全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用21函数及其表示课件理

1、第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示【知识梳理】【知识梳理】1.1.函数与映射的概念函数与映射的概念函数函数映射映射两集合两集合A,BA,BA,BA,B是两个是两个_A,BA,B是两个是两个_非空数集非空数集非空集合非空集合函数函数映射映射对应关系对应关系f:ABf:AB按照某种确定的对按照某种确定的对应关系应关系f,f,对于集合对于集合A A中的中的_一个数一个数x,x,在集合在集合B B中都有中都有_的数的数f(x)f(x)和它对应和它对应按照某一个确定的对按照某一个确定的对应关系应关系f,f,对于集合对于集合A A中的中的_一个元素一个元素x,x,在集合在集合B B中都有中都有_的

2、元素的元素y y与之与之对应对应任意任意唯一确定唯一确定任意任意唯唯一确定一确定函数函数映射映射名称名称那么就称那么就称f:ABf:AB为从为从集合集合A A到集合到集合B B的一个的一个函数函数那么就称对应那么就称对应f:ABf:AB为为从集合从集合A A到集合到集合B B的一个的一个映射映射记法记法y=f(x),xAy=f(x),xA对应对应f:ABf:AB是一个映射是一个映射2.2.函数的三要素函数的三要素函数由函数由_、_和和_三个要素构成三个要素构成, ,对对函数函数y=f(x),xA,y=f(x),xA,其中其中定义域定义域: :自变量自变量x x的取值范围的取值范围; ;值域值域

3、: :函数值的集合函数值的集合_._.定义域定义域对应法则对应法则值域值域f(x)|xAf(x)|xA3.3.函数的表示法函数的表示法表示函数的常用方法有表示函数的常用方法有:_:_、_、_._.4.4.分段函数分段函数若函数在定义域的不同子集上若函数在定义域的不同子集上, ,因因_不同而分不同而分别用几个不同的式子来表示别用几个不同的式子来表示, ,这种函数称为分段函数这种函数称为分段函数. . 解析法解析法列表法列表法图象法图象法对应关系对应关系【特别提醒】【特别提醒】1.1.判断函数相同的依据判断函数相同的依据(1)(1)两个函数的定义域相同两个函数的定义域相同. .(2)(2)对应关系

4、相同对应关系相同. .2.2.分段函数的相关结论分段函数的相关结论(1)(1)分段函数虽由几个部分组成分段函数虽由几个部分组成, ,但它表示的是一个函但它表示的是一个函数数. .(2)(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, ,值域等于各段函数的值域的并集值域等于各段函数的值域的并集. .3.3.判断函数图象的常用结论判断函数图象的常用结论与与x x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1 1个交点个交点. .【小题快练】【小题快练】链接教材链接教材 练一练练一练1.(1.(必修必修1P171P17例例1(1)1

5、(1)改编改编) )函数函数f(x)=f(x)=的定义域为的定义域为( )( )A.A.0,2) B.(2,+)0,2) B.(2,+)C.C.0,2)(2,+) D.(-,2)(2,+)0,2)(2,+) D.(-,2)(2,+)x121x 2 【解析】【解析】选选C.C.由题意得由题意得 解得解得x0 x0且且x2.x2.x21 0,x 2 0, 2.(2.(必修必修1P23T21P23T2改编改编) )如图是张大爷晨练时离家距离如图是张大爷晨练时离家距离(y)(y)与行走时间与行走时间(x)(x)之间的函数关系的图象之间的函数关系的图象. .若用黑点表示若用黑点表示张大爷家的位置张大爷家

6、的位置, ,则张大爷散步行走的路线可能是则张大爷散步行走的路线可能是( () )【解析】【解析】选选D.D.由由y y与与x x的关系知的关系知, ,在中间时间段在中间时间段y y值不变值不变, ,只有只有D D符合题意符合题意. .感悟考题感悟考题 试一试试一试3.(20153.(2015陕西高考陕西高考) )设设f(x)= f(x)= 则则f(f(-2)f(f(-2)=( )=( )【解析】【解析】选选C.f(x)= C.f(x)= 则则f(f(-2)=f(2f(f(-2)=f(2-2-2) )x1x,x 0,2 ,x 0,113A. 1 B. C. D.422x1x,x 0,2 ,x 0

7、,1111f( ) 114422 4.(20164.(2016昆明模拟昆明模拟) )函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是0,30,3，则函数则函数 的定义域是的定义域是_._.【解析】【解析】由题意可得由题意可得 解得解得答案：答案：f 2x 1ylg(2 x)0 2x 1 3,2 x 0,2 x 1, 1x 1 1 x 2.2 或1 ,1)(1,2)25.(20155.(2015全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3-2x-2x的图象过点的图象过点(-1,4),(-1,4),则则a=a=. .【解析】【解析】由由f(-1)=-a+2=4f(-1)=-a+2=

8、4a=-2.a=-2.答案答案: :-2-2考向一考向一求函数的定义域求函数的定义域【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015湖北高考湖北高考) )函数函数f(x)=f(x)= 的定义域为的定义域为( )( )A A(2,3) B(2,3) B(2,4(2,4C C(2,3)(3,4(2,3)(3,4 D D(-1,3)(3,6(-1,3)(3,64 |x|2x5x 6lgx 3(2)(2)若函数若函数f(xf(x2 2-1)-1)的定义域为的定义域为0,3,0,3,则函数则函数f(x)f(x)的定的定义域为义域为. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据根式、分式的意义及对数函

9、数的根据根式、分式的意义及对数函数的性质构建不等关系求解性质构建不等关系求解. .(2)(2)根据复合函数的定义域求法求解根据复合函数的定义域求法求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.由函数由函数y=f(x)y=f(x)的表达式可知，函的表达式可知，函数的定义域应满足条件：数的定义域应满足条件：4-|x|0, 4-|x|0, 解得解得-4x4,x-4x4,x3 3或或2 2x x3 3，即函数，即函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(2,3)(3,4(2,3)(3,4. .(2)(2)因为因为0 x3,0 x3,所以所以-1x-1x2 2-18,-18,所以所以f(x)

10、f(x)的定义域的定义域为为-1,8-1,8. .答案：答案：-1,8-1,82x5x 60 x 3，【规律方法】【规律方法】函数定义域的求解策略函数定义域的求解策略(1)(1)已知函数解析式已知函数解析式: :构造使解析式有意义的不等式构造使解析式有意义的不等式( (组组) )求解求解. .(2)(2)实际问题实际问题: :由实际意义及使解析式有意义构成的不由实际意义及使解析式有意义构成的不等式等式( (组组) )求解求解. .(3)(3)抽象函数抽象函数: :若已知函数若已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为a,b,a,b,其复合函数其复合函数f(g(x)f(g(x)的定义域由不等式

11、的定义域由不等式ag(x)bag(x)b求出求出; ;若已知函数若已知函数f(g(x)f(g(x)的定义域为的定义域为a,b,a,b,则则f(x)f(x)的定义的定义域为域为g(x)g(x)在在xa,bxa,b时的值域时的值域. .易错提醒易错提醒:1.:1.不要对解析式进行化简变形不要对解析式进行化简变形, ,以免定义域以免定义域发生变化发生变化. .2.2.定义域是一个集合定义域是一个集合, ,要用集合或区间表示要用集合或区间表示, ,若用区间若用区间表示表示, ,不能用不能用“或或”连接连接, ,而应该用并集符号而应该用并集符号“”连连接接. .【变式训练】【变式训练】1.(20161.

12、(2016长沙模拟长沙模拟) )函数函数的定义域为的定义域为( )( )A.x|x0 B.x|x1A.x|x0 B.x|x1C.x|x1C.x|x1或或x0 D.x|0 x1x0 D.x|00(x-1)0，得，得0 x-110 x-11，所以所以1x21x01-x0，解得，解得x1x01+x0，解得，解得x-1x-1，所以，所以N=(-1N=(-1，+)+)，所以所以MN=(-1,1)MN=(-1,1)，A A，B B错；错； = =1 1，+)+)，C C正确；正确； =(-=(-，-1-1，D D错错. .RMRN3.3.函数函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为_._.【解析】

13、【解析】要使函数要使函数f(x)f(x)有意义，必须使有意义，必须使 解得解得所以函数所以函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为答案：答案：2x 2xlg(xx)2x 2x0,xx 0,xx 1, 1x.21x|x.21x|x2考向二考向二求函数的解析式求函数的解析式【典例【典例2 2】(1)(1)已知已知 则则f(x)=_.f(x)=_.(2)(2)函数函数f(x)f(x)满足方程满足方程2f(x)+ =2x2f(x)+ =2x，xRxR且且x0.x0.则则f(x)=_.f(x)=_.【解题导引】【解题导引】(1)(1)利用换元法，即设利用换元法，即设 求解求解. .(2)(2)利用解方程

14、组法，将利用解方程组法，将x x换成换成 求解求解. .f( x 1)x 2 x ，1f( )xtx 11x【规范解答】【规范解答】(1)(1)设设t= +1,t= +1,则则x=(t-1)x=(t-1)2 2(t1),(t1),代入原式有代入原式有f(t)=(t-1)f(t)=(t-1)2 2+2(t-1)=t+2(t-1)=t2 2-2t+1+2t-2=t-2t+1+2t-2=t2 2-1.-1.故故f(x)=xf(x)=x2 2-1(x1).-1(x1).答案答案: :x x2 2-1(x1)-1(x1)x【一题多解】【一题多解】因为因为所以所以即即f(x)=xf(x)=x2 2-1(x

15、1).-1(x1).答案：答案：x x2 2-1(x1)-1(x1)22x 2 x( x)2 x 1 1 ( x 1)1 ，2f( x 1) ( x 1)1( x 1 1) ，(2)(2)因为因为2f(x)+ =2x2f(x)+ =2x，将将x x换成换成 ，则，则 换成换成x x，得得 +f(x)= +f(x)= 由由消去消去得得3f(x)=3f(x)=所以所以f(x)= (xRf(x)= (xR且且x0).x0).答案：答案： (xR(xR且且x0)x0)1f( )x1x1x12f( )x2.x1f( )x，24x.x42x33x42x33x【母题变式】【母题变式】1.1.若本例题若本例题

16、(2)(2)条件变为条件变为2f(x)+f(-x)=2x,2f(x)+f(-x)=2x,求求f(x).f(x).【解析】【解析】因为因为2f(x)+f(-x)=2x,2f(x)+f(-x)=2x,将将x x换成换成-x-x得得2f(-x)+f(x)=-2x,2f(-x)+f(x)=-2x,由由消去消去f(-x),f(-x),得得3f(x)=6x,3f(x)=6x,所以所以f(x)=2x.f(x)=2x.2.2.若本例题若本例题(2)(2)条件变为条件变为f(x)f(x)是一次函数是一次函数, ,且且2f(x)+f(x+1)=2x,2f(x)+f(x+1)=2x,求求f(x).f(x).【解析】

17、【解析】因为因为f(x)f(x)是一次函数是一次函数, ,所以设所以设f(x)=kx+b(k0),f(x)=kx+b(k0),由由2f(x)+f(x+1)=2x2f(x)+f(x+1)=2x得得, ,2(kx+b)+k(x+1)+b=2x,2(kx+b)+k(x+1)+b=2x,即即3kx+k+3b=2x,3kx+k+3b=2x,因此因此 解得解得所以所以f(x)=f(x)=3k2,k 3b 0,2k,32b.922x.39【易错警示】【易错警示】解答本例题解答本例题(1)(1)会出现以下错误会出现以下错误: :题目利用换元法求解析式题目利用换元法求解析式, ,易忽视换元后易忽视换元后t t的

18、取值范围的取值范围, ,从而造成求出的函数定义域扩大而致误从而造成求出的函数定义域扩大而致误. .【规律方法】【规律方法】求函数解析式常用的四种方法求函数解析式常用的四种方法(1)(1)配凑法配凑法: :由已知条件由已知条件f(g(x)=F(x),f(g(x)=F(x),可将可将F(x)F(x)改写成改写成关于关于g(x)g(x)的解析式的解析式, ,然后以然后以x x替代替代g(x),g(x),便得便得f(x)f(x)的解析的解析式式. .(2)(2)待定系数法待定系数法: :若已知函数的类型若已知函数的类型( (如一次函数、二次如一次函数、二次函数函数) )可用待定系数法可用待定系数法.

19、.(3)(3)换元法换元法: :已知复合函数已知复合函数f(g(x)f(g(x)的解析式的解析式, ,可用换元可用换元法法, ,此时要注意新元的取值范围此时要注意新元的取值范围. .(4)(4)解方程组法解方程组法: :已知关于已知关于f(x)f(x)与与 或或f(-x)f(-x)的解析式的解析式, ,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组, ,通通过解方程组求出过解方程组求出f(x).f(x).1f( )x【变式训练】【变式训练】已知已知 =lg x=lg x，则，则f(x)=_.f(x)=_.【解析】【解析】令令 得得代入得代入得f(t)=

20、f(t)=又因为又因为x0 x0，所以，所以t1t1，故故f(x)f(x)的解析式是的解析式是f(x)=f(x)=答案：答案：2f(1)x21 tx 2xt 1，2lgt 1，2lgx 1 .x 12lg(x 1)x 1【加固训练】【加固训练】1.1.已知已知 则则f(x)=_.f(x)=_.【解析】【解析】因为因为且且 22或或 -2-2，所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-2(x2-2(x2或或x-2).x-2).答案：答案：x x2 2-2(x2-2(x2或或x-2)x-2)2211f(x)xxx，222111f(x) x(x)2xxx ，1xx1xx2.2.已知函数已知函数f(x)

21、f(x)的定义域为的定义域为(0(0，+)+)，且，且f(x)=f(x)= 则则f(x)=_.f(x)=_.【解析】【解析】在在f(x)= f(x)= 中，用中，用 代替代替x x，得得 将将 代入代入f(x)=f(x)= 中，可求得中，可求得f(x)=f(x)=答案：答案：12f( )x 1x ，12f( ) x 1x1x 11f( )2f x1xx ， 2f x1f( )1xx12f( ) x 1x21x.3321x33考向三考向三分段函数的应用分段函数的应用 【考情快递】【考情快递】 命题方向命题方向命题视角命题视角分段函数的求值问题分段函数的求值问题主要考查根据解析式求值或已主要考查根

22、据解析式求值或已知函数值求参数知函数值求参数, ,属容易题属容易题分段函数的方程、不分段函数的方程、不等式问题等式问题以分段函数为载体以分段函数为载体, ,利用函数利用函数的图象和性质考查函数零点、的图象和性质考查函数零点、不等式问题不等式问题【考题例析】【考题例析】命题方向命题方向1 1：分段函数的求值问题：分段函数的求值问题【典例【典例3 3】(2015(2015全国卷全国卷)设函数设函数f(x)=f(x)= f(-2)+f(log f(-2)+f(log2 212)=( )12)=( )A.3 B.6 C.9 D.12A.3 B.6 C.9 D.12( (本题源自本题源自A A版必修版必

23、修1P45B1P45B组组T4)T4)2x 11 log (2 x),x 1,2 ,x 1,【解题导引】【解题导引】直接代入相应解析式求解即可直接代入相应解析式求解即可. .【规范解答】【规范解答】选选C.C.由已知得由已知得f(-2)=1+logf(-2)=1+log2 24=34=3，又又loglog2 2121121，所以，所以f(logf(log2 212)=12)=故故f(-2)+f(logf(-2)+f(log2 212)=9.12)=9.22log 12 1log 6226 ，命题方向命题方向2 2：分段函数的方程、不等式问题：分段函数的方程、不等式问题【典例【典例4 4】(20

24、16(2016保定模拟保定模拟) )设函数设函数f(x)=f(x)= 若若f(-2)=f(0),f(-1)=-3f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则方程，则方程f(x)=xf(x)=x的解集为的解集为_._.2xbx c x 0 ,2 x 0 ,【解题导引】【解题导引】由条件由条件f(-2)=f(0)f(-2)=f(0)及及f(-1)=-3f(-1)=-3求出求出f(x)f(x)的解析式的解析式, ,但在解方程但在解方程f(x)=xf(x)=x时应分时应分x0 x0和和x0 x0两种情两种情况讨论况讨论. .【规范解答】【规范解答】当当x0 x0时，时，f(x)=xf(x)=x2 2+b

25、x+c+bx+c，因为因为f(-2)=f(0),f(-1)=-3,f(-2)=f(0),f(-1)=-3,所以所以 解得解得故故f(x)=f(x)=当当x0 x0时，由时，由f(x)=x,f(x)=x,得得x x2 2+2x-2=x,+2x-2=x,解得解得x=-2x=-2或或x=1(10 x=1(10，舍去，舍去).).22( 2)2b c c,( 1)b c3, b 2,c2,2x2x 2(x 0),2(x 0).当当x0 x0时，由时，由f(x)=x,f(x)=x,得得x=2.x=2.所以方程所以方程f(x)=xf(x)=x的解集为的解集为-2,2.-2,2.答案：答案：-2-2，22【

26、技法感悟】【技法感悟】1.1.分段函数的求值问题的解题思路分段函数的求值问题的解题思路(1)(1)求函数值求函数值: :先确定要求值的自变量属于哪一段区间先确定要求值的自变量属于哪一段区间, ,然后代入该段的解析式求值然后代入该段的解析式求值, ,当出现当出现f(f(a)f(f(a)的形式时的形式时, ,应从内到外依次求值应从内到外依次求值. .(2)(2)求自变量的值求自变量的值: :先假设所求的值在分段函数定义区先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上间的各段上, ,然后求出相应自变量的值然后求出相应自变量的值, ,切记要代入检切记要代入检验验. .2.2.分段函数的方程、不等式问题的求解思路分段函数的方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解依据不同范围的不同段分类讨论求解, ,最后将讨论结果最后将讨论结果并起来并起来. .【题组通关】【题组通关】1.(20151.(2015山东高考山东高考) )设函数设函数f(x)=f(x)=若若 则则b=( )b=( )x3x b,x 1,2 ,x 1.5f(f( )46 ，731A.1 B. C. D.842【解析】【解析】选选D.D.当当 即即 时，时， 得得当当 即即 时，时， 解得解得 舍去舍去. .故故注注: :本题也可以将本题也可以将 逐一