同济版大一高数第十一章第三节格林公式

1、1高等数学 第二十二讲2第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 3引例：引例：计算ydxexdyeIyxLyx33积分路径沿着圆周1:22 yxL的正向。解法：解法：应用格林公式由于二重积分和平面的曲线那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来？本节介绍格林公式将指出，二重积分可以化为沿区域 D 的边界曲线 L 正向的曲线积分，在平面闭区域 D 上的这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系。x0y积分都是化为定积分来计算的，4LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区

2、域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式证明证明：即要证DydxdxQDydxdyPLxdPLydQ5证明证明:bxaxyxD)()(:21则d dDPx yybaxxxPd) )(,(2)()(21dxxyyPbaxxxPd) )(,(1baxddcyxoECBAbaDDydxdyPLxdPLxdPACBBEAPdxPdx dxxxPdxxxPabba21,baxxxP

3、d) )(,(1baxxxPd) )(,(26即yxxQDddLydyxQ),(同理可证yxyPDddLxdyxP),(、两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd7yxoL2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkDD证毕8引例：引例：计算ydxexdyeIyxLyx33积分路径沿着圆周1:22 yxL的正向。解法解法：应用格林公式D3,xeyxQyx23yeyPyx23xexQyxydxdyxD223201033rdrd23x0y11

4、3,yeyxPyxLDQPIdxd yxy9例例1：利用格林公式计算LydyxdyxI22L由曲线的正向边界曲线。所围成的区域直线和Dxyxy230 xDy1 , 1M解：解：画出闭曲线及其所围成的区域D。22yQyxP02xQxyPDydxdxI210232xxydxdx10322xdxxx44141113104311xxxy 32xy 1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分简单应用简单应用10例例2 计算：LyxydexxdeyI11其中L 为折线 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2).xAy0B解：解：,xyPQeeyxydeexdxxy)(1020102)21(xdxee

5、xx7212eDxyLdee)(xyOB2:11,)()(22222dyxexdxxeyIyLy计算.4)2(22的正向为闭曲线其中yxL:解22222),(,),(xexyxQxeyyxPyy所以由格林公式 yxyPxQ22 DdxdyyxI)22(cos40220cos4drrd 16Ddxdyx2204cos3644d例例3AX2422 164D2x0y12例例4 4. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxL证证: 令,22xQyxP则yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd0013例例5. 计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且

6、不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0 , 0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL.:条件应用格林公式要注意其注意142222220cossind2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周222:,l xy取逆时针方向,1D, 对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得15 计算计算 Lyxydxxdy22, , 则则当当

7、022 yx 时时, , 记L所围成的闭区域为D, 解解令令 2222,yxxQyxyP , .1) 1() 1() 1 (22的正向为圆周yxL.1)2(的正向为正方形 yxL例例6有有 yPyxxyxQ 22222)(. 由格林公式知由格林公式知 Lyxydxxdy022.1) 1() 1() 1 (22的正向为圆周yxL16作位于D内圆周 222ayxl:, 记1D由L和 l所围成, 应应用用格格林林公公式式, ,得得 .1)2(的正向为正方形 yxLLyxydxxdy22lLyxydxxdy22lyxydxxdy22202sinsin)cos(cosdtatatatata20dt2统一

8、变量化成定积分lyxydxxdy22取顺时针方向。17DyaLxo,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周222(),0,0,xayaay解解: :L OAOAI(sin2 )dxOAeyyx20DdA2a沿逆时针方向.例例7 计算2cosyeyPxyexQxcos()DQPdxy18例例82009年考研年考研计算曲线积分是曲线解解 取辅助线 由格林公式2sin22(1),LIxdxxydyLsinyx(0,0)( ,0)其中L上从点到点的一段。1:0, 0,Lyx11L LLI1001sin2cos202Lxdxx4DIxyd sin004xxdxydy 202s

9、inxxdx 20sin xdx 220(sin )xfx dx0(sin )2fx dxyLxo19格格林林公公式式: : LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 取取 ,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21. 取取, 0 xQP 得得 LxdyA 2. 2. 计算平面面积计算平面面积取取, 0, QyP 得得 LydxA 20推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(

10、21ababab21例例9：用两种方法计算LydxxdyI220 xyxy1L由曲线nAB解法解法122:1AnBxy其中101:xxyBA2033cossintdtt10221xdxx323234AnBBAI 20sincosttytx2211xyxy围时针。和所成的逆方向(0,0).xy22例例9 用两种方法计算LydxxdyI22L由曲线解法解法222xQyPyxyPxQ2DydxdyxI2Dydxdx432421110 xxydxdx)4(Dydxdy轮换对称法D0 xyxy1AB2211xyxy围时针。和所成的逆方向(0,0).xy23例例11. 计算yxo,dd22yxxyxL其中

11、L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)41110d0 x10dy此题的特点：22xQyxPxQxyP224二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(3) 对D 中任

12、一分段光滑曲线 L, 曲线积分(4)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(dLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 (1) 在 D 内每一点都有.xQyP25证明证明 (1) (2)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxyPxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕26说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (2) (3)设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1dd

13、LyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(2)BAyQxPddAByQxPddydQxPdLL2127证明证明 (3) (4)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 28证明证明 (4) (1)设存在函数 u ( x ,

14、 y ) 使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,29yx说明说明: 根据定理2 , 若在某区域内,xQyP则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不

15、是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;30yA xoL例例1. 计算,d)(d)3(22yxyxyxIL其中L 为上半24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解:,AOD它与LyxyxyxIAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周所围区域为D , 则431yPxQ0:yOA为了使用格林公式, 添加辅助线段648331,)()(22LyxdyyxdxyxI计算.)0 , 1 ()0 , 1(222的弧其中L是曲线BAxy到从上解：解：因为 22),(yxyxyxP22),(yxyxyxQyPyx

16、xyyxxQ22222)(2)0 , 0(),(yx即不含原点的单连通域，积分与路径无关。 取新路径 的上半单位圆弧到为从)0 , 1 ()0 , 1(*BAL122 yx例例2x0y)0 , 1(A)0 , 1 (B232其参数方程为 tytxsincos）（LyxdyyxdxyxI22)(dttttttt0cos)sin(cos)sin)(sin(cos0dt,)()(22LyxdyyxdxyxI计算x0y)0 , 1(A)0 , 1 (B2:0.t例例2.)0 , 1 ()0 , 1(222的弧其中L是曲线BAxy到从上122 yx33例例3：计算ydxexxdyexIyLy22421

17、, 1:2，到由BAxyL解：解：yeyPy2xexQy2ydexxdexIyLyydxxdyL2221II xQyPI中1CBACI121412)(ydexdexy1:yAC2:xCBee232421342)2(xdxxI积分与路径无关5313103724ee统一变量化成定积分12，C0 xy 11，A42，B34例例4. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0

18、,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx35例例5： 验证ydyyxxdyxx)23()23(2232在整个yx0平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。解：解：232232,32PxxyQx yyxQxyyP26在整个xoy平面上都成立则所给出的微分式是全微分式。 利用公式：),(),(223200)23()23(),(yxyxydyyxxdxyxyxu取000,yxM0 , 0O为起点，动点为yxM,0 xyyxM,)0 ,(xBxyydyyxxdxx022032)23()023(方法方法1yxu,2323yyxx36方法方法20 xyyxM,), 0(yAyxu,232

19、3yyxx例例6： 验证ydyyxxdyxx)23()23(2232在整个yx0平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。yxxdyxxydyy003222)23()230(37方法方法3 取 000,yxM1 , 10Mxyydyyxxdxx122132)23()123(32323yyxxyxu,注：注：积分的起点不同，结果相差一个常数。应该选择某些特殊的点方便计算。例例5 验证ydyyxxdyxx)23()23(2232yx0平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。383223,yxxPxuyxu满足xxxdxyxyxu0)23(),(32 yyxx323 yyxyu223Qyyx2322

20、cyy2cyyxxyxu2323,方法方法4 例例5 验证ydyyxxdyxx)23()23(2232在整个yx0平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。39例例6. 验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx40oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxx

21、yyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy412. 设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC42例例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解:21( dd )Lky xx yr令22,yxPQrr 则有22224(0)PxyxyyrxQ可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd43:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?OBAO取圆弧LBAyox为什么？注意： 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !44D例例8. 质点M 沿着以AB为直径的半圆