第4章 平衡方程的应用

1、4.1&4.2 物体系的平衡物体系的平衡 静定和静不定问题静定和静不定问题静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFAD1m2m1mABCFEPAQCBDE解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象已知：已知：P=0.4kN，Q=1.5kN， sin=4/5 ；D,E为中点，为中点， ABl ，杆重不计，杆重不计， 求：求：支座支座A、C的反力。的反力。AQCBPDEFAxFAyFCxFCy解得解得:PABFBxFByFAxFAy解上述方

2、程，得解上述方程，得(2)取取AB为研究对象为研究对象代入（代入（3）式得）式得DBPACHLaa45ra 图示构架，各杆及圆盘图示构架，各杆及圆盘的重量均不计，的重量均不计，试求：试求：A、C的约的约束反力和束反力和DC杆内力。杆内力。FDCDBHPF1BxFByF解解: (1)取取BC和圆盘和圆盘为研究对象为研究对象 0 FMBo1sin45Pr0DCaFF ar（2）取整体为研究对象）取整体为研究对象DBCH45APF1FC 0 FMA 021 raFrarPaFCGF3 mG1 m6 m6 m6 m 三铰拱桥如图所示，已三铰拱桥如图所示，已知每段重知每段重G = 40 kN，重心分别在

3、，重心分别在D，E处，且桥面受一集中荷载处，且桥面受一集中荷载F =10 kN。试求各铰链中的力。试求各铰链中的力。例例 题题 3 qABqABCDFByFBxFAyFAxqABCDaaaFDyFDx已知已知:a=2m，q=3kN/m 求：求：支座支座A、D的反力。的反力。解：解：取取AB部分为研究对象部分为研究对象 0 FMB021 AyaFaqaFAyFAx取取ABCD部分为研究对象部分为研究对象求：求：A、C处的反力。处的反力。练习：图示构架杆重不计练习：图示构架杆重不计分分 析析CM=600N.mBFCFBBF q=25N/mABDP=500No45q=25N/mABCD4m4m3mP

4、=500NM=600N.mo45EqaaaaaABCD 已知如图，构架杆重已知如图，构架杆重不计，不计，试求：试求：A、E的约束反的约束反力和力和BC杆内力。杆内力。FAyFAxFECDqFDxFDy解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：(2) 取曲杆取曲杆CD为研究对象为研究对象解得：解得：FC 图示构架自重不计，图示构架自重不计，已知：已知：q=1.5kN/m，P1=10 kN，P2=20 kN 求：求：支座支座A、B处的约束反力。处的约束反力。DABCEP2P12m 2m4m4m6m2m2m3mq解解: (1) 取取DE部分为研究对象部分为研究对象DEP2P1FDF

5、ExFEyFDFAyFByFBxFAx kN1542022402121PPFPPF,FMDDE(2) 取整体为研究对象取整体为研究对象 0432488012DByAFPP. qF,FM0802 qPFFF,YDByAyDABCEP2P12m 2m4m4m6m2m2m3mqFDFAyFByFBxFAx001PFF,XBxAx4.75kN12.25kNAyByFF(2) 取取BC部分为研究对象部分为研究对象BFByFBxFCxFCyCq 024840. qFF,FMBxByC844.63kN85.37kNByBxAxqFFF 1m1mAC1m1mMqB 图示连续梁，自图示连续梁，自重不计，重不计，

6、已知：已知：M = 10kNm, q=2kN/m，试试求：求：支支座座A、C的反力。的反力。BCqMCAqFAxFAyMAFCxFCy FBFAxFAyMA FB解：解：(1) 取取BC为研究对象为研究对象解得解得:(2) 取取AC为研究对象为研究对象解得解得:500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m 图示结构，各杆的自重不图示结构，各杆的自重不计，计，试求：试求：D、E的约束反力。的约束反力。500NDCEFDxFDyFExFEyFAxFAyFB解：解：(1)取取CDE为研究对象为研究对象解上述方程，得解上述方程，得(2)取整体为研究对象取整体为研究对象解得解得:500N500

7、NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m500NDCEFDxFDyFExFEyFAxFAyFB1000NN,500,N1000BEyDyFFFGEBExF EyF FGxFGyFB(3) 取取BEG为研究对象为研究对象解得解得:代入（代入（3）式得）式得:如果取整体为研究对象时，如果取整体为研究对象时，A支座的反力都要求出来么支座的反力都要求出来么？qMABCDEH2m2m2m2m1m1m 图示构架，各杆自图示构架，各杆自重不计，重不计，已知：已知：q=50kN/m, M=80kNm；试求：试求： A、B的的约束反力。约束反力。BCDqMEDFNBFAxFAyFCxFCyFNBDxF DyF

8、FDxFDyFNEH解：解：(1) 取取DE杆为研究对象杆为研究对象(2) 取取BDC杆为研究对象杆为研究对象(3) 取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：qABC2aaaaaPD试求：试求：A处的反力。处的反力。练习练习 图示构架的杆件的图示构架的杆件的重量不计。重量不计。 CqBDFBxFByF1qABCPDF1FAxFAyMA练习练习 图示构架各杆的图示构架各杆的自重不计自重不计试求试求CE杆的内力。杆的内力。30ABDCEaqqDCqABqFCBFCEFBC4.3 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的；杆件用光滑的铰链连接；杆件用光滑

9、的铰链连接；荷载均作用在节点上；荷载均作用在节点上；重量平均分配在节点上。重量平均分配在节点上。理想桁架理想桁架 桁架是一种由杆件彼此在两端用桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。几何形状不变。 节点法节点法 截面法截面法 以整体为研究对象，以整体为研究对象，30FBx 平面桁架的尺寸和支座如图平面桁架的尺寸和支座如图所示。在节点所示。在节点D处受一集中载荷处受一集中载荷F=10 kN的作用。试求桁架各杆件所受的内的作用。试求桁架各杆件所受的内力。力。30FD30FDF2F1FAyAF3F4DF5F 如图所示平面桁架，各杆件如图所

10、示平面桁架，各杆件的长度都等于的长度都等于1 m。在节点。在节点E上作用载上作用载荷荷FE =10 kN，在节点，在节点G上作用载荷上作用载荷FG = 7 kN。试计算杆。试计算杆1，2和和3的内力。的内力。FE123解：FByFAxFEFGFAymm 用截面用截面m-m将三杆截断，选将三杆截断，选取左段为研究对象。取左段为研究对象。 F1FAxFAyF2FEF3FByFAxFEFGFAy1FFFFF6aABb例例 题题 12求求1杆的内力杆的内力mn F.FaFaFaFaFFaaFFMAAB520543260解：解： 整体为研究对象整体为研究对象再以截面再以截面mn左面部分为研究对象左面部分

11、为研究对象 FbaFaFbFFaFMAC402011FAFBFFAF1F2F3CFAF4(1) 两杆相交，节点无外力作用，两杆相交，节点无外力作用，则两杆都是零杆则两杆都是零杆;(2) 三杆相交，其中两杆共线，节点三杆相交，其中两杆共线，节点无外力作用，则第三杆为零杆。无外力作用，则第三杆为零杆。PPP12345678910PPACBGDE123aaaaaCPPBGDEF3F1F2F4F5FBPPGDEF1F2F6F7mnqr零杆：零杆：ABCDEGPnmFDE=0BDGPFDCFDEFDAFGCFB练习练习 已知：已知：等边三角形等边三角形ABC，其中，其中E、D、G为各为各边中点。边中点。

12、求：求：CD杆的内力杆的内力 FMHABCDOEFG思考题思考题已知：各杆的自重不计。已知：各杆的自重不计。HAB平行于平行于EFG,OCD垂直于垂直于AB, 角度角度 30o, 除除AB,CD外外,各杆各杆的长度均为的长度均为 。求。求AB杆的内力。杆的内力。l解：解：选图选图(a)为隔离体图，求出为隔离体图，求出BC杆的内力杆的内力FBC ，然后再以，然后再以B节点为对象，求出节点为对象，求出FAB。 lMFcoslM.F,FMBCBCG32302CG0CG.sin600oo参考受力图参考受力图(b)， 选选 轴与轴与FOB垂直。垂直。BFBCFABFOBx(b)FMCDEFFGxFGyF

13、BCFAC(a)lMFCOS.FCOS.F,FABABBCx332060300OOx1. 接触表面的粗糙性接触表面的粗糙性2. 分子间的引力分子间的引力 一一. 关于摩擦现象关于摩擦现象按两物体的按两物体的相对运动形式相对运动形式分，有分，有滑动摩擦滑动摩擦和和滚动摩阻。滚动摩阻。按两物体间按两物体间是否有良好的润滑是否有良好的润滑，滑动摩擦又可分为滑动摩擦又可分为干摩擦干摩擦和和湿摩擦湿摩擦。4.4 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 实验室测定摩实验室测定摩擦系数的原理擦系数的原理有关摩擦角的概念，有关摩擦角的概念，摩擦锥的形成。摩擦锥的形成。maFwFNF二二. 摩擦定律摩擦定律F

14、PFNFsPFN两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力碍相对滑动的阻力滑动摩擦力滑动摩擦力 静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定静摩擦定律：静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比FNFsFRAAFmaxFNFRAAFRA=FN+FS全约束反力全约束反力 摩擦角摩擦角全约束反力与法线间夹角的最大值全约束反力与法线间夹角的最大值 FRAAFN摩擦角的正切等于静摩擦系数摩擦角的正

15、切等于静摩擦系数3. 动滑动摩擦力动滑动摩擦力三三. 考虑摩擦时物体的平衡考虑摩擦时物体的平衡考虑摩擦时系统平衡问题的特点考虑摩擦时系统平衡问题的特点(1) 当当0FFmax时，时，F是一个未知量，用平衡方程求出。是一个未知量，用平衡方程求出。(2) 当为当为F=Fmax=fs FN的临界平衡时的临界平衡时, 此时此时,有摩擦定律可有摩擦定律可以作为补充方程，其指向必须与运动趋势相反。以作为补充方程，其指向必须与运动趋势相反。(3) 当运动后当运动后, F=f FN一般属于动力学问题。一般属于动力学问题。 检验物体是否平衡；检验物体是否平衡； 临界平衡问题；临界平衡问题； 求平衡范围问题。求平

16、衡范围问题。PQFmaxFN解：解：取物块为研究对象，先求其最大值。取物块为研究对象，先求其最大值。解得：解得：（2）求其最小值。）求其最小值。解得：解得：求：求：平衡时水平力平衡时水平力 Q 的大小。的大小。已知：已知：P，fsPQFmaxFNPQmaxFR PQminFRFRPQmax+PQminFR用几何法求解前一个例题用几何法求解前一个例题P P P PFF1 243 已知：已知： P=10N，书之间，书之间 fs1 =0.1，手与书手与书 fs2 = 0.25。问：问：要提起这四本书需加的最小压力。要提起这四本书需加的最小压力。FsFsPF1FsF12FN1P2解：解：（1）取整体为

17、研究对象取整体为研究对象Fs=20N（2）取书）取书1为研究对象为研究对象（3）取书）取书2为研究对象为研究对象FN1F12FN2F23请大家回去考虑最多能提起多少本书MeaABdbABOFNAFAD解：解：取推杆为研究对象取推杆为研究对象考虑平衡的临界情况，可得补充方程考虑平衡的临界情况，可得补充方程已知：已知：fs，b 。求：求：a为多大，推杆才不致被卡。为多大，推杆才不致被卡。FNBFBF极限aCFABObad解解: 由图示几何关系得由图示几何关系得用几何法求解例用几何法求解例16即即2sbafPF30 问题问题1 已知摩擦角已知摩擦角= 20，F=P，问物块动不动？为什么？问物块动不动

18、？为什么？PF30FR2015 问题问题2 已知摩擦角均为已知摩擦角均为 ，问欲使问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的楔子打入后不致滑出，在两种情况下的 ，物角应为若干？物角应为若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBFRAFRBFNAFSAFNBFSB练习练习已知：已知： P=1000N， fs =0.52若杆重不计。若杆重不计。求：求：系统平衡时的系统平衡时的Qmax。ABCQ5cm10cm30PBFBCQFBAFBAFNFmaxAOP解解: (1) 取销钉取销钉B为研究对象为研究对象FBA=2Q(2) 取物块取物块A为研究对象为研究对象 处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状

19、态时 FBAFNFAOP 处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临界平衡状态时ABCQ5cm10cm30P四四. 滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念FPFNFsoAFPoAPFoAFRMPFFNFsoAMFPoAFsFNdCOMCFSCFNCFPCOFP解：解：以轮为研究对象以轮为研究对象(1) 滚动时滚动时 PRMPRM,FMPFPF,YFFFF,XCCNCNCSCSC000000NCmaxFMMNPRF12 解出得：(2) 滑动时滑动时F1=Fmax=f FNCF=f P=0.620001200 N 已知：已知：轮胎的半径轮胎的半径R40 cm,载载重重P2000 kN，F作用与轮轴，滑动摩擦作用与

20、轮轴，滑动摩擦系数系数f0.6，滚动摩擦系数，滚动摩擦系数0.24 cm，试求推动此轮的力试求推动此轮的力F。例题例题19 思考题思考题1：有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加一压力加一压力225N。如每本书的质量为。如每本书的质量为0.95kg，手与书间的摩擦系数，手与书间的摩擦系数为为0.45，书与书间的摩擦系数为，书与书间的摩擦系数为0.40。求可能执书的最大数目。求可能执书的最大数目。结论与讨论结论与讨论 思考题思考题2：已知如图，已知如图，B处存在摩擦。就处存在摩擦。就（a）、（）、（b）分别回答下述问题：）分别回答下述问题：MF

21、ACBBAF(a)(b)(1) 能否确定能否确定B处的法向反力？处的法向反力？(2) 能否确定能否确定B处的摩擦力？处的摩擦力？(3) 问题是静定，还是静不定的？问题是静定，还是静不定的？ 思考题思考题3：均质杆重均质杆重P，长，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为摩擦系数为fs。现在杆的一端施加。现在杆的一端施加与杆垂直的水平力与杆垂直的水平力F，试求使杆处，试求使杆处于平衡时的于平衡时的设杆的高度忽略不设杆的高度忽略不计。计。FqqFmaxlPfqs ABCxl-x2lx 12 PfFsmax 思考题思考题4：重量均为重量均为 的小球的小球A、B用一

22、不计重量的杆连结。放置在用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为为 ，一水平力一水平力作用于作用于A球，试球，试求系统平衡时求系统平衡时 30ABF30FmaxABFSAFSBOFSBPfFsmax3 结论与讨论结论与讨论2. 物体系平衡物体系平衡问题的解答需注意选择研究对象，宜问题的解答需注意选择研究对象，宜先求出一个未知量。可以整体考虑；也可以从某一先求出一个未知量。可以整体考虑；也可以从某一构件开始，依次分析。总之，应尽量避免解联立方构件开始，依次分析。总之，应尽量避免解联立方程，力求简易。程，力求简易。 本章研究平衡方程的应用。首先分清

23、静定与静本章研究平衡方程的应用。首先分清静定与静不定问题，接着解决物体系的平衡，桁架及摩擦。不定问题，接着解决物体系的平衡，桁架及摩擦。1. 静定或静不定问题静定或静不定问题是根据独立的平衡方程数目是根据独立的平衡方程数目等于或少于未知量的数目而定。等于或少于未知量的数目而定。3. 桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：的两种方法： 节点法：节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于的数目不宜多于2个。个。 截面法截面法 ：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部