第二章分离变量法PPT

1、v齐次发展（演化）问题的求解齐次发展（演化）问题的求解v齐次齐次稳定场问题稳定场问题的求解的求解v非齐次问题的求解非齐次问题的求解v多变量推广多变量推广v本章小结本章小结2.1 齐次发展方程的分离变量法齐次发展方程的分离变量法一一 分离变量法简介分离变量法简介研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题 ( , )( ) ( )u x tX x T t设设代入上述波动方程和边界条件得代入上述波动方程和边界条件得 20000 0,000( )( ), 0ttxxxx ltttua ux l tuuuxuxx l 20(0) ( )0( ) ( )0XTa

2、X TXT tX l T t方程、边界方程、边界条件均齐次条件均齐次用用 遍除遍除2a XT2TXa TX(0)( )0XX l2TXa TX 两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作数，把这个常数记作- 2TXa TX 这可以分离为关于这可以分离为关于X的常微分方程和关于的常微分方程和关于T的常微分方程，的常微分方程，且边界条件也同样进行分离且边界条件也同样进行分离 0(0)0( )0XXXX l20Ta T称为固有值（本征值）问题称为固有值（本征值）问题 1 、在在0的情况的情况 方程的解是方程的解是 xCxCxXs

3、incos)(21120sin0CCl只有只有 才能保证才能保证 ，方程有非零解，方程有非零解0sinl20C ( )sinnnn xXxCl 此时此时再看关于再看关于T 的方程的方程 02222TlnaT于是于是 或或 nl 222nnl1,2,n 称为称为固有值固有值， 称为称为固有函数固有函数n( )nXx 这个方程的解这个方程的解 ( )cossinnnnn atn atT tABll 分离变量的形式解分离变量的形式解 ),(txun)sincos(latnBlatnAnnlxnsin(n=1,2,3,) ),( txu)sincos(1latnBlatnAnnnlxnsin由叠加原理

4、，一般解为：由叠加原理，一般解为： 现在要求出叠加系数现在要求出叠加系数 和和 nAnB满足初始条件满足初始条件 0( )tux0( )ttux0 xl 方程左边是傅里叶正弦级数方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得02( )sinlnnAdll dlnanBlnsin)(201( ,0)sin( )nnnu xAxxl1( ,0)sin( )tnnn anu xBxxll按上述公式计算出系数按上述公式计算出系数 和和nAnB),( txu)sincos(1latnBlatnAn

5、nnlxnsin注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。 如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。 2ttxxua u|xx luu0=000|( )( )tttuxux)()(xXtTu(0)() 0XX l2TXaTX20Ta T0XXcossinnnnn atn atTABll2( )sin,nnlnnlXx( )( )nnnuT t Xx( )( )nnuTt Xx),( txuu固有

6、固有值值（特（特征值）征值）问题问题分离变量法步骤：分离变量法步骤： 下面看一个具体例子。下面看一个具体例子。1 设未知函数的分离式，代入方程，得两个常微分方程；设未知函数的分离式，代入方程，得两个常微分方程；2 结合边界条件，归纳出固有值问题；结合边界条件，归纳出固有值问题；3 由常微分方程理论，确定固有值和固有函数；由常微分方程理论，确定固有值和固有函数；4 求另一常微分方程的通解；求另一常微分方程的通解；5 由叠加原理得到满足方程和边界条件的解；由叠加原理得到满足方程和边界条件的解；6 根据初值条件，由根据初值条件，由Fouier级数理论确定待定常数。级数理论确定待定常数。方程一定要求齐

7、次才能方程一定要求齐次才能分离出两个常微分方程分离出两个常微分方程边界条件一定要求齐次边界条件一定要求齐次才能归纳出可求解的固才能归纳出可求解的固有值问题有值问题20000 0,000( )0, 0ttxxxx ltttua ux l tuuuxux l 练习求解两端固定弦的自由振动问题练习求解两端固定弦的自由振动问题734sin ( )770 llxxxl 其它其中其中解为解为),( txu)sincos(1latnBlatnAnnnlxnsin其中其中2( )sin0lnn xBxdxll02( )sin()()sinsin( - )()()sinsin,(), lnn xAxdxllnn

8、nnnnnn 014737777147377777177该解所表示的物理过程可以从下面动画图中得到。注意级数解该解所表示的物理过程可以从下面动画图中得到。注意级数解有无穷多项，计算时取前有无穷多项，计算时取前50项，项，a=1。程序为。程序为my401-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=0.01-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=0.30.40.

9、0.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=0.301-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=0.801-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=1-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=

10、0.95【例题【例题1】 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动纵振动,即定解问题即定解问题 000lxxxxuu02xxttuau0,0 xl t)()(00 xuxuttt【解【解】 设设 并代入方程得并代入方程得 ( , )( ) ( )u x tX x T t20XTa X T(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0X( )0X l分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下分析：方

11、程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下现用现用 遍除各项即得遍除各项即得 2a XT2TXa TX 0 XX(0)0( )0XX l于是得固有值问题于是得固有值问题cossin(0)AxBx(0)xxAeBe A Bx(0)( )X x 方程的通解为方程的通解为由边界条件由边界条件 知知 时时(0)0( )0XX l00AB( )cossin(0)X xAxBx当当 时有解时有解 0当当 时时由定解条件得由定解条件得 ，任意，于是有固，任意，于是有固有值和固有函数有值和固有函数00,BA000,( )XxA0 ( )1Xx 或现确定积分常数，由条件知现确定积分常数，由

12、条件知 0(sincos)0BAlBl0B 由第一式可得由第一式可得sin0Al 而而 只有只有 0Asin0lln，因此第二式变为，因此第二式变为于是有固有值和固有函数于是有固有值和固有函数222nnl( )cosnnXxxl1,2,n 222nnl( )cosnnXxxl现在需要求解现在需要求解( )cossin(1,2, )nnnn atn atT tABnll综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为0,1,2,n 220nTaT当当 时有解时有解 0n 000( )T tAB t当当 时有解时有解0n 其中其中 均为独立的任意常数。均为独立的任意

13、常数。nnBABA00( , )( )( ) nnu x tT t X xn=0由初始条件得由初始条件得 把右边的函数展成傅里叶余弦级数把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数，得比较两边的系数，得 dlAl00)(1dlBl00)(1dlnlAln0cos)(2dlnanBln0cos)(20101cos( )cos( )(0)nnnnn xAAxln an xBBxxlll由叠加原理，一般解为由叠加原理，一般解为001(cossin)cosnnnn atn atn xAB tABlll2ttxxua u|xxxx luu0=000|( )( )tttuxux)()(xXtTu(0)

14、() 0XX l2TXaTX20Ta T0XX000cossinnnnTABtn atn atTABll2( ) ,0,1,2,cos,nnlnnlnXx( )( )nnnuT t Xx( )( )nnuTt Xx),( txuu固有固有值值（特（特征值）征值）问题问题【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件 2000,0,00,0( )txxxxx ltua uxl tuuux试探解试探解 ( , )( ) ( )u x tX x T t代入方程和边界条件得代入方程和边界条件得 固有值问题固有值问题 0(0)0( )0XXXX l 【例题【例题2】研究

15、细杆导热问题】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热，杆上初始温度为另一端跟外界绝热，杆上初始温度为 ,试求无热源时细杆上试求无热源时细杆上温度的变化。温度的变化。 ( )x和常微分方程和常微分方程20TaT分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下经讨论知，仅经讨论知，仅 时有非零解，且时有非零解，且02cos0Cl1() ,0,1,2,32lnn2222221()(21)24nnnll只有只有12( )cossinX xCxCx10C 由

16、由 得得(0)0X由由 得得( )0X lcos0l于是得固有值和固有函数为于是得固有值和固有函数为由此得由此得(21)( )sin2nnxXxl2222(21)04nTaTl2222(21)4( )natlnnT tC e下面求解下面求解得得由叠加原理，得由叠加原理，得2222(21)40(21)( , )sin2natlnnnxu x tC el确定系数确定系数 ,由初值条件知由初值条件知 nC0(21)sin( )2nnnxCxl)0(lx 02(21)( )sin2lnnxCxdxll于是于是总结分离变量法步骤，的如下流程：总结分离变量法步骤，的如下流程：2txxua u|xxx lu

17、u0=00|( )tux)()(xXtTu(0)() 0XX l 2TXaTX20Ta T0XX22 22(21)4( )natlnnT tC e(2 1)22(2 1)2() ,1,2,sin,nnlnnlnXx( )( )nnnuT t Xx( )( )nnuTt Xx),( txuu固有固有值值（特（特征值）征值）问题问题 22 22(21)4222028(21)( , )( 1)sin(21)2natnlnAAnxu x tenl从而下列问题从而下列问题 2000,0,00,0txxxxx ltua uxl tuuAuxl的解为的解为如取如取 ，则，则( )Axxl12002202(2

18、1)22(21)sin (cos)2(21)22(21)8 cos( 1)(21)2(21)lnlnAnxAlnxCxdxxllllnllnxAdxnln (a) 精确解图精确解图(b) 瀑布图瀑布图051000.510510152025XTu051000.510510152025XTua=5 A=10 l=10 N=100图形如下图形如下: (程序程序:my1) 思考题：如何求解下面的波动问题思考题：如何求解下面的波动问题1,0|0,|0|sin 2,|(1)ttxxxxtttua uxtuuux uxx201000,0 习题：习题习题：习题1（1）、（）、（3）；习题）；习题2；习题；习题

19、3（2）；）；2.2 稳定场齐次问题的分离变量法稳定场齐次问题的分离变量法1 矩形区域上拉普拉斯方程矩形区域上拉普拉斯方程 【例题【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边】散热片的横截面为矩形。它的一边 处于较高温处于较高温度度 ， 边处于冷却介质中而保持较低的温度边处于冷却介质中而保持较低的温度 , 其他两其他两边边 ， 温度保持为零温度保持为零， 求解这横截面上的稳定温求解这横截面上的稳定温度分布度分布 . by 0y0 xxa),(yxuU0u【解】先写出定解问题定解问题【解】先写出定解问题定解问题 0 xxyyuu000(0)xx auuyb00(0)yy buuuUxa方程齐次方程齐

20、次这组边界条件齐次这组边界条件齐次用分离变量法用分离变量法0 xxyyuu|xx auu0=000|yy buuuU( ) ( )uX x Y y(0)( ) 0XX aXYXY0YY0XX( )nnyyaannnY yAeBe2( ) ,1,2,( ) sin,nnannanX xx( )( )nnnuXx Y y( ,)( )()nnu x yXx Yy( , )uu x y固有固有值值（特（特征值）征值）问题问题设形式解为：设形式解为： ( ,)( )( )u x yX x Y y代入上述泛定方程代入上述泛定方程,得到得到0(0)0( )0XXXX a0YY得到固有值问题得到固有值问题和

21、常微分方程和常微分方程得固有值：得固有值： 222(1,2,.)nnna固有函数固有函数： ( )sinnn xXxa,.)2 , 1(n( )nnyyaannnY yA eB e而而1( , )()sinnnyyaannnn xu x yA eB ea( , )()sinnnyyaannnn xu x yAeB ea于是有于是有叠加得叠加得为确定叠加系数，将为确定叠加系数，将 代入非齐次边界条件代入非齐次边界条件 ( , )u x y011()sin()sinnnnnnbbaannnn xABuan xA eB eUa将等式右边展开为傅里叶正弦级数将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系

22、数，得并两边比较系数，得 00022(1( 1) )sinnannn xuABudxaan 2 (1 ( 1) )nnnbbaannUAeB en 联立求解得联立求解得0(1( 1) )()sh()n bnanUu eAn bna 0(1( 1) )()sh()n bnanu eUBn bna 101( , )()sin2(1 ( 1) )() shshsinshnnyyaannnnnn xu x yA eB ean ynbyn xUun baaana 故原问题的解为故原问题的解为小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件是齐次的，则可使用分离

23、变量法求解。是齐次的，则可使用分离变量法求解。图形如下图形如下： （程序：（程序：my2）00.511.5201230123456XYu00.511.5200.511.522.530123456XYua=2 b=3 U0=1 U=5 N=150(a) 精确解图(b) 瀑布图【例【例2】求解下列问题】求解下列问题0 xxyyuu00(0)xx aupuPyb00(0)yy buuuUxa特点：边界条件特点：边界条件 均非齐次均非齐次 让让 和和 分别满足拉普拉斯方程分别满足拉普拉斯方程,并各有并各有一组齐次边界条件，即一组齐次边界条件，即( , )x y( , )w x y000000 xxyy

24、xx ayy bpP000000 xxyyxx ayy bwwwwwuwU( , )( , )( , )u x yx yw x y则则 ，而上面两个定解，而上面两个定解问题分别用例问题分别用例1的方法求解。的方法求解。称为定解问题的分拆。称为定解问题的分拆。 【例题【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场的电势。求导线外电场的电势。 【解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为【解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴轴

25、，物理问题与物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆222xya柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程 0yyxxuu（在柱外）（在柱外） 0222ayxu可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径。在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成2 圆形区域问题圆形区域问题0cosuE)(01122222auuu0au设分离变数形式的试探解为设分离变数形式的试探解为 ( , )( )( )uR 代入拉普拉斯方程，得代入拉普

26、拉斯方程，得2RRR 令令2RRR 此条件是根据电学此条件是根据电学原理加上的原理加上的移项、整理后得：移项、整理后得：2110RRR 分离为两个常微分方程分离为两个常微分方程 002RRR（ 自然边界条件，附加）自然边界条件，附加）)(cossin(0)AB(0)AeBe BA(0)得固有值和固有函数为得固有值和固有函数为2nn0(0)cossin(0)nnAnAnBnn( )n(2 )( ) 和和固有值问题解得解得将本征值代入常微分方程，得到将本征值代入常微分方程，得到欧拉型欧拉型常微分方程常微分方程 220RRn R作代换作代换 则则 ，方程化为，方程化为 ： telnt2220d Rn

27、 Rdt00ln ,0( ),0nnnnnCDnRCDn于是通解是于是通解是 ),(uln00DC 1(cossin)nnnnAnBn1(cossin)nnnnCnDn解得解得00,0( )0nntntnnCD tnR tC eD en即即一个傅里叶级数等于零一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零意味着所有傅里叶系数为零,即：即： 0011ln(cossin)(cossin)0nnnnnnnnCDaaAnBnaCnDn00ln0,CDa00nnnnnnnna Aa Ca Ba D由此得：由此得： 00ln ,CDa 22nnnnnnCA aDB a 由条件由条件 得得0au主要部分是主

28、要部分是 项项,可见在表达式中不应出现高次幂，于是可见在表达式中不应出现高次幂，于是 1101000 (1)nnAEBABn最后得柱外的静电势为：最后得柱外的静电势为：2000( , )lncoscosauDEEa 由由 知知0cosuE结合前面系数关系，有结合前面系数关系，有21000(1)nnCE aCDn习题习题6、8如下是如下是Matlab偏微分方程工具箱求解该问题的结果（偏微分方程工具箱求解该问题的结果（my6） 2.3 非齐次方程的求解非齐次方程的求解 2( , )(0,0)ttxxua uf x txl t000lxxuu0000tttuu设该问题的解为：设该问题的解为：1( ,

29、 )( )sinnnnu x tTtxl例例1 求解有界弦的受迫振动问题（求解有界弦的受迫振动问题（）我们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为我们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为1sinnn xl1( , )( )sinnnnf x tf txl又设又设因因 已知，所以已知，所以( , )f x t02( )( , )sinlnn xf tf x tdxll 固有函数展开法（又称傅立叶级数法）固有函数展开法（又称傅立叶级数法）代入非齐次方程和初始条件得：代入非齐次方程和初始条件得：2222( )( )( )(0)0(0)0nnnnnnaT tT tf tlTT001( )( )sin()(

30、 , )( )sin()sintnntnnln aT tftdn alln anu x tftdxn all用用Laplace变换求解得：变换求解得： 方法总结：方法总结：将未知函数和非齐次项按照对应的齐次问题将未知函数和非齐次项按照对应的齐次问题的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入非齐次方程和初始条件确定该未知函数。非齐次方程和初始条件确定该未知函数。2000cossin00( )( )ttxxxxxx ltttxua uAtluuuxux)0(lx 设：设：0( , )( )cosnnnu x tT txl22220( )

31、cossincosnnnnanTTxAtxlll【解】【解】 对应齐次问题的固有函数系为对应齐次问题的固有函数系为0cosnn xl代入泛定方程，得代入泛定方程，得于是有于是有例例2 求解有界弦的受迫振动问题（求解有界弦的受迫振动问题（）tATlaTsin1222102222nnTlanT) 1(n代入初始条件代入初始条件 00(0)cos( )cosnnnnnnTxxxll00 (0)cos( )cosnnnnnnTxxxll于是：于是： dlTl000)(1)0(dlTl000)(1)0(当当 时：时： 0ndlnlTlnn0cos)(2)0(dlnlTlnn0cos)(2)0(的解为的解

32、为 )(tTnttT000)(12222111( )( sinsin) cossinAlataT ttaallltlatlal解释解释推导：推导：对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 ( )cossinaaT tCtDtll1设非齐次方程的特解为，解得设非齐次方程的特解为，解得 ( )sinT tBt1()ABal 22于是非齐次方程的通解为于是非齐次方程的通解为( )cossinsin()aaAT tCtDttalll122由定解条件由定解条件(0)T11 (0)T11得得C1()()lADaal122代入整理即得。代入整理即得。( )cossinnnnn atln atT tln al

33、002222( , )1 +(sinsin)cosu x ttAlataxtaallll2(cossin)cosnnnn atln atnxln all故原问题的解为故原问题的解为解释解释【例题例题 3 】均匀细导线，每单位长的电阻为均匀细导线，每单位长的电阻为R通以恒定的电流通以恒定的电流I，导，导线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换。设导线的初始温度线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换。设导线的初始温度和两端温度都是零度，试求导线的温度变化。和两端温度都是零度，试求导线的温度变化。【解】设导线的热传导系数、热交换系数、比热和密度分别为【解】设导线的热传导系数、热交换系数、比热和密度

34、分别为 , , ,k h c ，由热量守恒定律，由热量守恒定律2txxc u dtku dthudtI Rdt 其定解问题为：其定解问题为： 22(0, )( , )0( ,0)0txxhI Rua uuccutu l tu x对应的齐次问题的固有函数为：对应的齐次问题的固有函数为： ，故令，故令1sinnnxl1( , )( )sinnnnu x tT txl而而21sinnnI RnAxcl其中其中22022sin1 ( 1) lnnI RnI RAdlclnc 代入方程，比较系数得：代入方程，比较系数得：2222( )()( )nnnnahT tT tAlc(0)0nT由常微分方程的知识

35、：由常微分方程的知识：( )( )( )( )p x dxp x dxy xeq x edxC( )( )( )y xp x yq x的解为的解为知知( )()PtPtPtnnnAAT teeCCePP其中其中2222nahPlc代入初始条件得：代入初始条件得： 1nACP 22222()2222( )(1)21 ( 1) 1()PtnnnahntclAT tePI Renna chl 于是：于是： 从而原问题的解为从而原问题的解为1( , )( )sinnnnu x tT txl222222222021 ( 1)1sin()nahntclmI Rnexna chll 习题习题10（2）、（）

36、、（3） 2.4 非齐次边界条件问题非齐次边界条件问题 上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件的情况。上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件的情况。现在讨论非齐次边界条件下的情况。现在讨论非齐次边界条件下的情况。【例【例1】长为】长为 、侧面绝热的均匀细杆，在、侧面绝热的均匀细杆，在 的一端保的一端保l0 x xl0u持恒温持恒温 ，另一端，另一端 有热流为有热流为 的定常热流进入。设杆的定常热流进入。设杆0q0u的初始温度分布是的初始温度分布是 ，求杆上的温度变化，求杆上的温度变化.【解】物理问题的定解问题【解】物理问题的定解问题200000( , )( , )(0,0)txxxxx

37、 ltu x ta ux txltquuuKuu按照叠加原理，将按照叠加原理，将 的定解问题分解为两部分之和，的定解问题分解为两部分之和，( , )u x t( , )( )( , )u x txw x t00qxuK( ) x满足定解问题满足定解问题000( )0(0)xxx lxxlquK即即解得解得( , )w x t满足定解问题满足定解问题2000( , )( , ) (0)00txxxxx ltw x ta w x tx lwwqwxK 解释为什么？解释为什么？2(21)1022208( 1)(21)( , )sin(21)2kaktlkq lkxw x teKkl由分离变量法知，其

38、解为由分离变量法知，其解为2(21)100202208( 1)(21)( , )sin(21)2kaktlkqq lkxu x tx ueKKkl由初值条件知由初值条件知2(21)20(21)( , )sin2katlkkkxw x tC el10022082(21)( 1)sin2(21)klkqq lkxCxdxlKlKk故故与与t无关，设无关，设v=v(x)200000( , )( , )(0,0)txxxxx ltu x ta ux txltquuuKuu小结：小结：( ) x满足定解问题满足定解问题000( )0(0)xxx lxxlquK即可边界条件齐次化。即可边界条件齐次化。与与

39、t无关无关lxtxuxlqxutqtlututlxpxuatu0, 0)0 ,(,)0 ,(0,),(, 0), 0(0,0,22222( , )( )( , )u x tv xw x t222ppqplvxAxBxxaala 22222【例【例2】求下列定解问题求下列定解问题解：令解：令pa v2= 0v(0)= 0( )v lq( )v x满足满足解得解得( , )wxt满足满足方程也非齐次方程也非齐次,0,0(0, ), ( , ),0( ,0)( )0 ,22ttwwaxl ttxwtw l ttqw xxv xlxlpplxx waa222222220= 0= 0= 0则边界条件可齐

40、次化。则边界条件可齐次化。与与t有关有关 【例题【例题3】求解长为】求解长为 的均匀杆的振动问题的均匀杆的振动问题l( , )( , )( , )u x tx tw x t【解】仍然要利用叠加原理，取【解】仍然要利用叠加原理，取sinx luAt是一振动源，不防设是一振动源，不防设( , )( )sinx tA xt适当选取适当选取 ，使，使 满足下述方程和边界条件满足下述方程和边界条件( )A x( , )x t20( , )( , )(0)0sinttxxxx lx tax txlAt2000( , )( , )(0,0)0sin00ttxxxx ltttux ta ux txl tuuA

41、tuu注意注意于是，得到了方程于是，得到了方程( )sinsinAA xxlaa2( )()( )0(0)0( )AxA xaAA lA解得解得关于另一方程为：关于另一方程为：2000( , )( , )(0)000sinsinttxxxx ltttwx ta wx txlwwAwwxlaa ( , )sinsinsinAx txtlaa用分离变量法，知用分离变量法，知1( , )(sincos)sinkkkk atk atkw x tABxlll由初值条件，知由初值条件，知0kB 02sinsinsinlkk aAkAxxdxlllala所以所以1222( 1)()()kkAAkalal从而

42、从而 12212( 1)( , )sinsin()()kkAk atkw x txkalllal12212( , )sinsinsin( 1)sinsin()()kkAAu x txtlaalak atkxkllal( , )( , )( , )u x tx tw x t解的动画截取图形。注意级数解有无穷多项，计算时取有解的动画截取图形。注意级数解有无穷多项，计算时取有限项。这里取前限项。这里取前100项。项。(程序：程序：my5)01-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=0.300

43、.0.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=0.801-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=1.001-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=1.501-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.0

44、20.030.040.05t=2.001-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05t=4.000.810123-0.03-0.02-0.0100.010.020.03xt解的瀑布图形解的瀑布图形与与t有关有关lxxtxuxxuttutlutututlxtxfxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0),(),(),(), 0(0,0),(2122222( , )( , )( , )u x tv x tw x t( )( )( , )( )u tu tv x txu tl

45、211解：令解：令【例【例】求下列定解问题求下列定解问题设满足设满足( , )v x t(0, )( )vtu t1( , )( )v l tu t2( , )( )( )v x tA t xB t解得解得( , )wxt满足满足,(0, ), ( , ),(0)(0)( ,( )(0),(0)(0)( ,0)( )(0)uuwwafaxutxlwtw l tuuw xxxuluuw xxxutl222221122211211= 0= 00)0)习题：习题习题：习题11（1）、（）、（4）2.5固有值问题固有值问题 常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。常微分方程的本征值问题是由齐次边

46、界条件决定的。 用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数 些参数称为固有值，其对应的方程解称为固有函数。些参数称为固有值，其对应的方程解称为固有函数。 的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这( )( )0(0)0( )0XxX xXX l222( )sin(1,2,)nnnnnXxCx nll固有值及固有函数：固有值及固有函数：一、一、

47、( )X x cossin(0)AxBx(0)xxAeBe ABx(0)1sinnnxl固有函数系：固有函数系：在区间在区间 上正交，即上正交，即0, l00,sinsin,2lnknkxxdxlllnk222( )cos(0,1,2,)nnnnnXxCx nll其固有值和固有函数分别为其固有值和固有函数分别为 ( )( )0(0)0( )0XxX xXX l二、二、( )X x cossin(0)AxBx(0)xxAeBe ABx(0)三、三、( )( )0(0)0( )0XxX xXX l其固有值和固有函数分别为其固有值和固有函数分别为 22211()22( )sin(0,1,2,)nnnnnXxCx nll0cosnnxl固有函数系：固有函数系：在区间在区间 上正交，即上正交，即0, l00,coscos,2lnknkxxdxlllnk( )X x cossin(0)AxBx(0)xxAeBe ABx(0)1(21)sin2nnxl固有函数系：固有函数系：在区间在区间 上正交，即上正交，即0, l00,(21)(21)sinsin22,2lnknkxxdxlllnk22211()22( )cos(0,1,2,)nnnnnXxCx nll其固有值和固有函数分别为其固有值和固有函数分别为