2019年中考数学复习专题8二次函数与几何图形的综合精讲试题

1、专题八二次函数与几何图形的综合毕节中考备考攻略命题规律二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现，具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点，同时题型变化多样，如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性解雕茶脂1 .二次函数与线段的长(1)一般设抛物线上点的横坐标为X,纵坐标为抛物线解析式，与之相关的点的横坐标也为X,纵坐标为直线解析式，两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；(2)建立关于线段长的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；(3)线段长之和最小的问题，转化为对称点后用两点之间线段最短解决.2 .

2、二次函数与图形的面积3 1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；4 2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；5 3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段长，利用割补方法求图形的面积.3 .二次函数与特殊三角形(1)判断等腰三角形，可以对顶点进行分类讨论；(2)判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论.4 .二次函数与特殊四边形此类题型结合特殊四边形的判定方法，对对应边进行分类讨论，求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单，其他特殊的平行四

3、边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.5 .二次函数与相似三角形结合相似三角形判定方法，如果一个角为直角，只需两直角边之比分别相等，此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破类型1二次函数与线段的长例1(2018遂宁中考改编)如图，已知抛物线y=ax2+2x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；(2)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MNk3时,求点M的坐标.【解析】由抛物线的对称轴x=3，利用二次函数的性质即可得到a的值，进而可得出抛物线的解析式，再利用抛

4、物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标；(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MIN/y轴，可表示出点N的横纵坐标，进而可用m的代数式表示出MN的长，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，分类讨论即可得出结果.3【答案】解：(1),抛物线y=ax2+3x+4的对称轴是直线x=3,，一：=3,解得a22a1o3，抛物线的解析式为y=4x+2x+4.当y=0时，-4*2+qx+4=0,解得xi=-2,x2=8.点A的坐标为(一2,0)，点B的坐标为(8,0);

5、,123(2)当x=0时,y=-4*+2x+4=4,点C的坐标为(0,4).设直线BC的解析式为y=kx+b(kw0).将B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b,得8k+b=0,b=4,一，1，直线BC的解析式为y=2x+4.设点M的坐标为g1m2+3m4,则点N的坐标为m,-41422MNk134m2+ 2m 4-14m2+2m.又 MN= 3,14m2+ 2m = 3.、.12-12当一4m+令 y=0,则x -2x+3=0,e0,即0w裙8时，4m+23,斛佝m=2，m2=6,此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).1。同理，当一4n2+2m8或mAAO叶SacolSaaod=-X2

6、X5-X2X1=4.22针对到炼22.(2018-眉山中考改编)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2，过点A作AC/x轴交抛物线于点C,/AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE,PO,当m为何值时，四边形AOP前面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x3).把A(0,3)代入y=a(x-1)(x3),得3=3a,解得a=1,，抛物线的解析式为y=x24x+3;(2

7、)由题意知P(m,m24m+3). OE平分/AOB,/AOB=90, ./AOE=45,AO既等腰直角三角形,AE=OA=3, E(3,3).易得OE的解析式为y=x.过点P作PG/y轴，交OE于点G,则G(m,m),P(G=(m24m3)=m2+5mH3.S四边形aope=Saaoe|-Sapoe1 1=-X3X3+-PCG-AE2 2=9+JX(-mi+5m3)X3当mF5时，四边形AOPE勺面积最大，最大值是75.28类型3二次函数与特殊三角形3一一，例3(2018枣庄中考改编)如图，已知二次函数y=ax2+2x+c(aW0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标

8、为(8,0),连接AB,AC.(1)求二次函数的表达式；(2)若点N在x轴上运动，当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案；(2)分别以A,C两点为圆心，AC长为半彳5画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标.【答案】解：(1),.二次函数y=ax2+3x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点C(8,0),c=4,64a + 12+c = 0,解得，1a=4，、c=4,13，一次函数的表达式为丫=-4*+2*+4；2 2)-.A(0,4),C(8,0),AC=42+82=4近以点

9、A为圆心，AC长为半彳5作圆，交x轴于点N,则AN=AC,故4NAC是以NC为底边的等腰三角形，此日N点坐标为(一8,0);以点C为圆心，AC长为半彳5作圆，交x轴于点N,则CN=CA,故4ACN是以NA为底边的等腰三角形，此日N点坐标为(84m,0)或(8+他,0);作AC的垂直平分线，交x轴于点N,则NA=NC,故4ANC是以AC为底边的等腰三角1o3.一形，此时点N为BC的中点.令y=4x2+2x+4=0，解得x1=8,x2=2，此时N点坐标为(3,0).综上所述，点N在x轴上运动，当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标为(8,0),(84小,0),(3,0)或(8+4

10、75,0).针对到炼33 .(2018兰州中考)如图，抛物线y=ax2+bx4经过A(-3,0),B(5,4)两点，与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.(2)求抛物线的表达式；求证：AB平分/CAQM,使得 ABM是以AB为直角边 的直角三角形？若抛物线的对称轴上是否存在点存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.(1)解：将A(3,0),B(5,4)代入y=ax2+bx4,得解得1 a=6抛物线的表达式为y=6x2-5x-49a-3b-4=0,125a+5b4=4,(2)证明：.AO=3,OC=4,AC=5.取D(2,0),则AD=AC=5.由两点间的距离公式可知BD=M(52)2+(4

11、0)2=5.C(0,4),B(5,-4),.BC=5.AD=AC=BD=BC.，四边形ACB比菱形，./CAB=/BAD,，AB平分/CAQrifI解：如图，抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与我F,过点A,B分别作MAAB,MBLAB,交对称轴于点M,M.抛物线的对称轴为x=|,11AE=.51.A(3,0),B(5,4),.tan/EAB=5./MAB=90,.tan/MAE=2.ME=2AE=11,.M弓，11；同理，tan/MBE2.5又BF=2,FM=5,综上所述，抛物线的对称轴上存在点M，11)或!，9：使得4ABM是以AB为直角边的直角三角形.二次函数与四边形例4(2018河南中

12、考改编)如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C,直线y=x5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M,当AM!BC时，过抛物线上一动点P(不与点B,C重合，作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形求点P的横坐标；【解析】(1)利用直线BC的解析式确定点B,C的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先利用抛物线的解析式求出A点坐标，再判断OCB为等腰直角三角形，继而得到/OBC=/OCB=45,则AMB为等腰直角三,角形，进而求出点M的坐标，根据抛物线和直线BC的解析式设点P,Q的坐标，

13、根据平行四边形的角线互相平分，即可列出等式方程，解方程即可得到点P的横坐标.【答案】解：(1)当x=0时,y=5，则C(0,5).当y=0时,y=x-5=0，解得x=5，则B(5,0).把B(5,0),C(0,5)代入y=ax2+6x+c,得25a+30+c=0,.a=-1,解得c=5,c=5,，抛物线的解析式为y=x2+6x5;(2)令y=x2+6x5=0，解得X1=1,X2=5,2 A(1,0).3 B(5,0),C(0,5),/BAC=90,.OCB为等腰直角三角形,./OBC=/OCB=.又AM/LBC,AM昉等腰直角三角形，.A隹22AB=22X4=22.以点A,M,P,Q为顶点的四

14、边形是平行四边形，AM/PQ,.1.PQ=AM=2业PQBC.作PDLx轴交直线BC于点D,则/PDQ=45,PD=2PQ=2X22=4.2设P(m,m+6m5),则D(m,m5).当点P在直线BC上方时，PD=m2+6m-5(m5)=n2+5m=4,解得m=1(舍去),m2=4;当点P在直线BC下方时，PD=m5(n2+6m-5)=my5m=4,解得俏=2,m45412综上所述，点P的横坐标为4,IM4.(2018济宁中考改编)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(aW0)经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,3).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存

15、在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)把A(3,0),B(1,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,得Pa+3b+c=0,匕=1,iab+c=0,解得b=-2,=-3,c,=3,该抛物线的解析式为y=x2-2x-3;(2)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形.设直线BC的解析式为y=kx3,把B(1,0)代入，得一k3=0,即k=-3,直线BC的解析式为y=-3x-3.设Q(x,0),P(m,m2-2m-3).当四边形BCQ斯平行四边形时，BC/PQ,且BC=PQ.由B(1,0),C(0,3)，得点P的纵坐标为3

16、,即ml-2m-3=3,解得m=1土干，此时P(1+姬,3)或P(1,3);当四边形BCP平行四边形或四边形是以BC为对角线的平行四边形时，点P的纵坐标为一3,即m2-2m-3=3,解得m=0或m=2,此时P(2,-3).综上所述，存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为(1+77,3)或(1巾,3),(2,-3).类型5二次函数与相似三角形例5(2018德州中考改编)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x1与抛物线y=x2+bx+c交于A,B两点，其中A(m,0),B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.(1)求m,n的值及该抛物线的解析式；(2)连接BD

17、,CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)把点A,B的坐标代入y=x-1求出m与n的值，确定点A,B的坐标，然后代入y=x2+bx+c求出b与c的值即可；(2)由点C,D的坐标易得直线BC的解析式为y=x5，再由直线AB的解析式易得AB/CD,因此/ADC=/BAD.分类讨论：当DAQABD或DQAPABD时，根据对应边成比例求出DQ的长，即可求出点Q的坐标.【答案】解：把点A(m,0),B(4,n)代入y=x1，得m=1,n=3,.A(1,0),B(4,3).y=x5.( 2018 深圳中考改编

18、)已知顶点为A的抛物线y =+bx+c经过A,B两点,-1+b+c=0,丘/口b=6,.解得-16+4b+c=3,c=-5,，该抛物线的解析式为y=x2+6x5;(2)在线段CD上存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似.由(1)中结果可知C(0,-5),D(5,0),直线CD的解析式为y=x5.又直线AB的解析式为y=x1,.AB/CD,/BAD=/ADC.设Q(x,x-5)(0xAPOE=OE.|t|当t=一萩时,SOPE=5X1x正=玄;1521515当t=一马时,SOPE=-X1X-=-.3233综上所述,APO前面积为J或1.153毕节中考专题过关1.(2018-自贡中考

19、改编)如图，抛物线y=ax2+bx3过A(1,0),B(3,0)两点，直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为一2,点P(m,n)是线段AD上的动点.(1)求直线AD及抛物线的解析式;(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长?解：(1)把(1,0),(3,0)代入y=ax2+bx3,得a + b 3=0, 9a-3b- 3=0,解得a= 1,|b=2,，抛物线的解析式为y=x2+2x-3.当x=2时,y=(2)2+2X(2)3=3,即D(2,-3).设直线AD的解析式为y=kx+b将A(1,0),D(-2,3)代入，得k+b，=0,l-2

20、k+b/ =- 3,解得:k=1,b =- 1,直线AD的解析式为y=x1；(2)由可得P(m,m1),Q(m,m2+2m-3),1.l=(m1)(m2+2m3),即l=m22(2me1),129配方，得i=1+2J+4,，1.一，当m=2时,PQ最长.2.(2018荷泽中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx5交y轴于点A,交x轴于点B(5,0)和点C(1,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和ABP的最大面积.解：(1).抛物线y=ax2+bx5交y轴于点A,交x轴于点B(

21、5,0)和点C(1,0),a= 1b= 425a5b5=0,解得*a+b5=0,，该抛物线的解析式为y=x2+4x5;(2)设点P的坐标为(p,p2+4p5),如图.由点A(0, 5),B( 5,0)得直线AB的解析式为y = -x-5. 当 x= p 时,y = p 5.OB= 5,(一 p 5) ( p2+4p 5), S ABP=2. 5_5 J2 25=-如+2厂工点P是直线AB下方的抛物线上一动点， 5V p v 0,5 . 一一 .当p=2时,s取得最大值，,125 一 一 535此时s= -,点p的坐标是2， 4 ,即当点p的坐标为35了 !日，ABP的面积最大，此时 ABP的面

22、积是12583.( 2018 泰安中考改编)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点 A( 4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点 E(0,2),连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形？若存在，请求出所有P点坐标；若不存在，请说明理由.解：(1).二次函数y=ax2+bx+c经过点A(4,0),B(2,0),C(0,6),/3,0).过点A作直线AC/x轴，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线，垂足为点D.连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与AOCf似，求出对应点P的坐标.解：把点A(小，一3),B(343,0)代入y=ax2+bx,得解得b一芋；3a+*b=-3,27a+3mb=0,，抛物线的解析式为y=；x22x；(2)设P点坐标为x,1x2-323x.若点P住直线AD方，