二项式定理通项公式

1、二项式定理的复习1.二项展开式：nab011nnrn r rn nnnnnc aca bc a bc b 这个公式叫做二项式定理,等号后面的式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,n)叫做二项式系数。 二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk叫做二项展开式的通项, 通项公式:TK+1=Cnkan-kbk 2. 2.二项展开式的特点二项展开式的特点 (1) (1) 项数：项数： 展开式有共展开式有共n+1n+1项项(2) (2) 系数系数 ： 都是组合数，都是组合数， 依次为依次为C Cn n0 0，C Cn n1 1，C Cn n2 2，C Cn n3 3，CCn

2、nn n (3) (3) 指数的特点指数的特点 ： 1) a1) a的指数的指数 由由n 0 (n 0 (降幂降幂) ) 2) b 2) b的指数由的指数由0 n (0 n (升幂升幂) ) 3) a 3) a和和b b的指数和为的指数和为n n 3.二项式定理的几个变式：nnnrrnrnnnnnnbcbacbacacba110(a-b)n(1+x)n1121 2. ( 1). ( 1)nnnnkn kknnnnnaC a b C a bC abb =1+Cn1x+Cn2x2+Cnkxk+Cnnxn 4. 扬辉三角：1ba 1 1 表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和

3、. 1 3 3 13ba 1 4 6 4 14ba1 5 10 10 5 15ba 1 6 15 20 15 6 16ba2ba 1 2 10ba1通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk一利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些一利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项等问题。在这里要分清等问题。在这里要分清二项展开式中的各项的二项展开式中的各项的“二项式系数二项式系数”与与“系数系数”的区别，这是两个不同的概念，的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数二项式系数”仅指仅指C Cn n0 0、

4、C Cn n1 1、CCn nr rCCn nn n这些组合数而言，不包括字母这些组合数而言，不包括字母a a、b b所表示式子中的系数。所表示式子中的系数。通项通项C Cn nk ka an-kn-kb bk k是展开式中的第是展开式中的第k+1k+1项，而不是第项，而不是第k k项。项。 解: 在(1-2x)7的展开式中 , 第四项为 T4=C73(-2x)3=-280 x3, 第四项的二项式系数是C73=35； 第四项的系数是C73(-2)3=-280 .例1：求(1-2x)7的展开式中 , 第四项的二项式系数和第四项的系数。注意某项的二项式系数和项的系数的区别。931xxx例2：求的展

5、开式中 的系数。解：展开式的通项是99 219911rrrrrrrTC xC xx 3339184xC 因此， 的系数是 注意：展开式中第 r + 1 项的二项式系数 与第 r + 1项的系数不同。.根据题意，得 9 2r = 3 r = 3 注意：展开式中第 r + 1 项的二项式系数 与第 r + 1项的系数不同。 注意：展开式中第 r + 1 项的二项式系数 与第 r + 1项的系数不同。 在实际应用过程中， 这个公式很有作用，我们 可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。nba 1010100.9970.0010.9971 0.003例3：计算的近似值。精确到解：28210911010

6、010003. 01003. 011ccc 根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以000009. 0145003. 0101997. 010970. 0030. 01.970. 0997. 010则例4：在二项式 的展开中式， 前三项系数成等差数列，求展开式中所 有的有理项。分析：本例是典型的特定项的问题，涉及到前三项和有理项，可以用通项公式来解决。412nxx例4：在二项式 的展开中式，前三项系数成等差数列，求展开式中的所有有理项。解：二项展开式的通项公式是:前三项的r=0,1,2，得系数为:t1=1, t2= ,t3=由已知得:t1+t3=2t2, 1+ 得n=8.通项公式:

7、k=0,1,2,8TK+1为有理项，16-3k是4的倍数，k=0,4,8,有理项有三项，依次为:T1=x4,T5=35x/8,T9=1/256x2412nxx2341411()()22nkknkkkknnkTCxCxx11122nCn211(1)48nCn n1(1),8n nn16 341812kkkkTCx例例5.5. 已知已知( ( ) ) n n (nN)(nN)的展开式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的中第五项的系数与第三项的系数的比为比为10:110:1。 (1) (1) 求展开式各项系数的和；求展开式各项系数的和； (2) (2) 求展开式中含求展开式中含x x 的项。的项。

8、 (3) (3) 求展开式中系数最大的项和系数求展开式中系数最大的项和系数最小的项。最小的项。 x xx x2 22 22 23 3例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展开式中第五项的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为的系数与第三项的系数的比为10:110:1。(1) (1) 求展开求展开x xx x2 22 22 23 3式各项系数的和；式各项系数的和；(2) (2) 求展开式中含求展开式中含 x x 的项。的项。 (3) (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 分析：分析：要灵活、正确的应用二项展开要灵活、正确的

9、应用二项展开式的式的 通项公式。通项公式。(1) (1) 先根据通项公式得到第五项与第先根据通项公式得到第五项与第三项三项 的系数，再由已知条件求出的系数，再由已知条件求出n n的的值。由值。由“赋值法赋值法”求各项系数的和。求各项系数的和。 例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展开式中第五项的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为的系数与第三项的系数的比为10:110:1。(1) (1) 求展开求展开x xx x2 22 22 23 3式各项系数的和；式各项系数的和；(2) (2) 求展开式中含求展开式中含 x x 的项。的项。 (3) (3) 求展开式中系数最大

10、的项和系数最小的项。求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 (2) (2) 根据通项公式先出求含根据通项公式先出求含x x 的项是展开的项是展开式中的第几项，然后把它代入通项公式。式中的第几项，然后把它代入通项公式。 (3) (3) 这个二项展开式在奇数项系数是正的，这个二项展开式在奇数项系数是正的，偶数项系是负的，所以只须考虑系数的绝偶数项系是负的，所以只须考虑系数的绝对值最大。对值最大。 2 23 3例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展开式中第五项的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为的系数与第三项的系数的比为10:110:1。(1) (1) 求展开求展开式

11、各项系数的和式各项系数的和x xx x2 22 2解：解：( ( ) )n n展开式中的通项为展开式中的通项为 x xx x2 22 2T Tk+1k+1=C=Cn nk k( )( )n nk k( ( ) )k k=(=(2)2)k kC Cn nk k( )( )n n5k5kx xx x2 22 2x x T T5 5=T=T4+14+1=2=24 4C Cn n4 4x x 2 2n n1010 T T3 3=T=T2+12+1=2=22 2C Cn n2 2x x 2 2n n5 5第五项的系数与第三项的系数分别为第五项的系数与第三项的系数分别为 2 24 4C Cn n4 4、2

12、 22 2C Cn n2 2; ; 例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展开式中第五项的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为的系数与第三项的系数的比为10:110:1。(1) (1) 求展开求展开式各项系数的和式各项系数的和x xx x2 22 2由题意得：由题意得：2 24 4C Cn n4 4222 2C Cn n2 2=101 =101 n n2 25n5n24=024=0；解得解得 n=8 n=8 或或 n=n=3 (3 (舍舍) )。 令令x=1x=1，代入，代入( ( ) )8 8 x xx x2 22 2令令x=1,x=1,得得(1-2)(1-2)8

13、 8=1,=1,所以各项系数和为所以各项系数和为1 1。 例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展开式中第五项的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为的系数与第三项的系数的比为10:110:1。x xx x2 22 22 23 3 (2) (2) 求展开式中含求展开式中含 x x 的项。的项。 解：解：展开式通项为：展开式通项为：2 28 85k5kT Tk+1k+1=(=(2)2)k kc c8 8k kx x 则条件则条件 = = ，解得，解得k=1 k=1 2 28 85k5k2 23 3展开式中含展开式中含x x 的项为的项为T T2 2=(=(2)2)1 1

14、C C8 81 1x =x =16 x 16 x 。2 23 32 23 32 23 3例例5.5. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展开式中第五项的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为的系数与第三项的系数的比为10:110:1。x xx x2 22 2(3) (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 解：解：展开式中的第展开式中的第r r项、第项、第r+1r+1项、第项、第r+2r+2项的系数绝对值分别为项的系数绝对值分别为C C8 8r-1r-12 2r-1r-1、C C8 8r r2 2r r、C C8 8r+1r+12 2

15、r+1r+1若第若第r+1r+1项的系数的绝对值最大，则有项的系数的绝对值最大，则有 C C8 8r r1 12 2r r1 1CC8 8r r2 2r rC C8 8r r2 2r rCC8 8r+1r+12 2r+1r+1解得解得 5r65r6，例例4.4. 已知已知( ( ) )n n (nN)(nN)的展开式中第五项的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为的系数与第三项的系数的比为10:110:1。x xx x2 22 2(3) (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 即系数的绝对值最大为第即系数的绝对值最大为第6 6或或7 7项，因为项

16、，因为 第第6 6项为负的、第项为负的、第7 7项为正的，项为正的， 所以，展开式中系数最大的项是：所以，展开式中系数最大的项是：系数最小的项是系数最小的项是T T6 6=1792 1792 。 T T7 7=1792 =1792 ； x x11111 1x x9 9x xv例例6 6 :(1)求(1-x)3(1+x)10展开式中x5的系数； (2)求(x+ +2)6展开式中的常数项 x1分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式解：（1）(1-x)3(1+x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得

17、到，然后合并同类项：用 (1-x)3 展开式中的常数项乘以(1+x)10 展开式中的x5项，可以得到C105 x5； 用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5； 用(1-x)3 展开式中的x2乘以(1+x)10 展开式中的x3项可得到3x2(C103x3)=3C103x5； 用(1-x)3 展开式中的x3乘以(1+x)10 展开式中的x2项可得到(-x3)(C102x2)=-C102x5；得x5项为:(C105 -3C104 +3C103 -C102)x5=-63x5 (2)求(x+ +2)6展开式中的常数项 解：x11262121121)()(,)(xxxxxxxx通项公式：Tr+1=rrrrrxCxxC6121212)1()(当r=6时，得常数项为：T7=C126=924 分析：(1+x-x2)6不是二项式， 通过1+x-x2=(1+x)-x2或1+(x-x2) 把它看成二项式展开 解：方法一：(1+x-x2)6 =(1+x)-x26=(1+x)6-6(1+x)5x2+15(1+x)4x4- 其中含x5 的项为： 含x5项的系数为655145355566156xxCxCxC例例5 5：求(1+x-x2)6展开式中x5的系数方法二：(1+x-x2)6=1+(x-x2)