上海交通大学概率统计二维rv条件分布

1、3.2 二维二维 r.v.的条件分布的条件分布, 2 , 1,),(jipyYxXPijji设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布若0)(1jijiipxXPp则称iijijippxXPyYxXP)(),(为为在在 X = xi 的条件下的条件下, Y 的条件分布律的条件分布律, 2 , 1j)(ijxXyYP记作二维离散 r.v.的条件分布律 若, 0)(1iijjjpyYPp则称jijjjippyYPyYxXP)(),(为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律, 2 , 1i)(jiyYxXP记作类似乘法公式)()(),(ijijixXyYPxXPyYxXP)()(jijyYx

2、XPyYP或, 2 , 1,ji类似于全概率公式),()(11jjijijiyYxXPpxXP)()(1jjjiyYPyYxXP, 2 , 1i),()(11ijiiijjyYxXPpyYP)()(1iiijxXPxXyYP, 2 , 1j例例1 1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求(1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律；(2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律.解解 先求联合分布，)()(),(iXjYPiXPjYiXPjijjiiiiCC333321213231; 3

3、 , 2 , 1 , 0;3 , 0iij其联合分布与边缘分布如下表所示XY pij0 1 2 3012327127127127191912710009191009191920pi278278929294941p j X ) 0( YiXP0 1 2 38 / 18/ 38 / 18/ 3将表中第一行数据代入得条件分布) 0() 0,() 0(YPYiXPYiXP27/ 8) 0,(YiXP3 , 2, 1 , 0i(1) Y ) 2(XjYP 0 12/ 12/ 1(2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1.将表中第三列数据代入下式) 2(XjYP,9/2), 2(jYXP1 ,

4、0j得Y 的条件分布解解例例2 2 已知一射手每次击中目标概率为 p ( 0 p 0, 则称dyydFyyxFY)(),()(),(yfduyufYxxYduyfyuf)(),(为Y = y 时，X 的条件分布函数, 记作()XYFx y定义定义xYduyfyuf)(),(类似地, 称yXdvxfvxf)(),(为X = x 的条件下Y 的条件分布函数; ()Y XFy x( , )( )Xf x yfx为 X = x 的条件下Y 的条件 p.d.f.)( xyfXY( ,)( )Yf x yfy称为 Y = y 的条件下 X 的条件 p.d.f.)( yxfYX称注意注意y是常数, 对每一

5、fY (y) 0 的 y 处, 只要),( xyFXY)( xyfXY相仿论述.0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXY),( yxFYX)( yxfYX仅是 x 的函数, 类似于乘法公式：符合定义的条件, 都能定义相应的函数.类似于全概率公式dyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()(类似于Bayes公式)(),(yfyxfY)( yxfYX)()()(yfxfxyfYXXY)(),(xfyxfX)( xyfXY)()()(xfyfyxfXYYX例例3 已知(X,Y )服从圆域 x2

6、+ y2 r2 上的均匀分布,求),( yxfYX).( xyfXYr解解其他, 0,1),(2222ryxryxfdyyxfxfX),()(rxrdyrxrxr,12222222xr 22xr x其他, 0,2222rxrrxr-r其他, 0=同理，dxyxfyfY),()(其他, 0,2222ryrryr边缘分布不是均匀分布！)(),(yfyxfY)( yxfYX当 r y r 时，其他, 0,21222222yrxyryr22yr 22yr y 这里 y 是常数，当Y = y 时，2222,yryrUX)(),(xfyxfX)( xyfXY当 r x r 时，其他, 0,21222222

7、xryxrxr 这里 x 是常数，当X = x 时，2222,xrxrUY22xr 22xr x例例4 已知;,;,),(222211NYX求)( yxfYX解解)( yxfYX)(),(yfyxfY222222222121212122)(2)()(2)()1 (2122121121yyyxxee)()()1 (21212211221121yxe同理，)( xyfXY)1 (),(2221122xN)1 (),(2212211yN)( yxfYX例例5 设其他, 010 ,0,8),(yyxxyyxf求)( yxfYX)(,xyfXY解解y = x11其他, 010,8)(1xxydyxfxX

8、其他, 010),1 (42xxxy = x11其他, 010,8)(0yxydxyfyY其他, 010,43yy当0 y 1 时，)( yxfYX)(),(yfyxfYy其他, 00,22yxyx当0 x 0 时，即 0 x 1 时，其他, 01,8yxxy当f X(x) = 0 时，f (x,y) = 0故其他, 010 ,0,8),(yyxxyyxfx + y =1) 1(YXP)5 . 0(YP1y = x10.5yyxydxdy115 . 0865y = x110.521008yxydxdy1612132XYPy = x110.5323221dyyfXY322125 . 012dyy

9、322138dyy277876. 6 脚印长度身高算出罪犯的身高. 这个公式是 公安人员根据收集到的罪犯脚印，通过公式 由脚印估计罪犯身高 如何推导出来的?显然，两者之间是有统计关系的，故X设一个人身高为 ,脚印长度为 .Y 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故),(YX应作为二维随机变量 来研究. 由中心极限定理知 可以近似看),(YX. );,(222211uuN成服从二维正态分布;,;,222211uu其中参数 因区域、民族、生活习惯的不同而有所变化 ，但它们都能通过统计方法而获得.密度为现已知罪犯的脚印长度为 , 要y估计其身高就需计算条件期望 , 条件)(),()|(|yfyxfyxfYYX 的密度函数, 因此 )1 (),(221