图像处理课件-chapter6

1、(数字数字)图像处理图像处理(Digital) Image Processing 第第6章章 图像重建图像重建6.1 计算机断层扫描技术计算机断层扫描技术6.2 投影定理投影定理6.3 傅立叶投影定理傅立叶投影定理6.4 卷积逆投影重建卷积逆投影重建6.5 代数重建代数重建6.6 三维图像重建的体绘制三维图像重建的体绘制发射断层成像系统发射断层成像系统反射断层成像系统反射断层成像系统透射式断层扫描成像系统透射式断层扫描成像系统发射断层成像：发射断层成像： 发射源在物体内部，将具有放射性的离发射源在物体内部，将具有放射性的离子（放射元素）注入物体内部，在物体子（放射元素）注入物体内部，在物体外部

2、检测其经过物体吸收之后放射量外部检测其经过物体吸收之后放射量。发射投影成像发射投影成像 如，正电子发射成像（如，正电子发射成像（PET：Positron Emission Tomography） 采用在衰减时放出正电子的放射性离子，放出的采用在衰减时放出正电子的放射性离子，放出的正电子很快与负电子相撞湮灭而产生一对相背运正电子很快与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。动的光子。 相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线，确定一条射线， 检测器围绕物体呈环形分布，检测器围绕物体呈环形分布， 相对的两个检测器构成一组检测器对，检测由一相对

3、的两个检测器构成一组检测器对，检测由一对正负电子产生的光子。对正负电子产生的光子。 正电子负电子光子光子PETPET成像系统示意图成像系统示意图检测器检测器反射断层成像：反射断层成像：将入射信号（通常是单色平面波）入射到将入射信号（通常是单色平面波）入射到物体上，通过检测经物体散射（反射）后物体上，通过检测经物体散射（反射）后的信号强度来重建的信号强度来重建。射线投影成像的基本原理：射线投影成像的基本原理： 人体组织对人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减，射线吸收和散射，造成衰减， 人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。射线吸收能力

4、有所不同。入射线入射线 组织对射线的吸收组织对射线的吸收散射线散射线散射线散射线透射投影成像，透射投影成像， 图图6.2表示等强度的射线透过不同密度分布时表示等强度的射线透过不同密度分布时的情况，的情况， 每块上的数字表示每块的密度或衰减，总的衰每块上的数字表示每块的密度或衰减，总的衰减是叠加的，减是叠加的， 其中一条射线束通过均匀密度物质的厚块，另其中一条射线束通过均匀密度物质的厚块，另一射线通过不等密度的厚块组合，但检测器的一射线通过不等密度的厚块组合，但检测器的记录相同，记录相同， 因此，投影重建时需要一系列投影才能重建二因此，投影重建时需要一系列投影才能重建二维图像。维图像。 10 投

5、影重建是利用人体投影重建是利用人体(物体物体)对射线的能量吸对射线的能量吸收衰减作用收衰减作用,不同密度的组织具有不同的吸不同密度的组织具有不同的吸收能力。收能力。入射线6222入射线6141入射线少透射高密度体高密度体多透射入射线低密度体低密度体等强度射线穿透不同组织的情况等强度射线穿透不同组织的情况116.1 计算机断层扫描技术计算机断层扫描技术CT扫描成像示意图扫描成像示意图扫描 CTCT扫描成像的示意图扫描成像的示意图计算机计算机准直器X X射线管射线管视频监视器视频监视器测量电路检测器12第一代第一代CT单个探测器单个探测器平移旋转平移旋转并行光光束并行光光束 (From G. Wa

6、ng)13第二代第二代CT多个探测器多个探测器平移旋转平移旋转小扇形光束小扇形光束(From G. Wang)14第三代第三代CT多个探测器多个探测器平移旋转平移旋转大扇形光束大扇形光束(From G. Wang)15CT一次平移扫描所获得的输出信号一次平移扫描所获得的输出信号CT一次平移扫描所获得的输出信号一次平移扫描所获得的输出信号光电倍增管输出电信号光电倍增管输出电信号检测点位检测点位置置信号电流信号电流X检测器检测器平移接收平移接收X射线管射线管平移扫描平移扫描CT机对人体腹部的平移运动机对人体腹部的平移运动受受检检组组织织X射线射线16第第1 1次平移次平移头颅头颅CTCT扫描成像示

7、意图扫描成像示意图X X射线管射线管X X检测器检测器旋 转第29次平移17第四代第四代CT环形探测器环形探测器发射源旋转发射源旋转大扇形光束大扇形光束(From G. Wang)18第三和第四代第三和第四代CT(From Picker)(From Siemens)19CT 扫描仪扫描仪扫描速度扫描速度: 50, 100 ms扫描厚度扫描厚度: 1.5, 3, 6, 10 mm(From Imatron)20Filter数据获取系统数据获取系统 (DAS)SourceDetectorPre-CollimatorPost-CollimatorPatientScattering(From G. W

8、ang)21数据获取系统数据获取系统(DAS)X-ray TubeDetectorsCT Gantry(From Siemens)FilterSourceDetector(From G. Wang)22医学影像领域：医学影像领域： Computed Tomography(CT)：获：获1979年诺贝尔奖（年诺贝尔奖（Nobel Price） 布尔赫、珀塞尔，获布尔赫、珀塞尔，获1952年诺贝年诺贝尔奖，发现了核磁共振现象尔奖，发现了核磁共振现象 劳特布尔（美）、劳特布尔（美）、P曼斯菲尔德曼斯菲尔德（英）获（英）获2003年年诺贝尔奖，核年年诺贝尔奖，核磁共振的研究磁共振的研究（英）（英）G.

9、N.Hounsfield（美）（美）Allan M. Cormack236.2 投影定理投影定理一个一个N维函数维函数f(x1,x2,x3,xN)在第在第N1维维上的映射称为函数上的映射称为函数f在第在第N-1维的投影。维的投影。在简单的二维情况下，函数在简单的二维情况下，函数f(x,y)在在x轴上轴上（沿（沿y方向）和在方向）和在y轴上（沿轴上（沿x方向）的投方向）的投影可分别表示为影可分别表示为 : dyy, xfxgy dxy, xfygx24 设设f(x,y)的傅立叶变换为的傅立叶变换为F(u,v)，则根据傅，则根据傅立叶反变换式可知：立叶反变换式可知：dudvvyuxjvuFyxf

10、2exp,),(25把把f(x,y)傅立叶变换代入傅立叶变换代入： dydudvvyux2 jexpv, uFxgy dyvyjdudvuxjvuF2exp2exp, dudvvuxjvuF2exp, duuxjdvvvuF2exp,duuxjuF2exp0 ,26 上式表明上式表明g gy y(x)(x)是是F(u,0)F(u,0)的傅立叶反变换的傅立叶反变换。或者说。或者说g gy y(x)(x)的傅立叶变换的傅立叶变换G(u)G(u)与与F(u,0)F(u,0)相同。由此可知，函数相同。由此可知，函数f(x,y)f(x,y)在在x x轴上投影的傅立叶变换等于轴上投影的傅立叶变换等于f(x

11、,y)f(x,y)的傅的傅立叶变换在立叶变换在(u,v)(u,v)平面上沿平面上沿u u轴平面上的轴平面上的切片。切片。 27沿沿y y轴的投影图示轴的投影图示沿沿y轴的的投影示意图轴的的投影示意图f(x,y)(a) 二维函数二维函数f(x,y)在在x轴上投影轴上投影yxgy(x) (b) f(x,y)傅立叶变换傅立叶变换F(u,v)在在u 轴上切片轴上切片F(u,v)vuF(u,0)28假设函数假设函数f(x,y)投影到一条经过旋转的直投影到一条经过旋转的直线上线上t1，t是一条与是一条与t1平行经过原点的直线平行经过原点的直线，与，与t垂直经过原点的直线为垂直经过原点的直线为s，该直线，该

12、直线s与与x轴的夹角为轴的夹角为，直线，直线t1离开原点的距离离开原点的距离为为s1 29cosysinxtsinycosxs坐标旋转关系坐标旋转关系tyxst1s1s1=xcos+ ysin30函数f(x,y)沿着s方向(在t1轴上)的投影为tsdtyxfsg,1 31111111122,( , )exp(2)( , )sxp(2)( , )exp2(cossin )(cossin) ( , )exp2 (cossin )( cos , siG rg sjrs dsf x y dtjrs dsssxyf x yjr xRydxdyttxyf x yjxryrdxdyF rr n )1( ,

13、)exp2()( , )sxp2()( , )f x yjr xuyv dxdyf x yjr xuyv dxdyF u v ( , )( cos , sin )( , )G rF rrF u v32 上式表明，上式表明，f(x,y)在一条与在一条与x轴夹角为轴夹角为，离开原点距离为离开原点距离为r的直线上的投影的傅立的直线上的投影的傅立叶变换等于二维傅立叶变换在与叶变换等于二维傅立叶变换在与u轴成轴成方向上的切片，这就是投影定理，也称方向上的切片，这就是投影定理，也称之为切片定理。之为切片定理。 33 投影定理示意图投影定理示意图f (x,y)yx vuF(u,v)F(r,)ts 34dxd

14、yvyux2 jexpdzz , y, xf0 , v, uF dxdyvyux2 jexpy, xgzdzz, y, xfy, xgz其中356.3 傅立叶投影重建傅立叶投影重建 傅立叶投影重建的基础就是傅立叶投影定理。傅立叶投影重建的基础就是傅立叶投影定理。 根据投影定理，如果能将不同角度1,2, n得到的投影值进行傅立叶变换，就可以得到F(u,v)分别在相应角度位置上的切片。当切片趋向无穷多，即取无穷多个投影时，就可获得在 (u,v)平面上的所有F(u,v)值，从而进行傅立叶反变换就可以重建图像f(x,y)。36sdsy, xf,gdR2 jexp,g,RG 200RdRdsinycos

15、xR2 jexp,RGy, xf37 0dRdsinycosxR2 jexp,RGRy, xfdRsinycosxR2 jexp,RGR; y, xfd; y, xfy, xf038由此可得，用傅立叶变换法重建图像的步骤如下： 根据式（6.12）或式（6.18）对N个不同方向上投影进行一维傅立叶变换。 在傅立叶变换空间从极坐标向直角坐标插值。 利用式（6.15）或离散形式的傅立叶频谱进行反变换得到重建图像。396.4 卷积逆投影重建卷积逆投影重建卷积逆投影重建法：以投影切片定理为基础；卷积逆投影重建法：以投影切片定理为基础；傅立叶变换重建法：计算量比较小，但要二维傅立叶变换重建法：计算量比较小

16、，但要二维插值，在射电天文学研究中得到应用广泛；插值，在射电天文学研究中得到应用广泛；卷积逆投影法：能快速实现，噪声较小时可重卷积逆投影法：能快速实现，噪声较小时可重建出准确清晰的图像，在建出准确清晰的图像，在X射线射线CT成像中应用成像中应用广泛。广泛。 40在计算投影的一维傅立叶变换在计算投影的一维傅立叶变换F(R,)时，时，R为频域极轴为频域极轴变量。投影数据变量。投影数据g(,)总是被有限截断。当总是被有限截断。当的取样间的取样间隔为隔为d时，在频率时，在频率R的变化范围将是的变化范围将是-d/2d/2，于是投，于是投影切片定理可近似写成影切片定理可近似写成:12102,exp2cos

17、sinddf x yR F RjR xydRd 1212( )exp( 2)ddhRjRdR cossinxy1212cossinexp2cossinddh xyRjR xydR因为因为 ，上式记：，上式记：41由由(6.15)可知：可知：0( , )( , , )f x yf x yd 121212121212, ;,exp2cossin,exp2exp2cossin,exp2cossin,cossinddddddfx yR F RjR xydRRgjRdjR xydRgRjR xydRdgh xyd 卷积逆投影法重建图像为卷积逆投影法重建图像为：42由式（由式（6.21）可知，右边正是投影

18、数据）可知，右边正是投影数据g(,)与脉冲响应与脉冲响应h()所表示的滤波器的卷积，所表示的滤波器的卷积，h()为卷积函数。为卷积函数。求求f (x,y,) 则是在则是在角方向上卷积了的投影，角方向上卷积了的投影，因此从式（因此从式（6.22）求）求f (x,y)可被认为是求逆投可被认为是求逆投影过程，即卷积逆投影重建法。影过程，即卷积逆投影重建法。43式（式（6.20）所表示的）所表示的h()正是频率响应为正是频率响应为|R|的的滤波器，如下图所示，通常称为重建滤波器。滤波器，如下图所示，通常称为重建滤波器。由此可知，卷积逆投影重建的关键是设计重建由此可知，卷积逆投影重建的关键是设计重建滤波

19、器。下面简单介绍重建滤波器的设计。滤波器。下面简单介绍重建滤波器的设计。对式对式(6.20)求积分：求积分： 122122sin()sin (2)1()exp( 2)222ddddhRjRdRddd 44在离散情况下，重建滤波器被有限截断，设在离散情况下，重建滤波器被有限截断，设在在的变化范围内，对其取的变化范围内，对其取M点，采样间隔点，采样间隔为为d，即，即= md， 。21Mm456.5 代数重建代数重建投影重建的傅立叶变换法和滤波器逆投影都在投影重建的傅立叶变换法和滤波器逆投影都在变换域（频率域）内处理；变换域（频率域）内处理；这两种方法都在连续域内进行解析处理，为便这两种方法都在连续

20、域内进行解析处理，为便于计算机实现，引入离散化和有限近似。于计算机实现，引入离散化和有限近似。代数重建技术则是属于另一类方法，也称为级代数重建技术则是属于另一类方法，也称为级数展开法，它是一种逐次逼近的迭代算法。数展开法，它是一种逐次逼近的迭代算法。46代数重建法：代数重建法： 需要在重建的目标上加一栅格，将目标划分为许需要在重建的目标上加一栅格，将目标划分为许多等大小的体积单元，多等大小的体积单元， 计算每个体元的衰减系数，计算每个体元的衰减系数， 写成矩阵形式如下：写成矩阵形式如下：Y = AX ； 在许多位置，射线束只是部分地通过一些体元。在许多位置，射线束只是部分地通过一些体元。47代

21、数法重建：切片栅格小体积元（小立方体）代数法重建：切片栅格小体积元（小立方体）扫描重建栅格扫描重建栅格48迭代方法来求解式迭代方法来求解式(6.26)的基本思想：的基本思想：根据物体已有的先验知识，先对未知图像的各像素都根据物体已有的先验知识，先对未知图像的各像素都赋予一个初始估值，赋予一个初始估值，利用这些假设数据去计算各射线穿过对象时可能得到利用这些假设数据去计算各射线穿过对象时可能得到的投影值的投影值,将算得的值和实测投影值进行比较，按照差异获得一将算得的值和实测投影值进行比较，按照差异获得一个修正值，个修正值，根据这些修正值，修正各对应射线穿过的诸像素值，根据这些修正值，修正各对应射线

22、穿过的诸像素值，如此反复迭代，直到计算值和实测值接近所要求的精如此反复迭代，直到计算值和实测值接近所要求的精度为止。度为止。49具体实施步骤如下： (1)对于未知图像各像素均给予一个假定的初始值，从而得到一幅初始计算图像，如设各像素的初始值均为0。 (2)根据假设图像，求对应第i条射线穿过时，各体单元应得到的各个相应投影值Z1*，Z2*，Zn*。 (3)将计算值Z1*，Z2*，Zn*和对应的实测值Z1，Z2，Zn进行比较，然后取对应差值Zi=ZiZi* 作为修正值。50 (4)用每条射线的修正值来修正和该射线相交的诸像素值。 (5)用修正后的像素值重复(1)(4)步，直到计算值和实测值之差，即修正值小到所允许