高考数学一轮复习专题4.3两角和与差及二倍角的三角函数教案

1、专题4.3两角和与差及二倍角的三角函数【考纲解读】内容要求备注ABC基本初等函数n（三角函数）、三角恒等变换两角和（差）的正弦、余弦及正切V1 .会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2 .能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3 .能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦.4 .掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.5 .能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式小要求记忆）.二倍角的正弦、余弦及正切V【直击考点】题组一常识题1 .教材改编sin75°+43cos75&

2、#176;的值是.【解析】sin75°13cos75°=2；sin75°+g.cos75°=2(sin30°sin75°+cos30°cos75°)=2cos(75-30)=2cos45°=/.2 .教材改编函数f(x)=sin22x+sin4x(xCR)的最小正周期是.【解析】人工尸仙"r+也=号43号/疝4x-ms4x)+*二察达也-日)十/所以最小2冗冗正周期片片=7一3 .教材改编已知cos(a+B)=；,cos(a(3)=7,则tanatan(3的值为.35所以【解析】由co#内得彳f

3、cm. cr xn 8csin <jin ACOSCM Acos crcos- sin ffsin 卡二5,cos 口 cos + sin crsiii 3 = /,_4C03 gcm / =O 1sin 47sin i? 一记,题组二常错题4 .若sin0+cos0=1,0(0,兀51【解析】由 sin 0 +cos 0 = -#(sin 50 + cos所以sin0 cos 8= ?f<0.又因为 sin 0251兀 3兀+ cos 9 =5>0,所以 e e 2-, -4,所以3兀 兀，-2-所以cos 2e =-1 sin 22 e =-77.255.若 sin 2

4、a =1, 4则 sin 2【解析】 由sin 2a =4得cos 2 a = ± y 1 - sin 22 a = ±噂,所以2sin a1 - cos 2 a 1 42=2题组三常考题6 .若 tan a = 3,sina cos a【解析】sin a cos asin a costan asin a +cos atan 2 a + 1 = 32+ 1 =10.7 . 已知sin 213,2则 cos a1 + cos 2【解析】cos2兀兀a 1 + cos 2 a 二 21 + sin 2 a11+3 22 力【知识清单】1.两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差

5、的正弦、余弦、正切公式CaB)：cos(aB)=cosacosB+sinasin3;C“+b)：cos(a+B)=cosacos_3sin_asinB；S(“+B):sin(a+§)=sinacos3+cosasin§S(ab):sin(a§)=sin_acos_3cosasin§_°tana+tan3T(“+2:tan(a+3)=dx-0；'11tanatan§'丁，°、tanatan§T(“-B):tan(a-3)=.T-1+tanatan§变形公式：tana±tan3=ta

6、n(a±3)(1?tanatan§)；sincos2sin().2二倍角公式的运用以及三角恒等式的证明二倍角的正弦、余弦、正切公式:险”：sin 2=2sin a cos aC2«: cos 2=cos2 a sin=2cos2 a 1 = 1 2sin 2 a ;丁2"： tan 22tan a21 tan a22变形公式:2cos a =1 + cos 21 cos 2 a21+sin2a=(sina+cosa)2,1sin2a=(sina-cosa)2【考点深度剖析】1 .本课主要题型有：三角函数式的化简与求值；三角函数式的简单证明.这部分知识难度

7、已较以前有所降低，应适当控制其难度.2 .灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容.3 .以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题.【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】为锐角，若cos则sin12J10由于为锐角，则02 ,因此sin63所以sin2cos所以sinsinsin-cos-cos-sin-4招3J)6464525210002cos10sin201-2求值：cos20【答案】3【解析】试题分析:由题意得；2co

8、&10°-sw200_2cos(30°-20°)-sM200_(#cos200+200)-sin200_-cos20°coj20°cQj20a【思想方法】应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.一一一,，兀【温馨提醒】在T(a+B)与T(a-B)中，a,B,a±B都不等于k兀+万(kCZ),即保证tana,tan§,.、.一兀一.一tan(a+B)都

9、有意义；若a,B中有一角是kTt+万(kCZ),可利用诱导公式化简.考点2二倍角公式的运用2-1函数ycos2x2sinx的最大值为2123【斛析】因为ycos2x2sinx12sinx2sinx2(sinx-)一，221所以当sinx一时函数ycos2x2sinx取得最大值，最大值为21o【2-2】已知sin2一，则cos()341 cos 2【解析】cos21 sin 2【思想方法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分

10、析结构特征，找到变形的方向.【温馨提醒】求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.考点3三角恒等式的证明【3-1】求证：/s"=；sin2,-tanf42tan2【证明】左边=22cos acos acos2 a sin -2-cos-2-cos2 a sin =cos三 22原式成立.acos 一2asin 2cos2 sin 222cos22sin 2 22cos aaasin cos 22a asin os =cos a sin =cos=n a cos a2221,4sin 2 a =右边.【3-2 求证：sin 3

11、 = sin( 2" + 3 ) _2cos( a + 3 ). sin a sin a【证明】证法一:右边=sm I设+ |3)十 可一左口s(ii十 由sin v_sin(<i + FX口与6一F)siii 口sinasinasm (c+ g)- a_ sin_ 片日sin g sin 伉证法二:sin(2<L+ P) sin p_ sio(2十 g)- .in R_2cus(十usm cl smaSUL 0sma= 2cos(n + p)j所以包智3-3 已知0且 3sinsin(2),4tan 21 tan2 . 2444证明:【证明】二3疝/=sio(2ci十向

12、，即3皿仪十一=皿工口十切，_-.3媪义应十用CQ£a+co9(就+例血就=sin(tX+功cosB+oos(a+冏血戊2sin(£E+国com=4cos(a+)siaa,团/4+功=2tan£K,aa2ana1X*/4tan-=1-tan,二tana=;22卡22北瓜二tao(总+功=2tan玄=1''Q<C(<?0<j3<.44C其R+P=4【思想方法】三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式.(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同.(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.【温馨提醒】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证.【易错试题