第四节隐函数及由参数方程所2-4

1、第二章 第四节1第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率教学内容教学内容 1 隐函数的导数隐函数的导数 2 对数求导法对数求导法 3 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 4 相关变化率相关变化率教学重点教学重点 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数本节考研要求本节考研要求 会求隐函数和用参数方程所确定的函数的导数会求隐函数和用参数方程所确定的函数的导数第二章 第四节2一一. . 隐函数的导数隐函数的导数 在方程在方程F(x,y)=0中中,如果当如果当x在某区间在某区间I

2、上取任意一值上取任意一值时时,相应地相应地 总有唯一一个满足该方程的总有唯一一个满足该方程的y值存在值存在,这种由这种由方程所确定的函数称为方程所确定的函数称为隐函数隐函数,它的定义域为它的定义域为I,有时有时也记作也记作y=f(x).不过这里的不过这里的f的具体表的具体表 示示 式不一定能求式不一定能求得出来得出来. 例如例如, 方程方程x+3y-4=0, xy+ex - ey0都确定了都确定了y是是x的隐函数的隐函数,对于前一个方程对于前一个方程,可以解出可以解出,我们称为我们称为隐函隐函数的显化数的显化.后面一个方程就解不出后面一个方程就解不出 y=f(x). 简单地说有下简单地说有下面

3、这样的关系：面这样的关系： 第二章 第四节3. )( 0) ,F( 隐隐函函数数称称为为所所确确定定的的函函数数由由方方程程xyyyx .)(显显函函数数形形式式的的函函数数称称为为xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的隐函数的显化显化问题问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: : 视视 y=y(x) , 应应用用复合函数的求导法复合函数的求导法直接直接对对方程方程 F(x, y)=0 两边求导，然后解出两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数即得隐函数的导数.第二章 第四节4例例1 1.,00 xyxdxdydxdy

4、yeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 方程两边对方程两边对x求导求导,要记住要记住y是是x的函数的函数,则则y的函数是的函数是x的复合函数的复合函数, 1 ,ln ,yyy exx例如等都是 的复合函数，对 求导应按复合函数的求导方法做。第二章 第四节51) xy两端同时对 求导，注意把 当作复合函数求导的中间变量来看待；222ln,yarctgxyyx例题 设求2y） 从求导后的方程中解

5、出 来；隐函数求导方法小结隐函数求导方法小结：3, yxy）隐函数求导允许结果中含有但求一点的导数时不但要把 的值代进去，还要将对应的值代进去。第二章 第四节6例例3 3 求由方程求由方程 x-y+1/2siny=0 所确定的隐函数所确定的隐函数y的二的二 阶导数阶导数 y”解解: 方程两边对方程两边对x求导求导,得到得到yyyyycos220cos211上述方程再对上述方程再对x求导求导,得到得到0cos21)(sin212 yyyyy322)2(cossin42cos)cos22(sin2cos)(sin yyyyyyyyy 隐函数的二阶求导就是在隐函数的一阶求导的基础隐函数的二阶求导就是

6、在隐函数的一阶求导的基础上上, 在等式两边再对在等式两边再对x求导一次，求导一次，第二章 第四节7例例4 4.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy第二章 第四节8二、对数求导法二、对数求导法利用隐函数求导法求显函数导数的方法。利用隐函数求导法求显函数导数的方法。对数求导法：对数求导法： 先先对对 y=

7、f(x)（0）两边取对数两边取对数(或加绝对值后或加绝对值后两边取对数两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围适用范围: :, )( )1()( xvxu函函数数幂幂指指型型方方、开开方方运运算算的的函函数数。含含有有较较多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(观察函数：观察函数：.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 第二章 第四节9例例1 1解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(311

8、1 xxxyy取对数是一种取对数是一种重要的映射，重要的映射，它能把运算级它能把运算级别降低，这是别降低，这是其本质。其本质。32(1)1,1(4)xxxyxyxe设求第二章 第四节10例例2 2解解. , )0( sinyxxyx 求求设设等式两边取对数等式两边取对数, 得得, lnsinlnxxy 得得求求导导上上式式两两边边对对 , x, 1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx ? sin）（求求出出能能否否用用问问： xx显显式式求求导导法法第二章 第四节11例例3 3 求幂指数函数求幂指数函数 y = uv(

9、u0) 的导数，其中的导数，其中u, v是是x的函的函 数数,且都在点且都在点x处可导处可导.分析分析: （方法一（方法一 ）先取对数）先取对数uuvuvyyuvyuvyln1)ln(lnlnln)ln()ln()ln(1uvuvuuuuvuvuuuvuvyyvv（方法二）（方法二） 转化为指数函数的形式转化为指数函数的形式 lnv xv xu xyu xyey用复合函数的求导法则第二章 第四节12例例4)0)(, 0)( )()(xxyxyx求)()(lnlnxxy解解:)()()(ln)()()(2xxxxxxyy)()(1)(ln)()()()( 2xxxxxxx)()(1)(ln)()

10、()()( )( 2)(xxxxxxxxyx第二章 第四节13 22 1,f yyyy xxeed yffdx例题 设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且求考研题 112323 ,ya x b xcxy例题 设函数求第二章 第四节14三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t第二章

11、第四节15( ) I ,( )txt tyt对1 ( ) I ( ) ( ) I( );txxttxttx若在上单调、可导且恒不为零在对应的上有可导的反函数1 ( )( ) ( ) I , xytyxy x在上可导且 ( ) I ,tyt又若在上可导dxdtdtdydxdyxy )(dtdxdtdy1 ( ),( )tt第二章 第四节16( ) ( ) :( )ytyy xxt确定的求导法( )( )dydytdtdxdxtdt 参数式的二阶求导参数式的二阶求导 在参数方程的一阶导数的基础上在参数方程的一阶导数的基础上,我们来讨论参数式我们来讨论参数式的二阶导数的求法。的二阶导数的求法。第二章

12、 第四节17)()(ttdxdy则它们的二阶导数则它们的二阶导数dxdtttdtdttdxddxyd)()()()(22)(1)()()()()( 2tttttt 3)()()()()( ttttt 设函数的参数式为设函数的参数式为x=(t), y=(t),则则第二章 第四节18sin1 ,costtxetdydxyet例题设求22ln12 ,ln1xtttdydxyttt例题设求cossin3sincos4xatttyatttt例题 求圆的渐近线在的切线方程。 24 20txarctgtdyyy xytyedx例题设由确定，求第二章 第四节19例例5 求函数 的二阶导数taxtaxcos,s

13、in 解 在求参数方程的导数时,不要同函数的求导混淆起来.要求采用 形式dxdtdxdydtddxyd)(22.sin,cos taytay 322)sin()cos(cos)sin(sin tatatatatadxydta3sin1 cossinxatyat应用上面的公式应用上面的公式第二章 第四节20例例6 6解解. )( sincos 33的二阶导数的二阶导数表示的表示的求求xyytaytax )()(txtydxdy )sin(cos3cossin322ttatta , tant )(22dxdydxddxyd ttatsincos3sec22 . sin3sec4tat )()tan

14、(txt dxtd)tan( ? 33 dxyd问：问：第二章 第四节21四.相关变化率 设设 x= x(t)及及 y = y(t) 都是可导函数，而变量都是可导函数，而变量x与与y之间存在某种关系，从而变化率之间存在某种关系，从而变化率 dx/dt 与与 dy/dt 之之间也存在一定关间也存在一定关 系。系。 两个相互依赖的变化率称为相两个相互依赖的变化率称为相关变化率关变化率.相关变化率问题是研究这两个变化率之间相关变化率问题是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.通通 过举例说明过举例说明第二章 第四节22例例101

15、0解解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中米米河水以河水以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米 dtdV小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时米时当当 h第二章 第四节23五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: :视视 y=y(x)， 利用利用复合函数求导法复合函数求导法则则直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对函数两边取对数对函数两边取对数, 然后按隐函数的求然后按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导法参数方程求导法: y对