波函数与薛定谔方程

1、 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation1 波函数的标准条件波函数的标准条件V（1 1）根据）根据BornBorn统计解释，统计解释， 是粒子在是粒子在时刻出现在时刻出现在 点的几率，这是一个确定的数，所以点的几率，这是一个确定的数，所以要求应是要求应是 的单值函数且有限。的单值函数且有限。2( , )( , )r tr trt( , )r t( , )r t（2 2）根据粒子数守恒定律）根据粒子数守恒定律 : :( , )2SSVdir t dJ dSdSdt 此式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，此式右边含有及其对坐标一阶导数的

2、积分，由于积分区域是任意选取的，所以是任意闭合由于积分区域是任意选取的，所以是任意闭合面。要使积分有意义，必须在变数的全部范围，面。要使积分有意义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。连续。 概括之，波函数在全空间每一点应满足概括之，波函数在全空间每一点应满足单值、单值、有限、连续有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条三个条件，该条件称为波函数的标准条件。件。S Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation2( , )( )iEtr tr e 2 2定态

3、定态SchrSchrdingerdinger方程方程 当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数波函数 由方程（由方程（2 2），即由），即由)(r 定态薛定谔方程定态薛定谔方程1 1定态波函数定态波函数 当粒子处在由波函数当粒子处在由波函数（1）所描述的状态时，所描述的状态时，粒子的能量粒子的能量 有确定的值，这种状态称为定态；描有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数（述定态的波函数（1）称为定态波函数。）称为定态波函数。（1）E)()()(222rErrU（2）在给定的定解条件下求出，方程（在给定的定解条件下求出，方程（2 2）称为）

4、称为定态定态Schr- Schr- dingerdinger方程。方程。 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation33.Hamilton3.Hamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程( , )( , )r tiEr tt 22( )( , )( , )2U rr tEr t 这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数 上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符),(tr（4）（3）ti均称为均称为能量算符能量算符 22( )2U r )(22

5、2rUH利用哈密顿算符利用哈密顿算符(能量算符能量算符) Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation4可将方程可将方程(4)和定态和定态SchrSchrdingerdinger方程方程(2)和和分别分别写成写成),(),(trEtrH )()(rErH和和两式均称为两式均称为哈密顿哈密顿算符算符(能量算符能量算符)的的本征方程本征方程 的的本征函数本征函数H能量能量本征值本征值 为为本征波函数本征波函数),( tr 当体系处在能量本征波函数所描写的状态当体系处在能量本征波函数所描写的状态(又称又称本本征态征态)中时，粒子的能量有确定的值

6、。中时，粒子的能量有确定的值。 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中的能量数及这些态中的能量;求定态波函数的问题又归结为求定态波函数的问题又归结为解定态解定态Schrdinger方程方程+定解条件构成的本征值问题定解条件构成的本征值问题。 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation54.4.求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤( , )( )eniE tnnnr tCr1| )(|2 drCnn)()(222rErV （1 1）列出定态）列出定态SchrodingerSchro

7、dinger方程方程（2 2）根据波函数三个）根据波函数三个 标准条件求解能标准条件求解能量量 的本征值问的本征值问题，得题，得：E1212,nnEEE，本征能量本征能量本征函数本征函数（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数nC（3 3）写出定态波函数）写出定态波函数 即得到对应第即得到对应第 个个本征值本征值 的定态波的定态波函数函数nEn?nC Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation6( , )( )niE tnnr tr e*( , )( , )( , )( , )2nnnniJr tr tr tr t*

8、( )( )( )( )2nnnnirrrr22( , )( , )( )nnnr tr tr 与与 无关无关t5 5定态的性质定态的性质（2 2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关（1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关与与 无关无关t判别定态的方法：判别定态的方法：（1 1）能量是否为确定值）能量是否为确定值（2 2）几率与时间无关）几率与时间无关（3 3）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation7 1. 1.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？

9、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？EtiixtEiixexvexux)()()(1（1） tEitEiexuexux21)()()(2（2） tEitEiexuexux)()()(3（3） 思 考 题思 考 题 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation82.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger Schrodinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题 一维定态问题（一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯

10、穿）。 （1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理； （2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理； （3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；题中展现出来； （4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。其好处主要有四：其好处主要有四： Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation91 1

11、定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程axaxxU0)()()()(2222xExxUdxd)(2222xUdxdH哈密顿算符哈密顿算符无限深势阱无限深势阱-aa0U(x)2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续1 1）222222( )( )2( )( )( )2dxExxadxdxxExxadx(1)(2)考虑一维粒考虑一维粒子的运动，子的运动，其势能为其势能为: : Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation102 2定态定态SchrSchrdingerdinger方程的解方程的解因因 及及 有限，由（

12、有限，由（2 2） )(x0)(xxa（3）E令令222E（4）222( )0dxdx 从物理考虑，粒从物理考虑，粒子不能透过无穷子不能透过无穷高的势壁。高的势壁。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续2 2） 其通解为其通解为 xBxAxcossin)(ax （5） 利用利用 的连续性，由（的连续性，由（3 3）和（）和（5 5）得）得)(x( )sincos0()sincos0aAxBaaAaBa （1）（4） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation11当当 ，有，有00BA0sinaann2（n n为偶数）为偶数）

13、 (6)当当 ，有，有0cosa00BAann2（n n为奇数）为奇数） (7)2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续3 3）(6)(6)和和(7)(7)两式统一写成两式统一写成, 3 , 2 , 1,2nann（8） 本征能量：本征能量： （9） 22228nnEa222 E Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation12本本征征函函数数2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续4 4）sin()2( )00nnAxnxaaxx（10） 为偶数为偶数cos()2( )00nnBxnxaaxx（11） 为奇数为奇数(

14、10)(10)和和(11)(11)两式统一写成两式统一写成sin()2( )0nnAx axaaxxa由归一化条件求得归一化常数由归一化条件求得归一化常数1Aa Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation13推导推导: 2222|aannnnaaxdxdxdxdx22222|sin()211 cos()12aanaaaandxAx adxanAx a dxA aa1Aa（取实数）（取实数）2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续5 5）axax)ax(ansina)x(n021（12） 归一化归一化的本征的本征函数函数 Cha

15、pter 2The wave function and Schrdinger Equation142212( , )nni ni nx E tx E taanx tCeCeax or 由此可见：粒子的每个定态波函数由此可见：粒子的每个定态波函数 是由是由两个沿相反方向传播的两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波平面波叠加而成的驻波。),(txn1( , )sin()2nniiE tE tnnnx tex a eaaax 3粒子的定态波函数粒子的定态波函数2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续6 6） Chapter 2The wave function and Schrdinge

16、r Equation154 4几率幅与几率密度曲线图几率幅与几率密度曲线图2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续7 7） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation165.5.宇称宇称( , )(, )rrr tr t 空间反射：空间矢量反向的操作。空间反射：空间矢量反向的操作。称波函数具有称波函数具有正宇称正宇称（或偶宇称）（或偶宇称）(, )( , )r tr t称波函数具有称波函数具有负宇称负宇称（或奇宇称）（或奇宇称）(, )( , )r tr t（3 3）在空间反射下，如果）在空间反射下，如果(, )( , )r

17、tr t 则则称称波函数没有确定的宇称。波函数没有确定的宇称。（1 1）在空间反射下，如果有：）在空间反射下，如果有： (, )( , )r tr t 则称波函数有则称波函数有确定的宇称。确定的宇称。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续8 8） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation17讨论讨论22128Ea基态基态能量能量（3 3） 取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。 n2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续9 9）（1 1）能量）能量 取分离谱，即能量是量子取分离谱，即能量是量

18、子化的。化的。22228nnEa(2)(2)粒子能量最低的态粒子能量最低的态 称为基态称为基态1与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为表现，因为“静止的波静止的波”是没有意义的，亦即是没有意义的，亦即 的态不存在，无意义。的态不存在，无意义。0,0,0nE Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation18本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： 而导致的。而导致的。)()(xUxU（5 5）束缚态束缚态通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状

19、态称为束缚态。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续1010）（4 4）当）当 为偶数时，为偶数时， ，即，即 具有具有负宇称负宇称（奇宇称）。（奇宇称）。 当当 为奇数时，为奇数时， ，即，即 具有具有正宇称正宇称（偶宇称（偶宇称) )。nn)()(xxnn)(xn)()(xxnn)(xn Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation192.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力 作作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：用，由牛顿第二定律可以写出运动

20、方程为：Fk x2220d xk xxxkdt其解为其解为 。这种运动称为简谐振动，作这种运这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。动的粒子称为（线性）谐振子。sinxAt经典允许的振动范围经典允许的振动范围谐振子在运动中能量守恒。谐振子在运动中能量守恒。其能量是振幅的连续函数其能量是振幅的连续函数。 1.经典谐振子经典谐振子222122xpHmxm 谐振子哈密顿量：谐振子哈密顿量：引 言引 言 谐振子能量：谐振子能量：2212Em A Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation20 量子力学中的线性谐振子是指在势场量

21、子力学中的线性谐振子是指在势场 中运动的质量为中运动的质量为 的粒子的粒子 2221)(xxV2.2.量子谐振子量子谐振子 例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势 是二者相对距离是二者相对距离 的函的函数，如图所示。数，如图所示。Vx 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近

22、似，所以简谐振动的简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。x221212122pHkxm mmm2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续1 1） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation2122211( )( )()()1!2!x ax aVVV xV ax ax axx201()2Vk xa在在 处，有一极小处，有一极小值值 。在。在 附近，附近，势可以展开成泰勒级数：势可以展开成泰勒级数：x a0Vx aaxV(x)0V022x

23、aVkx记记若取若取 ，即平衡位置处于势即平衡位置处于势 点；并记点；并记 ，则，则00V 00V 2k 2212V xx2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续2 2）0( )V aV0 x aVx Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation22Hamilton operator 22222212xdxdH定态定态SchrSchrdingerdinger方程：方程： )()(21222222xExxdxd1. 1. SchrdingerSchrdinger方程方程（1） 改写成改写成0)(21222xxEdxd令令 E2（ 为待定常

24、数） （2） x,（3） 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续3 3） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation23于是方程（于是方程（2 2）可写成）可写成0)(222dd（4 4） 2. 2. 方程的求解方程的求解当当 时，方程（时，方程（4 4）的渐近形式为）的渐近形式为 222dd（5 5） 方程（方程（5 5）在）在 处的有限解为处的有限解为 221)(e令方程（令方程（4 4）的解）的解 212( )( )He （6 6） 代入方程（代入方程（4 4）可得）可得 满足的微分方程满足的微分方程 )(H2.7 2.7 线

25、性谐振子线性谐振子（续续4 4） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation24本征函数本征函数: :2222!( )(2 )(1)(2 )( 1)(2 )!2nnnnnnnHn nn 用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（7 7）满）满足有限性条件（足有限性条件（8 8）的有限解，可得厄密方程本征）的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值：值问题的本征值：( )H有限值, (- UEU0 0 情形情形1. 1. 定态薜定谔方程定态薜定谔方程0 aV(x) V0I II IIIE令令 12122mkE1

26、22022()mkE U2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation36则方程变为则方程变为)0(0), 0(022222122axkdxdaxxkdxd分分区区取取解解112211123(0)(1)(0)(2)()(3)ikxikxik xik xikxikxAeA exBeB ex aCeC ex a 2. 2. 方程的求解方程的求解向右传播的向右传播的入射平面波入射平面波向左传播的向左传播的反射平面波反射平面波由左向右的透射波由左向右的透射波因因区无由右向左传播区无由右向左传播的平面波，故的平面波，

27、故0C 三式均三式均为两个为两个左右传左右传播的平播的平面波的面波的叠加叠加2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation37 可得透射波振幅可得透射波振幅 及反射波振幅及反射波振幅 与入射波与入射波振幅振幅 间间的关系的关系CAA联立这四个方程式，联立这四个方程式，消除消除 与与BB102012002332( )()()()xxxxx ax ax ax adddxdxdddxdx由由波波函函数数的的连连续续性性条条件件 A AB B1122k A k Ak B k B221ik aik aik aBeBe

28、Ce221221ik aik aikak Bek BekCeAekkekkekkCaikaikaik22122122121)()(4（4 4）2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation38AekkekkakkkiAaikaik2222122122221)()(sin)(2（5 5）利用几率流密度公式利用几率流密度公式: :*()2iJm 求得入射波求得入射波 的几率流密度的几率流密度 xikAe121| AmkJ透射波透射波 的几率流密度的几率流密度 xikCe121|CmkJD反射波反射波 的几率流密

29、度的几率流密度 xikeA121| |RkJAm2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation39 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。反射的几率，定义透射系数和反射系数。3. 3. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数透射透射系数系数222122222212221224sin)(4|kkakkkkkACJJDD（6 6）反射反射系数系数22 222122222 222212212|() sin|() sin4RJkkakA

30、RJAkkakk k（7 7）以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到 的的IIIIII区域，另一部分则被势垒反射回来。区域，另一部分则被势垒反射回来。xa1DR表明粒子数守恒表明粒子数守恒2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation40（2 2）EUEU0 0情形情形122022()mkE U 是虚数是虚数 23kik令令21023)(2EUmk是实数是实数其中在在(4)(4)和和(6)(6)式中，把式中，把 换为换为 ，得到，得到2k3ik透射波振幅透射波振幅: : 1

31)2ik aikk eCAkkshakikkchak（8 8）2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation41透射系数透射系数: : 2213222222133134()4k kDkksh akk k（9 9）隧道效应隧道效应 （tunnel effecttunnel effect） 粒子能够穿透比它粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象动能更高的势垒的现象称为称为隧道效应隧道效应. .它是粒它是粒子具有波动性的生动表子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只现。当然，这种现象只在一定

32、条件下才比较显在一定条件下才比较显著。右图给出了势垒穿著。右图给出了势垒穿透的波动图象。透的波动图象。此结果表明，即使此结果表明，即使 ，透射系数透射系数 一般不等于零。一般不等于零。0EUD0 aV(x)V0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波x2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation4233333222311,24k ak ak ak ak aeeshkaeee当当 很小，或很小，或 ，而，而 又不太小时，有又不太小时，有 ，则则E0UEa31ak讨 论讨 论于是于是0322 ()200am U

33、Ek aD DeDe（1010）式式(9)(9)化成化成3231314144k aDkkekk1.1.低能粒子穿透低能粒子穿透因因 与与 同数量级，同数量级， 则则 故故4可忽略可忽略13ak432ake1k3k2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿2031023101616E UEkkDkkU表明表明 随垒宽随垒宽 和和垒高垒高 的增大而的增大而成指数减小。成指数减小。a0UD Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation43 2.2.任意形状的势垒任意形状的势垒可把任意形状的势垒分割成可把任意形状的势垒分割成许许 多小势垒，这些小势垒可多小

34、势垒，这些小势垒可以近以近 似用方势垒处理。似用方势垒处理。dxExVeDD)(202 对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数E0 a bV(x)dxx2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿dxExVbaeDD)(202 则贯穿整个势垒的则贯穿整个势垒的 透射系数等于贯穿这些小方透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即势垒透射系数之积，即此式的推导虽不太严此式的推导虽不太严格，但该式与严格推格，但该式与严格推导的结果一致。导的结果一致。 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation444.4.应用实例应用实例 19621962年年,

35、,JosephsonJosephson发现了发现了JosephsonJosephson节。将两块超节。将两块超导体用一绝缘层隔开导体用一绝缘层隔开, ,如果绝缘层较厚如果绝缘层较厚, ,电流则不易通电流则不易通过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的也库珀过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的也库珀电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。JosephsonJosephson节是宏观量子隧道效应的一个典型例子节是宏观量子隧道效应的一个典型例子 量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow Gamow 首先用势垒穿透成功的首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的说明了

36、放射性元素的衰变现象。衰变现象。2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 隧道效应隧道效应在固体物理学中得到广泛的应用，它已在固体物理学中得到广泛的应用，它已经用来制造一些不同种类的电子器件。经用来制造一些不同种类的电子器件。 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜就是利用穿透势垒的电流对于金属就是利用穿透势垒的电流对于金属探针尖端同待测物体表面的距离很敏感的关系，可以探针尖端同待测物体表面的距离很敏感的关系，可以探测到探测到 量级高低起伏的样品表面的量级高低起伏的样品表面的“地形图地形图”1110m Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation45例例1: 1: 入射粒子为电子。入射粒子为电子。设设 E=1eV, U0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得算得 D 0.51。若若a=5 10-8cm = 5 则则 D 0.024，可见可见 透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。若若a=5 10-8cm = 5 ， 则则 D 0.024，可见可见 透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。 质子与电子质量比质子与电子质量比 p/e 1840。 对于对于a = 2 则则 D 2 10-38。 可见透射系数明显的依赖于可见透