二次型、正交替换法

1、上课 手机手机 关了吗？关了吗？第五章 二次型2引例：方程引例：方程222233221xyzxyxz 表示什么曲面？表示什么曲面？一般地，一般地，二元二元二次方程确定一二次曲线二次方程确定一二次曲线, 三三元元二次二次方程确定一二次曲面。为研究其性质方程确定一二次曲面。为研究其性质, 常通过可逆常通过可逆线性变换消去交叉项，化为标准方程线性变换消去交叉项，化为标准方程22AxByD 或或222AxByCzD经济管理中也常需用线性替换将一个经济管理中也常需用线性替换将一个n元二次齐次元二次齐次多项式化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。多项式化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。n元二次齐次多项式元

2、二次齐次多项式二次型二次型仅含平方项代数和的二次型仅含平方项代数和的二次型二次型的标准形二次型的标准形研究工具研究工具矩阵矩阵第五章 二次型3第五章 二次型45.1 二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵211111212131311222223232221,111,12(,)222222nnnnnnnnnnnnnnnf xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xaxaxxa x 定义定义1 n元二次齐次多项式元二次齐次多项式称为称为x1, x2, , xn的一个的一个(n元元)二次型二次型.为将二次型用矩阵表示，令为将二次型用矩阵表示，令

3、aij=aji ，则有：，则有：211111212112212122222(,)nnnnnf xxa xa x xa x xa x xa xa x x 11nnijijija x x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaax 21122nnnnnnna x xa x xa x 二次型的矩阵形式二次型的矩阵形式X TA X记记f (X )X TA X，称，称A为二次型为二次型f (X)的矩阵，的矩阵，r(A)称为二次型的秩称为二次型的秩.注注:1.二次型矩阵均为对称矩阵二次型矩阵均为对称矩阵(AT=A)；2.二次型二次型 对称矩阵对称矩阵.一一 一一

4、对对 应应 123xxx 例例1. 将二次型将二次型 f(x1, x2, x3)2x1x2x224x2x33x32 写成矩阵形式写成矩阵形式.解：解： f(x1 x2 x3)010112023 解：解：123xxx 例例3. 写出二次型写出二次型 f (x1, x2, x3) 的矩阵的矩阵.231146101 220243031A 例例2. 求对称矩阵求对称矩阵 所对应的二次型所对应的二次型123255356A 解解:f(x1, x2, x3)x125x226x324x1x26x1x310 x2x2第五章 二次型8定义定义2 形如形如222121122(,)nnnf y yyd yd yd y

5、 的二次型称为标准形的二次型称为标准形12(,)nf y yy112212(,)nnndydyy yydy ,其秩其秩=r(D)=d1,d2,dn中非零元个数中非零元个数如何化二次型为标准形如何化二次型为标准形? 为此为此, 先介绍线性替换、先介绍线性替换、矩阵合同等概念矩阵合同等概念Y TD Yf (Y )Y TDY二、线性替换二、线性替换11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 定义定义 称称 为由变量为由变量 x1, x2, , xn到到y1, y2, , yn的的一个线性替换一个线性替换其矩阵形式其矩阵形式: X

6、CY. 若线性替换的矩阵若线性替换的矩阵C可逆，可逆，则称则称XCY为为可逆线性替换可逆线性替换或或非奇异非奇异(非退化非退化)线性线性替换替换, 其逆变换为其逆变换为YC-1X; 若若C为正交矩阵为正交矩阵, 则称则称XCY为为正交替换正交替换(C为正交矩阵为正交矩阵 C-1 CT ).120,0CC XC1U，UC2Y120C C C1、C2为正交阵为正交阵(1)(2)C1C2为正交阵为正交阵 X(C1C2)Yf ( X )X TA X 经可逆线性替换经可逆线性替换 XC Y 后：后： f ( X )(CY )TA(CY ) Y T(C TAC ) Y Y T B Y称称A与与B合同合同三

7、、矩阵合同三、矩阵合同定义定义 设设Ann , Bnn ，若存在可逆阵，若存在可逆阵C，使，使 CTACB，则称，则称A与与B合同，记合同，记A B. 性质性质 与相似关系类似与相似关系类似(证明也类似证明也类似)，具有，具有(1)反身性；反身性；定理定理 经可逆线性替换经可逆线性替换, 原二次型矩阵与新二次型矩阵合同原二次型矩阵与新二次型矩阵合同.(因为因为ETAEA) (由由CTACB得得:(由由C1TAC1 B , C2TBC2 C得得:A(C- 1) TB C-1)C2T (C1TAC1) C2 (C1C2 )TA(C1C2 ) ) (2)对称性；对称性；(3)传递性传递性.?B对对称

8、？称？第五章 二次型11定理定理 经可逆线性替换，原二次型矩阵与新二次型经可逆线性替换，原二次型矩阵与新二次型矩阵合同矩阵合同.证证: 设设 经可逆线性替换经可逆线性替换 XCY 得得: f ( X )(CY )TA(CY ) Y T(C TAC ) Y Y T B Y其中其中BC TAC. BT(CTAC)T 故故B为为对称矩阵对称矩阵. 为为新二次型新二次型,且且B为其矩阵为其矩阵.C TAC B，C可逆可逆AB原二次型原二次型f ( X )X TA X Y T BY注注:1) CT, C可逆可逆即：即：“合同的矩阵有相同的秩合同的矩阵有相同的秩”；或：；或：“可逆线性替换不改变二次型的秩

9、可逆线性替换不改变二次型的秩”.C TAC2)正交替换正交替换X=QY前后的二次型矩阵既合同前后的二次型矩阵既合同,又相似又相似.CTATCCTACB.r(B)r(CTAC)r(AC)r(A)CTACB合同合同相似相似QTAQ=B=Q1AQP1AP5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形二次型二次型 二次型矩阵二次型矩阵一一 一一对对 应应 化二次型为标准形化二次型为标准形 给定对称矩阵给定对称矩阵A，D(对角阵对角阵)能否做到？能否做到？一、正交替换法一、正交替换法定理定理1 任一任一实实二次型二次型 f ( X )X TA X 均可经均可经正交正交替换替换 XQY化为标准形化为标准形 ，其

10、中其中 为为A的全部特征值，的全部特征值，Q的列向量的列向量2221122nnyyy 12,n 为对应于为对应于 的的标准正交标准正交特征向量特征向量.2,n 12,n 1, 定理定理 对对实对称实对称矩阵矩阵A，存在，存在正交矩阵正交矩阵Q，使得，使得Q -1AQQTAQ为对角阵为对角阵复习复习f =X TA XY TDYXCYDC TAC 求可逆矩求可逆矩阵阵C, 使使CTAC(对称矩阵对称矩阵)上次课例上次课例: 求求正交阵正交阵Q, 使使Q-1AQ为对角形为对角形.111132631110,326012036TQAQQ AQQ 2.用用正交替换法正交替换法化化实实二次型为标准形二次型为

11、标准形1.已知已知实对称实对称矩阵矩阵A, 求求正交阵正交阵Q, 使使QTAQ为对角阵为对角阵. 改为本章题型改为本章题型222123121323222fxxxx xx xx x 111111111A 13 1(1,1,1)T 230 23( 1, , )( 1, , )0110TT , ,第五章 二次x xx xx x 例例1 求正交变换求正交变换XQY，将二次型，将二次型化为标准形化为标准形.解解011101110A ， 211111211EA 121 ：12111,001正交化正交化:112121,21 32 ：3111 将将 单位化为单位化为123, ，123

12、, 123111263111,26321063Q 则则Q是正交矩阵是正交矩阵.1112TQ AQQ AQ 经过正交替换经过正交替换XQY，原二次型化为标准形：，原二次型化为标准形：2221232fyyy 令令222233221xyzxyxz 将曲面方程将曲面方程 化为标准化为标准方程方程,并指出所代表的曲面并指出所代表的曲面 (引例引例)解解: 左边二次型左边二次型 f 的矩阵为的矩阵为211130103A 1231,3,4 1232011 ,1,1111 单位化后按列排成矩阵得单位化后按列排成矩阵得21063111623111623Q Q是正交矩阵，且是正交矩阵，且1134TQ AQQ AQ 222341xyz由解几知，曲面是椭球面由解几知，曲面是椭球面.第五章 二次