立体几何大题同步练习-菁优网

1、立体几何大题同步练习解答题 共10小题1.2022?福建如图，三棱锥 A - BCD中，AB丄平面BCD , CD丄BD .I求证：CD丄平面ABD ;II丨假设AB=BD=CD=1 , M为AD中点，求三棱锥 A - MBC的体积.2.2022?山东如图，四棱锥P-ABCD 中,AP 丄平面 PCD , AD / BC , AB=BC=E,F分别为线段AD ,PC的中点.I求证：AP /平面BEF ;I求证：BE丄平面PAC .PA 丄 AC , PA=6 ,3. 2022 ?江苏如图，在三棱锥 P-ABC中，D , E, F分别为棱 PC, AC, AB的中点，BC=8 , DF=5 .求

2、证：1直线PA /平面DEF ;2平面 BDE丄平面 ABC .BC=1 , E, F 分别4. 2022?北京如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB丄BC , AA仁AC=2 ,是A1C1, BC的中点.I丨求证：平面 ABE丄B1BCC1;II求证：C1F/ 平面 ABE ;川丨求三棱锥 E - ABC的体积.5. 2022?浦东新区一模如图，四棱锥 S- ABCD的底面是正方形， SD丄平面ABCD , SD=AD=2 . 1求证：SA丄CD ;6. 2022?安徽模拟如图：四棱锥P- ABCD中，PD丄平面ABCD , ABCD是正方形，E是PA的中点,求证：

3、1PC / 平面 EBD .2平面PBC丄平面PCD .7. 2022?云南模拟如下列图，在三棱锥P- ABC中，E、F分别为AC、BC的中点.1求证：EF/平面PAB;2假设 PA=PB , CA=CB，求证：AB 丄 PC .82022?盐城二模如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB丄平面ABCD , PA丄PB, BP=BC , E为PC的中点.1求证：AP /平面BDE ;2求证：BE丄平面PAC.为PC中9.2022?苏州一模如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形 ABCD是矩形，平面 PCD丄平面ABCD , M点.求证：1PA / 平面 MDB ;10.2

4、022?河西区三模如图，矩形ABCD中，AB=10 , BC=6，将矩形沿对角线 BD把厶ABD折起,到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD 上.1求证：BC 丄 A1D ；2求证：平面 A1BC丄平面A1BD ;3求三棱锥 A1 - BCD的体积.立体几何大题同步练习参考答案与试题解析一解答题共10小题1.2022?福建如图，三棱锥 I求证：CD丄平面ABDA - BCD 中，AB 丄平面 BCD , CD 丄 BD .;II丨假设AB=BD=CD=1 , M为AD中点，求三棱锥 A - MBC的体积. kb Xrt-TD考点：直线与平面垂直的判疋；棱柱、棱锥、棱台的 体积.专题：

5、综合题；空间位置关系与距离.分析：I证明：CD丄平面ABD，只需证明AB 丄 CD ;I丨利用转换底面， Va-mbc=Vc-abm=Saabm?CD，即可求出三棱锥 A - MBC的体积.解答：I证明：T AB丄平面BCD , CD?平面BCD , AB 丄 CD ,/ CD 丄 BD , AB ABD=B , CD丄平面ABD ;I解：/ AB 丄平面 BCD , BD?平面 BCD , AB 丄 BD .AB=BD=1 ,111Sa abd :, M为AD中点，Sa ABMABD=124/ CD丄平面ABD ,VA - MBC=VC-ABMSAABM ?cD=12点评:此题考查线面垂直，

6、考查三棱锥A - MBC的体 积，正确运用线面垂直的判定定理是关键.2.2022?山东如图，四棱锥P-ABCD 中,AP 丄平面 PCD , AD / BC , AB=BC=AD , E, F分别为线段AD ,PC的中点.I求证：AP /平面BEF ; II求证：BE丄平面PAC .考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离.分析：I证明四边形 ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC 的中点，可得PA/ OF，从而可证AP / 平面BEF ;I证明BE丄AP、BE丄AC,即可证 明BE丄平面PAC.解答:证明：I连接CE，那么/ AD

7、 / BC, BC=2aD , E 为线段 AD 的2中占I 八、：四边形abce是平行四边形，bcde是平行四边形，设AC QBE=O，连接 OF，贝y O是AC的中占 F为线段PC的中点， PA/ OF,/ PA?平面 BEF , OF?平面 BEF , AP /平面 BEF ;n/ BCDE是平行四边形， BE / CD ,/ AP丄平面PCD, CD?平面PCD , AP 丄 CD , BE 丄 AP , ab=bc ,四边形abce是平行四边形，四边形abce是菱形， BE 丄 AC ,/ AP AAC=A , BE丄平面PAC.P考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定.专

8、题：证明题；空间位置关系与距离.点评:此题考查直线与平面平行、垂直的判定， 考查学生分析解决问题的能力，正确运用 直线与平面平行、垂直的判定是关键3. 2022?江苏如图，在三棱锥BC=8 , DF=5 .求证：1直线PA /平面DEF ;2平面 BDE丄平面 ABC .P ABC中，D , E, F分别为棱 PC, AC , AB的中点， PA丄AC , PA=6 ,分析:1由D、E为PC、AC的中点，得出DE / PA,从而得出 PA /平面DEF ;2要证平面 BDE丄平面ABC，只需证DE丄平面ABC ,即证 DE丄EF,且DE丄AC 即可.解答:证明：1/ D、E为PC、AC的中点,

9、 DE / PA,又/ PA?平面 DEF , DE?平面 DEF , PA /平面 DEF;2/ D、E 为 PC、AC 的中点， DE=PA=3;又 E、F 为 AC、AB 的中点， EF=_BC=4 ;22 2 2 DE +EF =DF , / DEF=90 DE 丄 EF;/ DE / PA, PA 丄 AC , DE 丄 AC ;/ AC AEF=E, DE 丄平面 ABC ;/ DE?平面BDE，平面BDE丄平面 ABC .点评:此题考查了空间中的平行与垂直问题，解题 时应明确空间中的线线、线面、面面之间的 垂直与平行的互相转化关系，是根底题目.4. 2022?北京如图，在三棱柱

10、ABC - A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB丄BC , AA 1 =AC=2 , BC=1 , E, F分别是A1C1, BC的中点.I丨求证：平面 ABE丄B1BCC1;II求证：C1F/ 平面 ABE ;川丨求三棱锥 E - ABC的体积.考点：平面与平面垂直的判疋；棱柱、棱锥、棱 台的体积；直线与平面平行的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离.分析:I丨证明AB丄B1BCC1,可得平面ABE 丄 B1BCC1;I证明C1F/平面ABE，只需证明四 边形FGEC1为平行四边形，可得C1F/ EG;川利用Ve-ABC= 一齐.，可求三棱锥E - ABC的体积.解答:I证明：/三棱柱AB

11、C - A1B1C1中， 侧棱垂直于底面， BB1 丄AB ,/ AB 丄 BC , BB 1 ABC=B , AB 丄BlBCCl,/ AB?平面 ABE ,平面 ABE 丄 B1BCC1;n证明：取AB中点G,连接EG, FG, 那么 F是BC的中点， FG/ AC , FG=AC ,2 E是A1C1的中点， FG / EC1, FG=EC1,四边形FGEC1为平行四边形， C1F / EG ,/ C1F?平面 ABE , EG?平面 ABE , C1F / 平面 ABE ;川解：/ AA i =AC=2 , BC=1 , AB 丄 BC, AB=；, VE-ABC气辿週-AAXVSXIX

12、Z点评:此题考查线面平行、垂直的证明，考查三 棱锥E - ABC的体积的计算，正确运用线 面平行、垂直的判定定理是关键.SD=AD=2 .5. 2022?浦东新区一模如图，四棱锥 S- ABCD的底面是正方形，SD丄平面ABCD , 1求证：SA丄CD ;2求异面直线SB与CD所成角的大小.考点：异面直线及其所成的角； 空间中直线与直 线之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离.分析：1由线面垂直的性质可得 CD丄SD, 结合正方形的性质可得 CD丄AD，可判 CD丄平面SDA，可得结论；2可得/ SBA或其补角是异面直线 SB 与CD所成角，在直角 SAB中可得 tan/SBA的值，由反三角

13、函数可得.解答：解：1/ SD丄平面ABCD , CD?平面 ABCD , CD 丄 SD,又四边形ABCD是正方形， CD 丄 AD ,又 SD HAD=D , CD 丄平面 SDA ,又 SA?平面 SDA , SA丄 CD2四边形ABCD是正方形， AB CD , / SBA或其补角是异面直线 SB与CD 所成角，由1知BA丄平面SDA , SAB是 直角三角形-tan/ SBA=血 =工, / SBA=arctanV,故异面直线SB与CD所成角的大小为arctanV2.点评:此题考查异面直线所成的角， 涉及线面垂 直的判定定理和反三角函数的应用， 属中 档题.P- ABCD中，PD丄平

14、面ABCD , ABCD是正方形，E是PA的中点,6. 2022?安徽模拟如图：四棱锥 求证：1PC / 平面 EBD .2平面PBC丄平面PCD .D C考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离.分析：1连BD，与AC交于0 ,利用三角形 的中位线，可得线线平行，从而可得线面 平行；2证明BC丄平面PCD ,即可证得平面PBC丄平面PCD.解答:证明：1连BD，与AC交于0,连接E0/ ABCD是正方形， 0是AC的中点， E是PA的中点， E0 / PC又/ E0?平面EBD , PC?平面EBD PC /平面 EBD ;2PD 丄平面 ABCD

15、, BC?平面 ABCD BC 丄 PD ABCD 是正方形， BC丄CD 又/ PD ACD=D BC丄平面PCD/ BC?平面 PBC平面PBC丄平面PCD.点评：此题考查线面平行，考查面面平行，掌握线面平行，面面平行的判定方法是关键.7. 2022?云南模拟如下列图，在三棱锥P- ABC中，E、F分别为AC、BC的中点.1求证：EF/平面PAB;2假设 PA=PB , CA=CB，求证：AB 丄 PC .专题：分析：解答:考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直 线之间的位置关系.空间位置关系与距离.1依题意知E, F为中位线推断出EF / AB，依据线面平行的判定定理推断 出EF /

16、平面PAB .2取AB的中点G,连结PG, CG,根 据 PA=PB,CA=CB，判断出 PAB , ACB 均为等腰三角形进而可推断出AB丄PG,AB丄CG,利用线面垂直的判定定理得出 AB丄平面GPC，最后根据线面垂直的性 质得出AB丄PC的结论.1证明：/ E, F为AC、BC的中点, EF/ AB ,/ AB?平面 PAB, EF?平面 PAB, EF / 平面 PAB .2证明：取AB的中点G,连结PG,CG,/ PA=PB , CA=CB , AB 丄PG, AB 丄CG,/ PG?平面 GPC, CG?平面 GPC，且PGQCG=C , AB丄平面GPC ,/ PC?平面 GPC

17、, AB 丄 PC.点评：此题主要考查了直线和平面平行的判定 和直线与平面垂直的判定.综合考查了学 生对根底知识的运用.82022?盐城二模如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB丄平面ABCD , PA丄PB, BP=BC , E为PC的中点.1求证：AP /平面BDE ;2求证：BE丄平面PAC.P考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.专题：空间位置关系与距离.分析：1设 AC QBD=O，连结 OE .根据 ABCD 为矩形，推断O是AC的中点，同时E是PC 中点，推断出 OE为中位线，即OE / AP , 再根据线面平行的判定定理 AP ?平面BDE

18、 , OE?平面BDE，推断出 AP /平面BDE .2根据平面 PAB丄平面ABCD ,BC丄AB ,平面PAB门平面 ABCD=AB ,推断 BC丄平面PAB .进而利用线面垂直性质知BC 丄 PA,根据 PB丄 PA, BC APB=B , BC , PB?平面PBC,推断出 PA丄平面PBC .进 而知PA丄BE，根据 BP=PC, 且 E为PC中 点，可知BE丄PC,最后利用线面垂直的判 定定理推断出 BE丄平面PAC.解答:点评:证明：1设AC QBD=O，连结0E.四边形ABCD为矩形， 0是AC的中点. E是PC中点， 0E / AP ./ AP?平面 BDE , 0E?平面

19、BDE , AP / 平面 BDE .2平面 PAB丄平面 ABCD , BC 丄 AB ,平面PAB门平面ABCD=AB , BC丄平面PAB ./ AP?平面 PAB, BC 丄 PA./ PB 丄 PA, BC nPB=B, BC , PB?平面 PBC , PA丄平面PBC ./ BE?平面 PBC, PA 丄 BE . BP=PC，且 E 为 PC 中点， BE 丄 PC./ PA nPC=P, PA, PC?平面 PAC, BE丄平面PAC.此题主要考查了空间位置关系中，线面平行，线面垂直的判定注意对线面平行，线面垂 直的判定定理灵活运用，对线面平行和线面 垂直的性质能熟练掌握.9

20、.2022?苏州一模如图，在四棱锥 点.求证：P- ABCD中，四边形 ABCD是矩形，平面 PCD丄平面ABCD , M为PC中1PA / 平面 MDB ;考点：直线与平面平行的判定.专题：空间位置关系与距离.分析：1连接AC ,交BD与点0,连接OM，先 证明出M0 / PA,进而根据线面平行的判定定理证明出PA/平面MDB .2先证明出BC丄平面PCD，进而根据线 面垂直的性质证明出 BC丄PD .解答:证明：1连接AC ,交BD与点0,连接0M , / M为PC的中点，0为AC的中点， M0 / PA,/ M0?平面 MDB , PA?平面 MDB , PA/ 平面 MDB .2平面PCD丄平面 ABCD，平面 PCD n平面 ABCD=CD , BC?平面 ABCD , BC 丄 CD , BC丄平面PCD ,/ PD?平面 PCD , BC丄PD.点评:此题主要考查了线面平行的判定和线面垂直 的判定.判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直.10.202