高考数学一轮复习(文)通用版7.4基本不等式名师精编学案

1、名校名师推荐111课前自修区文科考生基础相对薄弱，一轮复习更需重视基础知识的强化和落实、基础知识批注一一理解深一点在运用基本不等 式及其变形时，一 定要验证等号是i.基本不等式gabw与小：I(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0./(2)等号成立的条件一:当且仅当a=b.2 .算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为三产，几何平土匀数为强,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3 .利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2Vp(简记：积

2、定和最小._).(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时，xy有最大值是。(简记：和定积最大)和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.二、常用结论汇总一一规律多一点(1)a2+b2>2ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)abwgj(a,bCR,当且仅当a=b时取等号.22a+b自+bbCR，当且仅当a=b时取等号.(4)-+!>2(a,bWR,且a,b同号)，当且仅当a=b时取等号.、，ab三、基础小题强化一一功底牢一点(一判一判(对的打“，”，错的打“x”)rtahbr(1)当a>0,b>0时，

3、Vab.()(2)两个不等式a?+b2>2ab与力也>牺成立的条件是相同的.()(3)x>0且y>0是j+:>2的充要条件.答案：，(2)X(3)X(二)选一选1 .设a>0,贝I9a+：的最小值为()A.4B.5C.6D.7解析：选C因为a>0,所以9a+；>2=q当且仅当9a=：,即a=：时,19a十二取得最小值6.故选C.a2 .若x>0,y>0,且2(x+y)=36,则的最大值为()A.9B.18C.36D.81解析：选A由2(x+y)=36,得x+y=18,所以等"=9,当且仅当x=y=9时,等号成立.3.女>

4、;0”是“x+；)2”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C当x>0时，x+l>2、/x3=2(当且仅当x=A时，等号成立，因为x,二xVxxx同号，所以若x+->2,则x>0,->0,所以x>0”是“x+1>2”成立的充要条件，故选C.xxx(三)填一填4,若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.解析：x2+2y2=x2+h/2y)2>2x(ey)=2企，当且仅当x=py且xy=1时等号成立.所以x2+2y2的最小值为2/.答案：225.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则

5、矩形场地的最大面积是m2.解析：设一边长为xm,则另一边长可表示为(10x)m,由题知0Vx<10,贝U面积S=x(10x)Wx2=25,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5m时面积取到最大值25m2.答案：25考点不宜整合太大，挖掘过深稳取120分就是大胜考点一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的基本方法有拼凑法、常数代换法等3典例(1)已知a>2,则a十二"2的取小值是()A.6B.2C.2g+2D.43(2)设0Vx<3,则函数y=4x(32x)的最大值为.(3)已知x>0,y>0,且x+2y=1,则；+y

6、的最小值为.(4)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,贝Ux+2y的最小值为.解析(1)拼凑法因为a>2,所以a-2>0,所以a+(a-2)+2>2A/(a-2)。；+2=2/3a-2a-2a-2.3一.一.一.+2,当且仅当a2=&,即a=2+43时取等号.故选C.(2)拼凑法y=4x(32x)=22x(32x)w22x+2.)>=*当且仅当2x=3-2x,即x=3时,等号成立.，函数y=4x(32x)0<x<3的最大值为9.(3)常数代换法x>0,y>0,且x+2y=1,1+l=x±2y+x±2y

7、=i+2+2y+x>3+2、率=3+272.xyxyxyxy当且仅当2y=x且x+2y=1,即x=61,y=1半时，取得等号-1+1的最小值为3+272.xy1(4)拼凑法l'x+2y、22 2),因为x>0,y>0,所以8=x+2y+x2yw(x+2y)+令x+2y=t,则8Wt+:,即t2+4t32>0,4解得t>4或tw8,即x+2y>4或x+2yw8(舍去),当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.答案(1)C(2)9(3)3+2他(4)4解题技法基本不等式求最值的2种常用方法拼凑法拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积

8、为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件常数代换法常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1'的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商题组训练1.（常数代换法卢 a>0,b>0 且 2a+b=4,则主的最小值为（A. 21B2C. 4Di解析：选B 因为a>0, b>0,故2a+b>2小讪(当且仅当2a = b时取等号).0<ab< 2,B.且x+ 4y= 40,则Ig

9、x+lgy的最大值是()B. 10D. 22a+ b= 4,故和最小值为赢选2.（两次基本不等式改x>0 , y>0,A. 40解析：选D因为x+4y=40,且x>0,y>0,所以x+4y>2可r=45.(当且仅当x=4y时取"=")所以4V对w40.所以xy<100.所以lgx+lgy=Igxy<Ig100=2.所以Igx+lgy的最大值为2.3.(拼凑法股a>b>0,则a?+上+的最小值是()A.1B.2C.3D.4211211/o解析：选Da+1=(aab)+1募:+7+ab>2/(aab)j短+aba(a-

10、b)(a-ab)ab'，(aab)2/Txab=4,当且仅当a?ab=>且=;=ab,即a=Ji,b=当时取等号，故选D.Vabaabab24.(常数代换法)5知x>0,y>0,且x+2y=xy,则x+y的最小值为21解析：由x>0,y>0,x+2y=xy,得一+-=1,xy所以x+y=(x+y)g+；)=3+->3+2a/2.xy当且仅当x=gy时取等号.答案：3+2班考点二基本不等式的实际应用典例某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时，C(x)=；x2+10x(万元).当年产量不小

11、于80千件时,3C(x)=51x+10-0OO-1450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的x商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千彳)的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05X1000x万元,依题意得:当 0Vx<80 时，L(x)= (0.05 X 1 000x)-+ 10x 二 250 = - 1x2+ 40x 250.当x>80时，L(x)=(0.05X1000x)-f51x+10000-1450；-250=1200i

12、x+10：00.所以L(x)=-3x2+40x-250, 0<x<8011 200 x+华),x>80.(2)当0<x<80时，L(x)=-(x-60)+950.3此时，当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950万元.当 x>80 时，L(x)=1 200 x+1000031200-2a/x10000=1200-200=1000.此时x=10-000x即x=100时，L(x)取得最大值1000万元.由于950<1000,所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1000万元.解题技法有关函数最值的实际问题的解题技巧

13、(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.题组训练1.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是解析：由题意,一年购买等次,则总运费与总存储费用之和为* 6+4X=4(950+x>8900，一,一，一，丁x=240,当且仅当x=30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是IX.30.答案：302 .某游泳馆拟

14、建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚忽略不计）.则泳池的长设计为米时，可使总造价最低.解析：设泳池的长为x米，则宽为等米，总造价f（x）=400X（2x+2X200;+100X200+60X200=800X卜+等12000>1600yx225+12000=36000（元），当且仅当x=225（x>0）,即x=15时等号成立.即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.答案：15课时跟检测1.（2019长春调研）"a>0,b>0&q

15、uot;是"ab<b2的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件解析：选D当a>0, b>0时，皇 "啊,即ab<产），当a=b时,ab<0±b 2不成立，故b>0"不是"ab<的充分条件.当a, b可以异D.既不充分也不必要条件号，故a>0, b>0不一定成立，故b>0” 是 “ab<的既不充分也不必要条件，故选“a>0,b>0"不是&<：芳产的必要条件.故D.3 .已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy（）A.有

16、最大值为1B.有最小值为1,一一1一，一1C.有最大值为2D.有最小值为2解析：选C因为x>0,y>0,x+2y=2,所以x+2y>2yx2y,即2>2j2xy,xy<&,当且仅当x=2y,即x=1,y=2时，等号成立.一,一八一八1所以xy有最大值，且最大值为2.124 .右实数a,b满足二十k=，则ab的取小值为（）abA.mB.2C.22D.4解析：选C因为a+b=Vab,所以a>0,b>0,所以ab>2j2（当且仅当b=2a时取等号），所以ab的最小值为242.5 .已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+

17、：n=a+：,则m+n的最小值ab是（）A.3B.4C.5D.611解析：选B由题息知ab=1,m=b+a=2b,n=a+、=2a,m+n=2（a+b）>4Vab=4,当且仅当a=b=1时取等号，故m+n的最小值为4.5. （2019长春质量监测）已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为（）A.8B.9C.12D.16解析：选B由4x+y=xy得4+1=1,则x+y=（x+y）孑+1；.=4x+y+1+4>2/4+yxyxyx5=9,当且仅当彳=：，即x=3,y=6时取,故选B.6,若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值为（）45A

18、.B.733c.5D2解析：选D30=4x2+9y2+3xy>2.36x2y2+3xy,即30>15xy,所以xyw2,当且仅当4x2=9y2,即x=小,y=2P时等号成立.3故xy的最大值为2.7.设2x>0,则函数y=x+罚3一2的最小值为（）A.01B.2C.1解析:30.故选A.当且仅选ay=x+332x+12当x+1=2,即x=1时等号成立.所以函数的最小值为,12x+2一，一18.已知x>1,y>1,且10g2x,4，l°g2y成等比数列，则A.最小值啦c.最大值mB.最小值2D.最大值2解析：选Ax>1,y>1,1.，110g2

19、x>0,10g2y>0.又10g2x,4,10g2y成等比数列，花1=log2xlogzy,由基本不等式，得10g2x+log2y>26og2xHog2y=2，当且仅当10g2x=10g2y1一时取等3，故log2(xy)>-,即xy><2.选A.9.当3vxv12时，函数y='x药丝一&勺最大值为xx+15x36x+36)+15-#36+15=3,当且仅当x=能，即x=6时，ymax=3.x答案：310.（2018南昌摸底调研）已知函数y=x+xm2（x>2）的最小值为6,则正数m的值为解析：x>2,m>0,y=x-2+_m_+2>2x2-2)x+2=2Vm+2,当x=2+而时取等号，又函数y=x+xm；（x>2）的最小值为6,2Vm+2=6,解得m=4.答案：411.（2018天津高考）已知a,bCR,且a-3b+6=0,则2a+土的最小值为8解析：a3b+6=0).二a3b=6.2a+$=2a+23bA2y2a23b=2、2a3b=2声6=2X23=4.a= 3b,当且仅当，a-3b+ 6=0,a= - 3,即，时等号成立.b= 112. (2018聊城一模)已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则a+b的最小值为31解析：由a