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文档简介

1、正交变换化二次型为标准型 线性代数在线开放课程1.正交变换定义1：如果二次型 ),(21nxxxf使得原二次型化为标准形，且通过满秩变换XCY 满秩方阵C矩阵，则称此变换为正交变换。是正交任何一个二次型都可化为标准型。 2.化二次型为标准形即：任何一个对称矩阵,A总能找到可逆矩阵,C使得TC AC成为对角矩阵。是不是任何一个二次型都可以化为标准型呢？2.化二次型为标准形对于任何一个二次型 12(,),nf xxx一定能找到一个正交矩阵,T使得经过正交变换 把它化为标准形2222211nnyyy,XTY其中 n,21是二次型),(21nxxxf的矩阵的全部特征值。A二次型如何化为标准型呢？例题1

2、：求一个正交变换,XTY把二次型2212312121323( ,)33244f x x xxxx xx xx x化为标准形.解：解： 123( ,)f x x x的矩阵是的矩阵是A的特征多项式的特征多项式2(4) (2).解：解： 123( ,)f x x x的矩阵是312132 ,220AA的特征多项式2(4) (2).于是 A的不同特征值为14（二重），22. 对于14（二重），1124112224EA 求解齐次线性方程组(4)0EA X21312 112000 .000求得一个基础解系为111 ,0 220 ,1 先正交化, 令1111 ,0 2122111211(,)2011 .(,)2101 再单位化，令1111/211/2 ,02221/311/3 .1/3 对于 22, 求解齐次线性方程组( 2)0EA X求得它的一个基础解系为311 ,2再单位化，得3331/61/6.2/6令1231/21/31/6 , 1/21/31/6,01/32/6T =则是正交矩阵，并且有T400040 .002T

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