数字电路与逻辑设计

1、数字电路与逻辑设计数字电路与逻辑设计课程特点：课程特点：1、数字电路重要的专业基础课、数字电路重要的专业基础课2、数字电路不难，新的思维方法、数字电路不难，新的思维方法3、重视应用，分析设计题为主。、重视应用，分析设计题为主。4、只讲知识点、难点和重点，多讲习题、只讲知识点、难点和重点，多讲习题5、网上答疑网上答疑 课件课件 http:/ 应用应用PSpice仿真仿真第一章第一章 数制和码制数制和码制1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量 数字量数字量：时间上和数值上都离散变化的物理量，：时间上和数值上都离散变化的物理量，最小数量单位最小数量单位 模拟量模拟量：时间上和数值上都连续变化的物理量。

2、：时间上和数值上都连续变化的物理量。 处理数字信号处理数字信号(Digital Signal)的电路称为数字电的电路称为数字电路，路， 处理模拟信号（处理模拟信号（Analog Signal)的电路称为模拟的电路称为模拟电路。电路。 数字信号传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、数字信号传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、稳定性好。稳定性好。 数字信号是一种脉冲信号数字信号是一种脉冲信号(Pulse Signal)，边沿，边沿陡峭、持续时间短，凡是非正弦信号都称为脉冲陡峭、持续时间短，凡是非正弦信号都称为脉冲信号。信号。 数字信号有两种传输波形，电平型、脉冲型。数字信号有两种传输波形，电平型、脉冲型

3、。 电平型数字信号以一个时间节拍内信号是高电平还电平型数字信号以一个时间节拍内信号是高电平还是低电平来表示是低电平来表示“1”或或“0”， 脉冲型数字信号是以一个时间节拍内有无脉冲来表脉冲型数字信号是以一个时间节拍内有无脉冲来表示示“1”或或“0”。1.2 几种常用的数制几种常用的数制数制中允许使用的数码个数称为数制的基数。数制中允许使用的数码个数称为数制的基数。常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制和十常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制和十六进制。六进制。D=kj Ni ，ki是第是第j位的系数，位的系数，N是基数，是基数，N =10，2，8，16；Ni称为第称为第i位的权，位的权，

4、10i， 2i ，8i，16i。2345=2103+3102+4101+5100（1）十进制：十进制数一般用下标）十进制：十进制数一般用下标10或或D表示，如表示，如2310，87D等。等。（2）二进制：基数）二进制：基数N为为2的进位计数制称为二进制的进位计数制称为二进制（Binary），它只有），它只有0和和1两个有效数码，两个有效数码，进位关系进位关系 “逢二进一，借一为二逢二进一，借一为二”。二进制数下标二进制数下标2或或B，如，如1012，1101B等。等。(1001.11)2=123+022+021+120+12-1+12-2 =(9.75)10（3)八进制：基数八进制：基数N为为

5、8的进位计数制，共的进位计数制，共8个有效个有效数码，数码，0 1 2 3 4 5 6 7，下标，下标8或或O。 (456.1)8=482+581+680+18-1=(302.125)10（4）十六进制：基数）十六进制：基数N为为16，十六进制有，十六进制有09、A、B、C、D、E、F共共16个数码，个数码，“逢十六进一，借一为十六逢十六进一，借一为十六”。下标。下标16或或H表示，表示，如如(A1)16，(1F)H等。等。 (3AE.7F)16 =3162+10161+14160+716-1+1516-2 =(942.4960937)10 1.3 不同数制间的转换不同数制间的转换（1）二）二

6、十转换：按位权展开，将所有值为十转换：按位权展开，将所有值为1的数的数位的位权相加。位的位权相加。 【例【例1.1】 （11001101.11）B =1 27+1 26+0 25+0 24+1 23+1 22+0 21+1 20+1 2-1+1 2-2=128+64+8+4+1+0.5+ 0.25=（205.75）D （2)十十二转换二转换 要分别对整数和小数进行转换。整数部分转换要分别对整数和小数进行转换。整数部分转换除除2取余法取余法。【例【例1.2】 (13)D=( )B第一次的余数最低有效位第一次的余数最低有效位(LSB)，最后一次的余数最高有效位最后一次的余数最高有效位(MSB)(9

7、8)10=( )21011000011111011100010 小数部分转换小数部分转换乘乘2取整法取整法 第一次积的整数第一次积的整数MSB，最后一次积的整数，最后一次积的整数LSB。【例【例1.3】 (0.8125)D=( )B 积的整数积的整数0.81252=1.625 1 MSB 0.6252=1.25 10.252=0.5 0 0.52=1 1 LSB(0.8125)D=( 0.1101 )B(3)十六十六十转换十转换 按位权展开按位权展开 【例【例1.7】 (1A7.C)H=1162 +10161+7160+1216-1 =1256+1016+7+120.0625=(423.75)

8、D(4)十十十六转换十六转换 与十与十二转换方法相似，整数部分转换除二转换方法相似，整数部分转换除16取余法，小数部分转换乘以取余法，小数部分转换乘以16取整法取整法 【例【例1.8】(287)D=转换过程：转换过程：287/16=17余余15 17/16=1余余1 【例【例1.9】 (0.62890625)D=(0.A1)H 转换过程：转换过程：0.6289062516=10.0625 0.062516=1 (11F)H (5)二二十六转换十六转换 【例【例1.12】( 10111010111101.101 )B =(0010 1110 1011 1101 . 1010 )B =(2EBD.

9、A )H(6)十六十六二转换二转换 【例【例1.13】十六进制数：】十六进制数：(1 C 9. 2 F )H 二进制数：二进制数： ( 1 1100 1001 . 0010 1111 )B（7)二二八转换八转换【例【例1.14】 (010 111 011.101 100)B =(273 . 54)O （8)八八二转换二转换 ( 361.72)O =(11 110 001.111 010)B 1.5码制码制 在数字系统中，常用在数字系统中，常用0和和1的组合来表示不同的数的组合来表示不同的数字、符号、事物，叫做编码，这些编码组合称为字、符号、事物，叫做编码，这些编码组合称为代码（代码（Code)

10、。 代码可以分为数字型的和字符型的，有权的和无代码可以分为数字型的和字符型的，有权的和无权的。权的。 数字型代码用来表示数字的大小，字符型代码用数字型代码用来表示数字的大小，字符型代码用来表示不同的符号、事物。来表示不同的符号、事物。 有权代码的每一数位都定义了相应的位权，无权有权代码的每一数位都定义了相应的位权，无权代码的数位没有定义相应的位权。代码的数位没有定义相应的位权。 有权码：有权码：8421、2421、5421 、 5211码码 无权码：余无权码：余3码、余码、余3循环码、格雷码。循环码、格雷码。十进制十进制数码数码8421码码余余3码码2421码码5211码码余余3循环循环码码0

11、12345678900000001001000110100010101100111100010010011010001010110011110001001101010111100000000010010001101001011110011011110111100000001001000110111100011001101111011110010011001110101010011001101111111101010三种常用的代码三种常用的代码:8421BCD码，格雷码，格雷(Gray)码，码，ASCII码。码。（1）8421BCD码：码：BCD（Binary Coded Decimal）码，即

12、二码，即二十进制代码，用四十进制代码，用四位二进制代码表示一位十进制位二进制代码表示一位十进制数码。数码。 8421BCD码是有权码，四位码是有权码，四位的权值自左至右依次为：的权值自左至右依次为： 8、4、2、1。数值 8421BCD01234567890000000100100011010001010110011110001001余余3码码 = 8421BCD码码+3例如：例如：(0101)8421BCD=(1000)余余3码码8421BCD码表示方法：码表示方法：(2010)10=(0010 0000 0001 0000) 8421BCD 数值余余3码码8421BCD0123456789

13、00110100010101100111100010011010101111000000000100100011010001010110011110001001（2）格雷）格雷(Gray)码：格雷码是一种无权循环码，它的特点是码：格雷码是一种无权循环码，它的特点是:相邻的两个码之间只有一位不同相邻的两个码之间只有一位不同。十进制数十进制数 格雷码格雷码十进制数十进制数 格雷码格雷码012345670000000100110010 0110011101010100 891011121314151100110111111110 1010101110011000 （3）ASCII码码 ASCII码，

14、即美国信息交换标准码码，即美国信息交换标准码(American Standard Code for Information Interchange)， 是目前国际上广泛采用的一种字符码。是目前国际上广泛采用的一种字符码。 ASCII码用七位二进制代码来表示码用七位二进制代码来表示128个不同的字个不同的字符和符号。符和符号。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 逻辑代数是由英国数学家乔治逻辑代数是由英国数学家乔治布尔于布尔于1849年首先年首先提出的，称为布尔代数。提出的，称为布尔代数。 逻辑代数是研究逻辑变量间的因果关系，是分析逻辑代数是研究逻辑变量间的因果关系，是分析和设计逻辑电路的数学

15、工具。和设计逻辑电路的数学工具。 逻辑变量是使用字母表示的变量，只有两种取值逻辑变量是使用字母表示的变量，只有两种取值1、0， 代表两种不同的逻辑状态：高低电平、有无脉冲、代表两种不同的逻辑状态：高低电平、有无脉冲、真或假、真或假、1或或0。 2.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 逻辑代数基本运算有逻辑代数基本运算有与、或、非与、或、非三种，逻辑与、逻辑或三种，逻辑与、逻辑或和逻辑非。和逻辑非。 1.逻辑逻辑与与 只有决定某事件的全部条件同时具备时，该事件只有决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，逻辑与，或称逻辑乘才发生，逻辑与，或称逻辑乘and。 开关开关A=B=1开关接通，

16、电灯开关接通，电灯Y=1灯亮，灯亮，A=B=0开关断开、灯开关断开、灯灭，逻辑与灭，逻辑与“”，写成，写成Y=AB或或Y=AB A BY0 00 11 01 10001与逻辑符号与逻辑符号 and逻辑真值表逻辑真值表(Truth Table) ：自变量的各种可能取值与函数值：自变量的各种可能取值与函数值F的对应关系。的对应关系。与逻辑真值表与逻辑真值表2.逻辑逻辑或或 决定某事件的诸多条件中，只要有一个或一个以决定某事件的诸多条件中，只要有一个或一个以上条件具备时，该事件都会发生，或称逻辑加上条件具备时，该事件都会发生，或称逻辑加or。 开关开关A和和B中有一个接通或一个以上接通（中有一个接通

17、或一个以上接通（A=1或或B=1）时，灯时，灯Y都会亮（都会亮（Y=1），逻辑或），逻辑或“+”。 写成写成Y=A+BA BF0 00 11 01 10111或逻辑真值表或逻辑真值表或逻辑符号或逻辑符号 or3.逻辑逻辑非非 在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，称为逻辑非，也称为逻辑反称为逻辑非，也称为逻辑反not。开关接通（开关接通（A=1）时，电灯）时，电灯Y不亮（不亮（Y=0），而当开关断开），而当开关断开（A=0）时，电灯）

18、时，电灯Y亮（亮（Y=1）。）。逻辑反，写成逻辑反，写成 A Y0110非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑符号非逻辑符号 inverterYA4.其他常见逻辑运算其他常见逻辑运算常见的复合逻辑运算有常见的复合逻辑运算有:与非、或非、异或、同或等与非、或非、异或、同或等运算的表达式：运算的表达式：与非：与非： 先与后非先与后非或非：或非： 先或后非先或后非与或非表达式：与或非表达式： 先与再或后取非先与再或后取非与非逻辑与非逻辑或非逻辑或非逻辑A BYA BY0 00 11 01 111100 00 11 01 11000与或非逻辑的真值表与或非逻辑的真值表 A B C DY 0 0 0 0 0 0

19、 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 11110111011100000ABY CDABYBAYnand nor 异或逻辑异或逻辑A BY0 00 11 01 10110异或表达式：异或表达式： A、B不同，不同，Y为为1；A、B相同，相同，Y为为0。可以证明：奇数个可以证明：奇数个1相异或，等于相异或，等于1； 偶数个偶数个1相异或，等于相异或，等于0。A 0=A A=1, 1 0=1; A=0, 0

20、0=0; A=1, 1 1=0 ; A=0, 0 1=1 A A=00 1 0 1 1 1 1110101BABABAYAA11 AA同或逻辑同或逻辑A BY0 00 11 01 11001异或逻辑异或逻辑A BY0 00 11 01 10110同或表达式：同或表达式： Y=A B=A、B相同，相同，Y为为1；A、B不同，不同，Y为为0。 A B= A B= A 0= A 1=A A A=1 A =0 A B= A B B=A BAAB BAAAABABABBABA2.2 逻辑代数的公式逻辑代数的公式1 基本公式基本公式 关于变量和常量的公式关于变量和常量的公式 00=0 0+0=0 11=1

21、 1+1=1 01=0 0+1=1(1) 0A=0 (2) 0+A=A (3) 1A=A (4) 1+A=1互补律互补律(5)(6)重叠律重叠律(7) AA=A (8) A+A=A 交换律交换律(9) AB=BA (10)A+B=B+A 结合律结合律(11)A(BC)=(AB)C (12)A+(B+C)=(A+B)+C0AA1 AA0110分配律分配律(13)A(B+C)=AB+AC (14)A+BC=(A+B)(A+C)用真值表证明公式用真值表证明公式 A+BC=(A+B) (A+C)A B C BCA+BC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100

22、01000100011111A+BA+C(A+B) (A+C)001111110101111100011111反演律（德反演律（德摩根定律摩根定律 ）(15) (16) 还原律还原律(17) A B0 00 11 01 11000100011101110BABABAABBABAABBAAA2 常用公式常用公式（1）A+AB=A 证明：证明：A+AB =A1+AB =A(1+B) =A1=A 例如：例如：(A+B)+(A+B)CD =A+B（2） 应用分配律应用分配律 证明：证明： CBACBABACBABA)( 在两个乘积项相加时，在两个乘积项相加时，如果其中一项是另一个项如果其中一项是另一个

23、项的一个因子，则另一项可的一个因子，则另一项可以被吸收。以被吸收。 一个乘积项的部分一个乘积项的部分因子是另一乘积项的补，因子是另一乘积项的补，这个乘积项的部分因子这个乘积项的部分因子是多余的。是多余的。BABAA)()(BAAABAA例如：例如：BABA)(1（3）证明：证明：（4）A(A+B)=A 证明：证明：A(A+B) =AA+AB =A+AB =A(1+B) =A1 =A ABABA 当两个乘积项相加时，当两个乘积项相加时，若它们分别包含若它们分别包含B和和 两个两个因子而其它因子相同，则因子而其它因子相同，则两项可以合并，可将两项可以合并，可将B和和 两个因子消去。两个因子消去。

24、变量变量A和包含和包含A的和的和相乘时，结果等于相乘时，结果等于A。BBAABBA1)(BABA（5）证明：CAABBCCAAB 在一个与或表达在一个与或表达式中，如果一个与式中，如果一个与项中的一个因子的项中的一个因子的反是另一个与项的反是另一个与项的一个因子，则由这一个因子，则由这两个与项其余的因两个与项其余的因子组成的第三个与子组成的第三个与项是多余项。项是多余项。DABABCBCAABCCAABCAABCDDABABCCDDBAABC)()(AABCCAABBCCAAB例：)1 ()1 (BCACABDBAABC)(推论：例：CAABBCDECAABFGCCDDABABCFGCCDDB

25、AABC)( 在一个与或表达在一个与或表达式中，如果一个与项式中，如果一个与项中的一个因子的反是中的一个因子的反是另一个与项的一个因另一个与项的一个因子，则包含这两个与子，则包含这两个与项其余因子作为因子项其余因子作为因子的与项是多余项的与项是多余项。DBAABC)(（6） 证明：证明： 证明：证明：)(BACACAAB 交叉互换律交叉互换律（7）证明：证明：AABABAABABABAAABAAABA)(BAAABAAABA)(BCCAABAABACA)(BCCAABABA)1 (CAAB2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理代入定理：代入定理： 在一个逻辑等式两边出现某个变量（逻辑在一

26、个逻辑等式两边出现某个变量（逻辑式）的所有位置都代入另一个变量（逻辑式），则等式式）的所有位置都代入另一个变量（逻辑式），则等式仍然成立。仍然成立。 例：已知例：已知 在等式两边出现在等式两边出现B的所有位置都代入的所有位置都代入BC 左边左边 右边右边 等式仍然成立等式仍然成立例：已知例：已知 在等式两边在等式两边B的位置都代入的位置都代入B+C 左边左边右边右边 等式仍然成立等式仍然成立BAABCBABCABCA)(CBABCABABACBACBACBA)(CBACBABA反演定理反演定理 对一个逻辑函数对一个逻辑函数Y进行如下变换：进行如下变换：将所有的将所有的“”换成换成“”， “”换

27、成换成“”， “0”换成换成“1”， “1”换成换成“0”， 原变量原变量换成换成反变量反变量， 反变量反变量换成换成原变量原变量，则得到函数则得到函数Y的反函数的反函数例：例：注意两点：保持原函数中逻辑运算的优先顺序；逻辑式上注意两点：保持原函数中逻辑运算的优先顺序；逻辑式上（不是单个变量上）的反号可以保持不变。（不是单个变量上）的反号可以保持不变。YDACBAYDCABAY)(对偶定理对偶定理 对一个逻辑函数对一个逻辑函数Y进行如下变换：进行如下变换： 将所有的将所有的“”换成换成“”， “”换成换成“”， “0”换成换成“1”， “1”换成换成“0”， 则得到函数则得到函数Y的对偶函数的

28、对偶函数Y。 例：例：Y1=A(B+C) Y1 =A+BC Y2=AB+AC Y2=(A+B)(A+C) 对偶规则：如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。对偶规则：如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。例：已知例：已知A(B+C)=AB+AC则两边求对偶则两边求对偶 A+BC=(A+B)(A+C)(3DCBAYCDABY3CDBAY)(4DCABY4)0(5CABAY) 1)(5CABAY2.4 逻辑函数的描述方法逻辑函数的描述方法(1) 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 逻辑函数常用的描述方法逻辑函数常用的描述方法有有逻辑表达式、真值表、卡诺图、逻辑表达式、真值表、卡诺图、逻辑图

29、逻辑图和和波形图波形图等。等。逻辑真值表逻辑真值表 用来反映变量所有取值组用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真合及对应函数值的表格，称为真值表。值表。例如，在一个判奇电路中，当例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个三个变量中有奇数个1时，时，输出输出Y为为1；否则，输出；否则，输出Y为为0。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 01 0 11 1 01 1 101101001判奇电路的真值表判奇电路的真值表 从真值表写逻辑函数式：从真值表写逻辑函数式： Y=1的组合，的组合，1写写原变量原变量0写写反变量，反变量，乘积项相加。乘积项相加。0

30、01 010 100 111 判奇电路的表达式：判奇电路的表达式： A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 01 0 11 1 01 1 1 01101001ABCCBACBACBAABCCBACBACBAY 表达式表达式 常用的逻辑表达式有常用的逻辑表达式有与或与或表达式、表达式、标准与或标准与或表表达式、达式、或与或与表达式、表达式、标准或与标准或与表达式、表达式、与非与非与非与非表达式、表达式、或非或非或非或非表达式、表达式、与或非与或非表达式等。表达式等。与或表达式：与或表达式： 标准与或表达式：标准与或表达式： 或与表达式：或与表达式： 标准或与表达式：标准或与

31、表达式：与非与非表达式：与非与非表达式：或非或非表达式：或非或非表达式：与或非表达式：与或非表达式：DACABYCDABYABCDDABCDCBAY)(DCABAY)()(DCBADCBADCBAYCDABYDCBAY逻辑图逻辑图 由逻辑门电路符号构由逻辑门电路符号构成的，表示逻辑变量之间成的，表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。图，简称逻辑图。DCPBPAP321325214PPPPPP)(54DCBBAYPPY波形图（时序图）波形图（时序图）列出真值表列出真值表A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1

32、101100101(2) 不同描述方法之间的转换不同描述方法之间的转换表达式表达式真值表真值表 首先按自然二进制码的顺序首先按自然二进制码的顺序列出所有逻辑变量的不同取值列出所有逻辑变量的不同取值组合，确定出相应的函数值。组合，确定出相应的函数值。 逻辑函数逻辑函数 10X X10 0X1从逻辑式列出真值表从逻辑式列出真值表 1XX X01 010 Y=m1+m2+m4+m5+m6+m7A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101111110A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101

33、111ACCBBAYCBACBAY真值表真值表表达式表达式A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101001ABCCBACBACBAY逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图逻辑图逻辑图逻辑式逻辑式 BABAYBA(3)逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 ： 标准与或表达式和标准或与表达式。标准与或表达式和标准或与表达式。最小项表达式：每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每最小项表达式：每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量仅出现一次。标准与项，又称最小个变量以原变量或反变量仅出现一次。标准与项，又称最小项。项。 n变量

34、的最小项有变量的最小项有2n个。个。ABC三变量的最小项有三变量的最小项有最小项的性质（了解）最小项的性质（了解）(1)每个最小项都有一个取值组合使其值为每个最小项都有一个取值组合使其值为1，其余任何组合均，其余任何组合均使该最小项为使该最小项为0。(2)全体的最小项之和为全体的最小项之和为1。 (3)任意两个不同最小项的乘积为任意两个不同最小项的乘积为0。(4)相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的因子。只有相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的因子。只有一个因子不同的最小项具有相邻性。一个因子不同的最小项具有相邻性。ABCCBACBA000 001 111最小项编号：最小项对应变量

35、取值组合的大小，为最小项编号。最小项编号：最小项对应变量取值组合的大小，为最小项编号。例：例： 对应的变量取值组合为对应的变量取值组合为101，其大小为，其大小为5，所以，所以 的编号为的编号为5，记为记为m5。最小项变量取值组合，原变量取值为最小项变量取值组合，原变量取值为1；反变量取值为；反变量取值为0。【例【例1】 求最小项表达式。求最小项表达式。或或 Y(A,B,C)=mi(i=1,2,4,5,6,7) 或或Y(A,B,C)=(1,2,4,5,6,7) 一个与项如果缺少一个变量，生成两个最小项；一个与项如果缺少两一个与项如果缺少一个变量，生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，生成四

36、个最小项；一个与项如果缺少个变量，生成四个最小项；一个与项如果缺少n个变量，则生成个变量，则生成2n个最小个最小项。项。CBACBACBACBAYCBACBAACCBBACBACBAY)()(CBACBACBACBACBACABABC765421mmmmmmABCCABCBACBACBACBA【例2】从真值表写出逻从真值表写出逻辑函数的最小项表达式。辑函数的最小项表达式。 解：解： = m1+ m2+ m4+ m7 =mi (i=1,2,4,7) A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101001ABCCBACBACBACBAY),（最

37、大项表达式最大项表达式 每个或项都包含了所有相关的逻每个或项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次。仅出现一次。 标准或项，又称最大项。标准或项，又称最大项。 例：最大项例：最大项 的变量取值组合为的变量取值组合为010，其，其大小为大小为2，因而，因而， 的编号为的编号为2，记为，记为M2。)(CBA)(CBA 由真值表求函数的标准或与表达式时，由真值表求函数的标准或与表达式时，找出真值表中函数值为找出真值表中函数值为0的对应组合，将的对应组合，将这些组合对应的最大项相与。这些组合对应的最大项相与。【例】【例】 已知

38、逻辑函数的真值表，写出函数的已知逻辑函数的真值表，写出函数的标准或与表达式。标准或与表达式。解：函数解：函数F的最大项表达式为的最大项表达式为A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 110010110 = M1M2M4M7 = Mk(1,2,4,7) )()()(),(CBACBACBACBACBAY0 0 10 1 01 0 01 1 1 最小项表达式和最大项表达式之间的转换最小项表达式和最大项表达式之间的转换 同一函数，标准与或式中最小项的编号最小项的编号和标准或与式中最大项的编号最大项的编号是互补的，最小项的编号与最大项的编号在同一逻辑函

39、数的表达式不相同。逻辑函数 ， 则Y=0的最小项之和为 得到最小项最小项编号编号最小项最小项十进制十进制变量取值变量取值A B Cm0m1m2m3m4m5m6m7012345670 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1imYikkmYikkMY最大项最大项编号编号最大项最大项M0M1M2M3M4M5M6M7ijMmCBACBACBACBACBACBACBACBAABCCABCBACBABCACBACBACBA了解了解00mM 【例】已知【例】已知写出最小项和最大项表达式。写出最小项和最大项表达式。=(1,2,4,7)=(0,3,5,6)【例】已知【例】

40、已知写出标准与或表达式。写出标准与或表达式。= (1,3,5,7) =(0,2,4,6) ABCCBACBACBACBAY),()()()(CBACBACBACBAABCCBACBACBACBAY),()()()(CBACBACBACBAY)()()(CBACBACBACBAYCABCBACBACBA2.5逻辑函数的化简逻辑函数的化简 最简表达式有很多种，最常用的有最简表达式有很多种，最常用的有最简与或最简与或表达式和表达式和最简或最简或与与表达式。表达式。最简与或表达式必须满足的条件：最简与或表达式必须满足的条件：(1)乘积项个数最少。乘积项个数最少。(2)乘积项中变量的个数最少。乘积项中变

41、量的个数最少。最简或与表达式必须满足的条件有：最简或与表达式必须满足的条件有：(1)或项个数最少。或项个数最少。(2)或项中变量的个数最少。或项中变量的个数最少。常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。CBACACDCBABCY一、公式法化简一、公式法化简 公式法化简逻辑函数，是利用逻辑代数的基本公公式法化简逻辑函数，是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有以下四种。式，对函数进行消项、消因子。常用方法有以下四种。并项法并项法 将两个与项合并为一个，消去其将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。中的一个变量。【例】【例】 吸收法吸收法

42、A+AB=A 吸收多余的与项。吸收多余的与项。【例】【例】 Y=(A+AB+ABC)(A+B+C) =A(A+B+C) =AA+AB+AC =A+AB+AC =ABABABAABYABAAB1)()(AABABABAAB消因子法消因子法 消去与项多余的因子。【例】消项法消项法 进行配项，以消去更多的与项。【例】BABAADDCCBCAABYDCCBCAABBCCAABCAABDCEADBDBAYDCBAAB1DCBABDBADCEDBDBADCEADADBDBAAD配项法配项法A+A=A， 配项，能更加简化表达式。方法方法1 AAABCBCACBAYCBCBBABAY)()(ABCBCABCA

43、CBA）AABCCCBA()(BCBA CACBBA)()()(CBABCACBCBACBABACBACBACBCBABCABACBAACBCCBABA)()(公式法公式法常用常用5种化简方法种化简方法并项法并项法吸收法吸收法 A+AB=A消因子法消因子法 消项法消项法配项法配项法A+A=A，ABAABBABAABCCAABCAAB1 AA)(BACBCBBABACBCBBAY【例】【例】CBCABACBCBCABACACBCBBA)()(BACACBCBBACABACBCBBA【例】【例】求与非求与非-与非式与非式 两次求反两次求反 )(GFADECBDBDBCBCAABYCBDCDBDBD

44、CCBDCDBCBDCCBDBAYDCCBDBAYDCCBDBADCCBDBDBA)(GFADECBDBDBCBA)(GFADECBDBDBCBCBA)()(GFADECBDBDBCBCBA【例】【例】 求求Y的对偶式并化简的对偶式并化简再求对偶式再求对偶式 求或非求或非-或非式或非式 两次求反两次求反 )()()()()(FEDFBFECADBCABAAYDEFFBCEFABDCAABAY)() (FBDBACYY)(FBDBACYYFBBDCAAFBBDCAFBDBCA二、卡诺图法化简二、卡诺图法化简1.表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图 将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排

45、将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。BCA01101011010100110CBACABCBACBA BA 方格中的数字为该方格对应最小项的十进制方格中的数字为该方格对应最小项的十进制数，称该方格的编号。数，称该方格的编号。 一个四变量函数的卡诺图，方格中的一个四变量函数的卡诺图，方格中的0和和1表表示在对应变量取值组合下

46、该函数的取值。示在对应变量取值组合下该函数的取值。 真值表真值表卡诺图卡诺图 找出真值表中函数值为找出真值表中函数值为1的变量组合，在卡诺图中具的变量组合，在卡诺图中具有相应编号的方格中标上有相应编号的方格中标上1 。 A B C DFA B C DF0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1011011011 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0 1 1 0 11 1 1 01 1 1 1010100101111111100000000表达式表达式卡诺图卡诺图 【例】【例】 画出逻辑函数画出逻

47、辑函数的卡诺图。的卡诺图。 一个与项如果缺少一个变量，一个与项如果缺少一个变量，对应卡诺图中两个方格；对应卡诺图中两个方格； 一个与项如果缺少两个变量，一个与项如果缺少两个变量，对应卡诺图中四个方格；对应卡诺图中四个方格； 一个与项如果缺少一个与项如果缺少n个变量，个变量，则对应卡诺图中则对应卡诺图中2n个方格。个方格。DCABDABACY1111111000000000DCABDBAACDCABDABACY卡诺图卡诺图标准表达式标准表达式 =(0,2,7,8,10,13)100120ABCD000100010017011101101130010180011000000010011110001

48、0101101DCABDCBADCBABCDADCBADCBAY卡诺图卡诺图标准或与式标准或与式 【例】 =(1,5,9,15) 10111ABCD0001000110511111011110151101091100000001010110011111)()()(DCBADCBADCBADCBAY2.卡诺图化简法求最简与或式卡诺图化简法求最简与或式卡诺图的相邻性卡诺图的相邻性 最小项的相邻性定义：两个最小项，只有一最小项的相邻性定义：两个最小项，只有一个变量的形式不同，其余变量的都不变，这两个个变量的形式不同，其余变量的都不变，这两个最小项是逻辑相邻的。最小项是逻辑相邻的。 卡诺图的相邻性判别

49、：在卡诺图的两个方格卡诺图的相邻性判别：在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取值不同，其余变量的中，如果只有一个变量的取值不同，其余变量的取值都不变，则这两个方格对应的最小项是逻辑取值都不变，则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的。相邻的。111110100000CBACBACABABC 卡诺图化简法的一般卡诺图化简法的一般规律规律（1）两个相邻的两个相邻的1方格方格圈在一起，消去一个消去一个变量变量。 000 001 00X 001 011 0X1 101 001 X01BACBACBACABCACBACBCBACBA 100 110 1X0 0101 1101 X1010011 1011

50、 X011CACABCBACDBCDBACDBADCBDCABDCBA（2）四个相邻的四个相邻的1格圈在一起格圈在一起，消去两个变量消去两个变量。0000 + 0010 1000 + 1010111100X010X0+=X0X0DB（3）八个相邻的八个相邻的1方格圈在一起，消去三个变量。方格圈在一起，消去三个变量。 (4）2n个相邻的个相邻的1方格圈在一起，消去方格圈在一起，消去n个变个变量。量。 2n个相邻的个相邻的1方格对应的方格对应的2n个最小项中，个最小项中，有有n个变量的形式变化过，将它们相或时可个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这以消去这n个变量，只剩下不变的因子。个变量，只

51、剩下不变的因子。（5）如果卡诺图中所有的方格都为）如果卡诺图中所有的方格都为1，将它，将它们圈在一起，结果为们圈在一起，结果为1。 卡诺图化简法的步骤和原则卡诺图化简法的步骤和原则 卡诺图化简最简与或式的一般步骤：卡诺图化简最简与或式的一般步骤：（1）画出函数的卡诺图；）画出函数的卡诺图；（2）先圈孤立）先圈孤立1格；格；（3）再圈只有一个方向的最小项（）再圈只有一个方向的最小项（1格）组合；格）组合；（4）合并其余最小项，每个圈内必须有一个）合并其余最小项，每个圈内必须有一个1格未被圈过。格未被圈过。（5）写出最简与或表达式。）写出最简与或表达式。Y(A,B,C,D)=m(0,2,5,6,7

52、,9,10,14,15)写出最简与或式。写出最简与或式。DBABCDCBDADCBAY111111111DCBA BDADCBCDBA 卡诺图化简最简与或式的原则：卡诺图化简最简与或式的原则：（1）每个）每个1格至少被圈一次。当某个方格被圈多于格至少被圈一次。当某个方格被圈多于一次时，相当于对这个最小项使用同一律一次时，相当于对这个最小项使用同一律A+A=A，并不改变函数的值。并不改变函数的值。（2）每个圈中至少有一个）每个圈中至少有一个1方格是其余所有圈中不方格是其余所有圈中不包含的。包含的。 如果一个圈中的任何一个如果一个圈中的任何一个1方格都出现方格都出现在别的圈中，则这个圈就是多余的。

53、在别的圈中，则这个圈就是多余的。（3）任一圈中不能包含）任一圈中不能包含0格。格。（4）圈的个数越少越好。）圈的个数越少越好。 圈的个数越少，得到的圈的个数越少，得到的与项就越少。与项就越少。（5）圈越大越好。）圈越大越好。 圈越大，消去的变量越多，所圈越大，消去的变量越多，所得与项包含的因子就越少。每个圈中包含的得与项包含的因子就越少。每个圈中包含的1方方格的个数必须是格的个数必须是2的整数次方。的整数次方。【例】化简函数 写出最简与或式。解： 填卡诺图填卡诺图 CB11111111111111D)()(ADCBBADY)()(ADCBBADYCBDDBACBBDDA【例】【例】 Y=m（0

54、,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15），写出最简与或式。），写出最简与或式。 （a）两次求反实现与非两次求反实现与非-与非表达式与非表达式 （b） DCACABACDBCADBY1111ACDDCACABACDBCADBYDCACBADCACBABDYDCACBADCACBABDYDCADBBCACAB3. 卡诺图化简求最简或与式卡诺图化简求最简或与式 对相邻的对相邻的0格进行合并。格进行合并。【例】【例】 ，最简或与式。，最简或与式。解：方法解：方法直接圈直接圈0格，写或与表达式格，写或与表达式两次求反实现或非两次求反实现或非-或非表达式或非表达式方法方法圈圈0格，求反函数

55、最简与或式格，求反函数最简与或式求与或非式：圈求与或非式：圈0格，格，写反函数写反函数 最简与或式。最简与或式。取反取反DCBADCBABACDAY(A+B+C) AB)()(CBADBBAYCBADBABY)()(CBADBBAYABDBCBAYABDBCBAYCBADB)(DB)(BA)()()(CBADBBAYY再取反再取反Y2.6 带无关项逻辑函数的化简带无关项逻辑函数的化简1.逻辑函数中的无关项逻辑函数中的无关项 无关项是约束项和任意项的统称无关项是约束项和任意项的统称变量的某些取值组合是不会发生的，这些不会发生的组合所对变量的某些取值组合是不会发生的，这些不会发生的组合所对应的最小项称为约束项。应的最小项称为约束项。对变量所有可能的取值，约束项的值都等于对变量所有可能的取值，约束项的值都等于0。对变量约束的具。对变量约束的具体描述叫做约束条件。体描述叫做约束条件。例如，例如，AB+AC=0，(5,6,7)=0, d(5,6,7)等。在真值表和卡诺图等。在真值表和卡诺图中，约束一般记为中，约束一般记为“”或或“”d”。例：交通灯，红黄绿例：交通灯，红黄绿(RYG)亮为亮为1，控制电路，控制电路(F)正常工作为正常工作为1。约束条件：约束条件：GYRGYRGYRF0RY