222 ( x) ( y)2( x) ( y)1.2x y2x y(2)(2)原式原式= =213227110()()185005 221328()50010( 5 2) 127416710 5 10 5 20 1.99 【规律方法【规律方法】指数幂的运算规律指数幂的运算规律(1)(1)有括号的先算括号里的有括号的先算括号里的, ,无括号的先算指数运算无括号的先算指数运算.

11、 .(2)(2)先乘除后加减先乘除后加减, ,负指数幂化成正指数幂的倒数负指数幂化成正指数幂的倒数. .(3)(3)底数是负数底数是负数, ,先确定符号先确定符号, ,底数是小数底数是小数, ,先化成分数先化成分数, ,底数是带分数的底数是带分数的, ,先化成假分数先化成假分数. .(4)(4)若是根式若是根式, ,应化为分数指数幂应化为分数指数幂, ,尽可能用幂的形式表尽可能用幂的形式表示示, ,运用指数幂的运算性质来解答运用指数幂的运算性质来解答. .易错提醒易错提醒: :运算结果不能同时含有根号和分数指数运算结果不能同时含有根号和分数指数, ,也也不能既有分母又含有负指数不能既有分母又含

12、有负指数, ,形式力求统一形式力求统一. .【变式训练【变式训练】化简下列各式化简下列各式( (其中各字母均为正数其中各字母均为正数):):(1)(1)(2)(2)112032170.0027( )(2 )( 2 1) .79121121333225( a b ) ( 3a b ) (4a b )ab.6【解析【解析】(1)(1)原式原式= =(2)(2)原式原式= =112322725()7()110 000910549145.33 113113632225(ab ) (2a b ) a b2131112222555aba bb.444b【加固训练【加固训练】1.1.若若a=(2+ )a=(

13、2+ )-1-1,b=(2- ),b=(2- )-1-1, ,则则(a+1)(a+1)-2-2+(b+1)+(b+1)-2-2的值的值是是( () )A.1A.1B.B.C.C.D.D.33142223【解析【解析】选选D.aD.a=(2+ )=(2+ )-1-1=2- =2- ，b=(2- )b=(2- )-1-1=2+ =2+ ，所以所以(a+1)(a+1)-2-2+(b+1)+(b+1)-2-2=(3- )=(3- )-2-2+(3+ )+(3+ )-2-2333333112.312 6 3 12 6 32.2.化简化简 的值为的值为_._.【解析【解析】由题意可知由题意可知a0,a0,

14、a1)(a0,a1)的图象有两个公共点的图象有两个公共点, ,则实数则实数a a的取值范围的取值范围为为_._.【解题导引【解题导引】(1)(1)将函数化为将函数化为f(xf(x)=2)=2( )( )x x的形式的形式, ,根据函数的性质及过定点根据函数的性质及过定点, ,并结合选项判断并结合选项判断. .(2)(2)分分0a10a1a1两种情况两种情况, ,分别在同一直角坐标系中分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象作出两函数的图象, ,数形结合求解数形结合求解. .12【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.函数函数f(xf(x)=2)=21-x1-x=2=2( )( )x x,

15、,单调单调递减且过点递减且过点(0,2),(0,2),选项选项A A中的图象符合要求中的图象符合要求. .12【一题多解【一题多解】解答本题解答本题, ,你知道几种解法你知道几种解法? ?解答本题解答本题, ,还有以下解法还有以下解法: :选选A.(A.(采用平移法采用平移法) )因为函数因为函数f(xf(x)=2)=21-x1-x=2=2-(x-1)-(x-1), ,所以先画所以先画出函数出函数y=2y=2-x-x的图象的图象, ,再将再将y=2y=2-x-x图象的所有点的横坐标图象的所有点的横坐标向右平移向右平移1 1个单位个单位, ,只有选项只有选项A A符合符合. .(2)(2)分底数

16、分底数0a10a1a1两种情况两种情况, ,分别在同一直角坐标分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象系中作出两函数的图象, ,如图如图: :从图中可以看出从图中可以看出, ,只有当只有当0a1,0a1,且且02a1,02a1,即即0a 0a 时时, ,两函数才有两个交点两函数才有两个交点. .所以实数所以实数a a的取值范围为的取值范围为答案答案: :121a|0 a.21a|0 a2 【母题变式【母题变式】1.1.本例题本例题(1)(1)中的函数改为中的函数改为f(xf(x)=a)=a1-x1-x+2,+2,则此函数经过则此函数经过的定点是什么的定点是什么? ?【解析【解析】因为指数函数恒过

17、因为指数函数恒过(0,1),(0,1),故故1-x=0,1-x=0,即即x=1,f(1)=3,x=1,f(1)=3,故故f(xf(x) )恒过定点恒过定点(1,3).(1,3).2.2.本例题本例题(1)(1)中中, ,若改为函数若改为函数y=2y=21-x1-x+m+m的图象不经过第一的图象不经过第一象限象限, ,则则m m的取值范围如何的取值范围如何? ?【解析【解析】y= ,y= ,函数函数y= y= 的图象如图所示的图象如图所示, ,则要使其图象不经过第一象限则要使其图象不经过第一象限, ,则则m-2.m-2.x 11( )m2x 11( )2【规律方法【规律方法】指数函数图象的画法及

18、应用指数函数图象的画法及应用(1)(1)与指数函数有关的函数图象的研究与指数函数有关的函数图象的研究, ,往往利用相应往往利用相应指数函数的图象指数函数的图象, ,通过平移、对称、翻折变换得到其图通过平移、对称、翻折变换得到其图象象. .(2)(2)一些指数方程、不等式问题的求解一些指数方程、不等式问题的求解, ,往往利用相应往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解的指数型函数图象数形结合求解. .【变式训练【变式训练】1.1.若函数若函数y=ay=ax x+b+b的图象如图所示的图象如图所示, ,则函数则函数y= +b+1y= +b+1的图象为的图象为( () )1x a【解析【解析】选选C

19、.C.由图可知由图可知0a1,-2b-1.0a1,-2b1,b1,b1,b01,b0C.0a0C.0a0D.0a1,b0D.0a1,b0【解析【解析】选选D.D.由由f(xf(x)=a)=ax-bx-b的图象可以观察出的图象可以观察出, ,函数函数f(xf(x)=a)=ax-bx-b在定义域上单调递减在定义域上单调递减, ,所以所以0a1.0a1.函数函数f(xf(x)=a)=ax-bx-b的图象是在的图象是在f(xf(x)=a)=ax x的基础上向左平移得到的的基础上向左平移得到的, ,所以所以b0.b0.2.2.已知实数已知实数a,ba,b满足等式满足等式20142014a a=2015=

20、2015b b, ,下列五个关系下列五个关系式式: :0ba;0ba;ab0;ab0;0ab;0ab;b ba0;a1,t1,则有则有ab0.ab0.(2)(2)若若t=1,t=1,则有则有a=b=0.a=b=0.(3)(3)若若0t1,0t1,则有则有ab0.ab0 x0时时,2,2x x1.1.则则f(xf(x)=12)=12x x= = 可知可知A A正确正确. .x2 ,x 0,1,x 0,4.4.若曲线若曲线|y|=2|y|=2x x+1+1与直线与直线y=by=b没有公共点没有公共点, ,则则b b的取值范的取值范围为围为_._.【解析【解析】画出曲线画出曲线|y|=2|y|=2x

21、 x+1+1与直线与直线y=by=b的图象如图所示的图象如图所示. .由图象可得由图象可得|y|=2|y|=2x x+1+1与直线与直线y=by=b没有公共点没有公共点, ,则则b b应满足应满足的条件是的条件是b-1,1.b-1,1.答案答案: :-1,1-1,1 考向三考向三指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用【考情快递【考情快递】 命题方向命题方向命题视角命题视角比较指数幂的大小比较指数幂的大小主要考查分数指数幂的运算及指主要考查分数指数幂的运算及指数函数的性质的应用数函数的性质的应用, ,属容易题属容易题指数函数性质的综指数函数性质的综合应用合应用以指数函数为背景以指数函数为背景,

22、 ,利用函数的奇利用函数的奇偶性、单调性考查综合能力偶性、单调性考查综合能力, ,属中属中档题档题【考题例析【考题例析】命题方向命题方向1:1:比较指数幂的大小比较指数幂的大小【典例【典例3 3】(2016(2016福州模拟福州模拟) )下列各式比较大小正确的下列各式比较大小正确的是是( () )A.1.7A.1.72.52.51.71.73 3 B.0.6 B.0.6-1-10.60.62 2C.0.8C.0.8-0.1-0.11.251.250.20.2 D.1.7 D.1.70.30.30.90.93.13.1【解题导引【解题导引】根据选项根据选项, ,构造指数函数构造指数函数, ,利用

23、指数函数利用指数函数的性质进行判断的性质进行判断. .【规范解答【规范解答】选选B.AB.A中中, ,因为函数因为函数y=1.7y=1.7x x在在R R上是增函上是增函数数,2.53,2.53,所以所以1.71.72.52.51.71.73 3. .B B中中, ,因为因为y=0.6y=0.6x x在在R R上是减函数上是减函数,-12,-10.60.62 2. .C C中中, ,因为因为0.80.8-1-1=1.25,=1.25,所以问题转化为比较所以问题转化为比较1.251.250.10.1与与1.251.250.20.2的大小的大小. .因为因为y=1.25y=1.25x x在在R R

24、上是增函数上是增函数,0.10.2,0.10.2,所以所以1.251.250.10.11.251.250.20.2, ,即即0.80.8-0.1-0.11.251,01,00.93.13.11,0.90.93.13.1. .命题方向命题方向2:2:指数函数性质的综合应用指数函数性质的综合应用【典例【典例4 4】(2016(2016石家庄模拟石家庄模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=(a0(a0且且a1).a1).(1)(1)求求f(xf(x) )的定义域和值域的定义域和值域. .(2)(2)讨论讨论f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .(3)(3)讨论讨论f(xf(x) )的单调性

25、的单调性. .xxa1a1【解题导引【解题导引】(1)(1)将将a ax x用用y y表示表示, ,利用利用a ax x00求值域求值域. .(2)(2)根据函数的奇偶性的定义判断根据函数的奇偶性的定义判断. .(3)(3)分分0a10a1a1两种情况两种情况, ,对函数对函数f(xf(x) )的单调性进行的单调性进行讨论讨论. .【规范解答【规范解答】(1)f(x)(1)f(x)的定义域是的定义域是R,R,令令y= ,y= ,得得a ax x= =因为因为a ax x0,0,所以所以- 0,- 0,解得解得-1y1,-1y1,所以所以f(xf(x) )的值域为的值域为y|-1y1.y|-1y

26、1.xxa1a1y 1.y 1y 1y 1(2)(2)因为因为f(-x)= =-f(xf(-x)= =-f(x),),且定义域关于原点且定义域关于原点对称对称, ,所以所以f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .(3)f(x)=(3)f(x)=设设x x1 1,x,x2 2是是R R上任意两个实数上任意两个实数, ,且且x x1 1xx2 2, ,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=xxxxa1 1 aa1 1 axxx(a1) 221.a1a1 122112xxxxxx222(aa ).a1 a1(a1)(a1)因为因为x x1 1x1a1时时, 0, 0,从而从而 +1

27、0, +10, - 0, +10, - 0,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),f(x),f(x)为为R R上的增函数上的增函数, ,当当0a10a 0, 0,从而从而 +10, +10, - 0,+10, +10, - 0,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),f(x),f(x)为为R R上的减函数上的减函数. .2xa1xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa【技法感悟【技法感悟】指数函数的性质及应用问题解题策略指数函

28、数的性质及应用问题解题策略(1)(1)比较大小问题比较大小问题. .常利用指数函数的单调性及中间值常利用指数函数的单调性及中间值(0(0或或1)1)法法. .(2)(2)指数函数的综合问题指数函数的综合问题. .要把指数函数的概念和性质要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质同函数的其他性质( (如奇偶性、周期性如奇偶性、周期性) )相结合相结合, ,同时要同时要特别注意底数不确定时特别注意底数不确定时, ,对底数的分类讨论对底数的分类讨论. .【题组通关【题组通关】1.(20151.(2015山东高考山东高考) )设设a=0.6a=0.60.60.6,b=0.6,b=0.61.51.5,c=

29、1.5,c=1.50.60.6, ,则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是( () )A.abc B.aA.abc B.acbcbC.bC.bac ac D.bD.bcaca【解析【解析】选选C.C.函数函数y=0.6y=0.6x x单调递减单调递减, ,所以所以b=0.6b=0.61.5 1.5 a=0.6a=0.60.60.61;1,1,所以所以bac.bac.2.(20162.(2016宁化模拟宁化模拟) )函数函数y=|2y=|2x x-1|-1|在区间在区间(k-1,k+1)(k-1,k+1)上上不单调不单调, ,则则k k的取值范围是的取值范围是( () )A.(-1,+

30、) B.(-,1)A.(-1,+) B.(-,1)C.(-1,1) C.(-1,1) D.(0,2) D.(0,2)【解析【解析】选选C.C.由于函数由于函数y=|2y=|2x x-1|-1|在在(-,0)(-,0)上递减上递减, ,在在(0,+)(0,+)上递增上递增, ,而函数在区间而函数在区间(k-1,k+1)(k-1,k+1)上不单调上不单调, ,所所以有以有0(k-1,k+1),0(k-1,k+1),则则k-10k+1,k-10k+1,解得解得-1k1.-1k0 x0时时,f(x,f(x)=1-2)=1-2-x-x, ,则不等式则不等式f(xf(x)- )0 x0时时,f(x,f(x)=1-2)=1-2-x-x0,0,又又f(xf(x) )是是R R上的奇函数上的奇函数, ,所以所以f(xf(x)- ) (x0) (x0)的解集关于原点的解集关于原点对称对称, ,由由1-21-2-x-x 得得2 2-x-x =21,x1,则则f(xf(x)- )b0,ab0,若若f(a)=f(bf(a)=f(b),),则则