纳米电子学第三章

1、第3章纳米电子器件输运理论3.1引言 电子器件的性能决定于其中电子的输运特性，而电子输运特性与材料的能带结构密切相关。在一个特定的能带结构中，载流子运动可能包括多种复杂的物理过程。为了计算器件的IV特性，需要建立器件的输运模型。模型应当包括两个方面信息。 (1)特定器件材料的能带结构与参数 能带结构决定于组成器件的特定材料以及特定的材料界面和结构。例如，在异质界面处，能带会产生偏移和变化(如弯曲)。载流子的输运模型需要尽量精确的载流子有效质量等由能带结构所决定的材料参数。(2)适当形式的输运理论该理论必须能够模拟器件的主要输运过程。在模型中总是要进行简化、近似和数值离散化，但是，这些处理不能违

2、反基本的物理规律和量子力学原理。可是，在实际上，有些简化和近似常常危及某一原理。 按照第一性原理的观点，纳米器件一般来说是一个开放量子系统，在其中电子起码可以在某一维方向运动。而且是与时间相关的。同时，输运具有时间不可逆性和耗散性。输运过程中还存在多体作用。器件与周围的环境既存在粒子交换也存在能量交换。所以电子器件作为一个物理系统与简单的孤立量子系统有很大的区别，后者可以具有守恒的哈密顿量，对薛定谔方程加上适当的边界条件，相对较容易求解。而适用于这种开放器件系统的易子计算的通用多体形式的量子理论尚没有建立起来。对于特定器件的某些性质的计算可以不用通用的多体理论。实际应用中广泛采用各种近似和简化

3、的模型口针对主要输运过程的模型，可以使计算简化。最近，共振隧穿器件（Resonant Tunneing Device，RTD）模拟工作已取得明显进展，模拟结果在估计RTD的量子效应方面和应用于器件设计方面均获得丰硕的成果二。(2)适当形式的输运理论该理论必须能够模拟器件的主要输运过程。在模型中总是要进行简化、近似和数值离散化，但是，这些处理不能违反基本的物理规律和量子力学原理。可是，在实际上，有些简化和近似常常危及某一原理。 按照第一性原理的观点，纳米器件一般来说是一个开放量子系统，在其中电子起码可以在某一维方向运动。而且是与时间相关的。同时，输运具有时间不可逆性和耗散性。输运过程中还存在多体

4、作用。器件与周围的环境既存在粒子交换也存在能量交换。所以电子器件作为一个物理系统与简单的孤立量子系统有很大的区别，后者可以具有守恒的哈密顿量，对薛定谔方程加上适当的边界条件，相对较容易求解。而适用于这种开放器件系统的易子计算的通用多体形式的量子理论尚没有建立起来。对于特定器件的某些性质的计算可以不用通用的多体理论。实际应用中广泛采用各种近似和简化的模型口针对主要输运过程的模型，可以使计算简化。最近，共振隧穿器件（Resonant Tunneing Device，RTD）模拟工作已取得明显进展，模拟结果在估计RTD的量子效应方面和应用于器件设计方面均获得丰硕的成果。关于纳米结构中电子输运问题描述

5、方法的一般论述可以参考2.3.1节。 量子器件的全面模拟问题需要用高级的量子输运理论，可能包括相当复杂的多带有效质量理论的形式，它应该是建立在密度矩阵基础上的量子统计理论。本书仅在量子输运的简化概念性框架下，给出各种简单纳米结构量子输运描述方法。这样的理论框架可以解释大多数纳米结构巾的介观输运现象。如共振隧穿，单电子现象。但是，这些现象的一些细微特征，如，普适电导涨落电导峰幅值和间距则需要更高级的动力学理沦，如非平衡格林函数方法予以计算。 人们已发展了各种不同层次的量子器件输运模型并已取得一定的成功。建立精确的量子器件模型源于一个基本的动机探索介观输运规律并对器件优化设计提供指导。这一点对于构

6、思新型器件和促使实用器件的发展是必不可少的。另外，与纳米制造技术相比，量子输运的理论模拟相对滞后二量子器件的模拟尚没有达到像传统的MOS场效应管和双极晶体管那样的模拟能力。在这个意义上，在推进纳米电子学进步的时候，量子器件模型可以作为输运理论模拟能力的检验媒介。另一方面，纳米器件的量于输运问题，由于器件具有复杂的材料和结构，其模拟对计算机模拟工具依赖性很强。所以在研究理论模型的同时，还需要加强计算机模型和数值求解方法以及相应软件的研究。3.2隧穿理论3. 2. 1隧穿的波函数描述方法 在本节中将对像共振隧穿器件(RTD)这样平面型势垒结构的隧穿现象给出一种基本的分析方法，并在单电于近似方法的基

7、础上建立隧穿模型。前面已提到，像RTD这样的纳米结构的输运与通过结构的量子力学概率流有密切关系。在波动力学中，概率密度定义为,r tr tr t 式中， 是与时间相关的薛定谔方程的解。从薛定谔方程出发可以得到概率密度的连续性方程, r t,-,2er tr tr tr tr ttm i 概率流密度，或者“流”可以写做,2eJr tr tr tr tm i 在研究像RTD这样的器件时，粒于射向势垒，可以用人射流与反射流的比率及人射流与透射流的比率来定义反射和透射系数下面将对各种态引人统计力学的分布函数，给出通过结构的流计算公式，并将在3. 3节中对本节的方法做进一步推广。本节将讨论平面型势垒的透

8、射和反射系数的定义和计算方法。1.单矩形对称势垒先考虑一个简单例子，包含一个宽度为W=2a的，嵌人GaAs中的一层AlxGa1-xAs ，平面型势垒结构，如图3. 1所示。为了简化间题，考虑在GaAs导带中仅有一个电子，从左边射向势垒口只要人射电子的能量低于两种材料能带的X点，就可以简单地认为势垒高V0就是两种材料相连接处厂点导带的偏差Ec。只要能带的非抛物线效应可以忽略，就可以采用单一能带有效质量模型系统的波函数，且可以分为相对于势垒的平行部分和垂直部分。所需要求解的包络函数方程为 2221,z,z22reffVzrErz mzzm 实际器件中如果忽略空间电荷效应，有效势垒就可以简单认为是由

9、于导带的偏离 所引起的，并且可以用图3.1的矩形势垒近似。对于图3. 1所示结构.在每个区域可以写出分片连续的解cE -,ikzikzzzikzikzAeBezazCeDeazaGeFeza 式中22,m VEm Ek系数A,B分别为势垒左边的人射波和反射波的波幅。同样，系数G,F分别为右边的出射波和人射波波幅。当能量低于势垒顶部，势垒内部的解是指数增加和指数衰减的，后者与一个逐渐消失的态相联系口当能量高于势垒顶部，势垒内部的解是复指数的。由波函数的标准条件，可得到121211aaaazzmm式中包括了势垒两边的有效质量，如果进一步假设两边材料的有效质量相等，在x=-a处，应用边界条件，可以得

10、到-=ikaikaaaikaikaaaAeBeCeDeik AeBeCeDe解出系数之间的关系2222ikaikaikaikaikikeeACikikBDikikeeikik 在=a处，可以得到aaikaikaaaikaikaCeDeGeFeCeDeik GeFe类似的，可以写成如下矩阵方程2222ikaikaikaikaikikeeCGDFikikee代人式（ 3.9 ）中可得11122122MMAGMMBF 式中22112222221222222cosh 2sinh 222222+sinh 22ikaikaikaaaikikikikMeeikikikaaekikikikikMeeikiki

11、kak 11212212MMMM， 按照以上的假定，透射和反射系数由流的比率定义。仅研究系统从一边激励的情况:也就是假设在势垒的右边仅有出射波，没有人射波，即假设式(3. 12)中，F=0。势垒左边的人射波幅为A，射向势垒的概率流由式(3. 3)给出22inckJAAm式中,v是粒子的群速度。对于对称势垒的问题，入射波与幅值G相关的出射(或者称透射)波具有相同的群速度22trankJGGm透射系数定义为透射与人射流密度的比率 222111tranincGJT EJAM因为在式(3.12)中，设F=0，所以A=M11G。在方程(3 .6b)式中，能量E与k和y有关，由(3.13)式可以得到 12

12、22222222cosh2sinh2211sinh22kT Eaakkak 下面分析两个极限情况下的透射系数。如果2ya1，在sinh函数中正指数函数是主要的，得到 240224exp22akT EeWm VEk该式给出通常引用的隧穿关系，例如，通过一个薄氧化层势垒，隧穿概率随着势垒的宽度增加指数减少，随势垒高度平方根增加也是指数减少。 反射系数用反射与人射流密度的比定义 2222222121222112sinh221sinh22kaBMkR EMT EAMkak显然，透射和反射系数的和为1，即，R+T=1以上讨论的情况是假设粒子的能量小于势垒高度V0。对于能量大于势垒高度，上面的讨论一样成立

13、，只不过y是复数。令y=-ik，相应的透射系数为振荡的，式(3. 19)成为0222211sin22T EVkkk akk图3. 2给出不同势垒高度透射参数随能量变化曲线。人射粒子能量低于势垒，随着粒子能量与势垒高度的差增加，透射概率呈指数衰减;人射粒子能量高于势垒，当能量E增大时，透射系数振荡趋于1，正如（3. 23)式所预测的。2，非对称单矩形势垒在讨论双势垒之前，先讨论如图3. 3所示的非对称单势垒。非对称势垒可以认为是在势垒的左边与右边之间加上了电压q-1V1(V1是静电能)的系统的一个粗略的近似(当然，加了电压以后，势垒高度V0将降低，为简单忽略掉这一效应)。波函数稍微复杂一些，为

14、11-,ikzikzzzik zik zAeBezazCeDeazaGeFeza 式中字母的意义与上一例相同.人射粒子能量为E，而112mEVk系数C、D、G和F之间的匹配条件稍微有所改变11111ik aik aaaik aik aaaCeDeGeFeCeDeikGeFe这里，同样假设势垒两边粒子有相同的有效质量。再一次构成连接矩阵，相应界面矩阵级联结果形成整个势垒的组合矩阵。与(3. 12)式相对应矩阵的矩阵元由下式给出1111111121121121222211cosh 2sinh 2222222ik ikaik ikai k k aa i k k aikikikikMeeikikkkk

15、iaaekkikikikikMeikik1122111sinh 21 cosh 222a i k k ai k k aekkkiaaekk 复共扼关系式(3. 5)仍然正确。矩阵的行列式不再是1，而是比值k1/k0像对称势垒一样，从左到右的透射和反射系数分别由人射流与透射流之比，人射流与反射流之比得到，比对称势垒稍微复杂一些是山于两个区域粒子的群速度不同 221rlk BTEk F 222111reflincJBMR EJAM 1221112222221112221411sinh2traninck kkkGJT EJAMkkakk 当k=k1时，该式可以化简为(3. 19)式。如果考虑在同样势

16、垒的情况下，相反方向的透射系数，设A=0并求从右到左的透射流与人射流的比率能够从(3. 12)式的两个方程令A=0解出B作为F的函数，得到 221112211222111111221122111lrrllrlrMMM MBMFFMRFMMk Bk MTET TEkk F式中，Rlr是从左边到右边的反射系数。(3 .32)式说明透射系数一个重要的对称特性，透射系数与人射波的入射方向无关。这一个倒易关系是时间反演对称性的普遍结果，反映了量子力学的微观可逆性。当考虑与上述微观量子力学流相关的电流时，系统本身是不可逆的。系统的宏观不可逆性不需要强加，只要考虑到系统与外电路的连接，当透射粒子被外电路吸收

17、以后，它将破坏系统人射粒子和反射粒子相位的关系，自然会出现宏观不可逆性(参见3. 3节)。3散射矩阵在( 3. 12)式中，已经推导出联系势垒左边和右边波函数系数之间的矩阵M。很明显这种表示方式并不是惟一的。也能够用势垒两边出射波系数B和G，与人射波系数f和F之间的关系定义不同的矩阵，而得到11122122SSBASSGF式中，S称为散射矩阵或S矩阵。透射和反射系数也可以令F=0，而用S矩阵表示出来2121211TSRS如果考虑来自右边而不是来自左边的人射波，令A=0，透射和反射系数为2212211BTSF它等于从左边到右边的透射系数。 很明显，S矩阵是势散射问题自然的表示，因为对角元与反射系

18、数直接相关，而非对角元与透射系数有关。可以证明.为了保证电流守恒，S矩阵必须是么正矩阵。设,bABaFGbSa 分别表势垒人射波幅列矩阵和出射波幅列矩阵，(3. 33)式可以写为电流守恒要求2222AFBS( 3. 37a)式表示成矩阵形式就是b ba a 式中，“+”表示hermit共轭。将(3.36)式代入(3. 37b)式，得到 +a aSaSaa S Sa 因此+=S S ISS 这就证明了S矩阵必须是么正的。由矩阵的么正性质可以得到21211211SS S（3.38b）式就是几率流守恒R+T=1关系。在势垒两边电子群速度不相等(如非对称势垒)情况下，要保持S的么止性，S矩阵的矩阵元应

19、该定义为nnmnmmSS其中的指标，n和m分别表示势垒的两边。Snm为原S矩阵的矩阵元，由(3. 39)式定义的新矩阵元S，组成的S矩阵就是么正的。这样定义的新矩阵一般表示成如下形式rtStr 式中的矩阵元r、t、r和t分别表示从左边到右边和从右边到左边的反射和透射幅。因此，有如下结果 和 。这样定义的S矩阵称为散射矩阵，为了与之相区别，前面引人的M矩阵称为传输矩阵。 对于像现在讨论的平面势垒的单通道问题，应用M矩阵或S矩阵没有明显的差别。可是，对于多通道问题，应用后者更为方便，我们将在3. 4节讨论量子波导问题时再回到这个问题上。2Tt2Rr 4.双矩形势垒 现在讨论曾在1.3.6节提到的，

20、在技术上有重要意义的双势垒结构的问题。如图I. 14所示的RTD结构，可以认为是由上一节讨论的两个单势垒组合而成的，两个势垒被一个量子阱分开。在1.3.fi节已经定性讨论了IVR产生是由于存在一个或多个与阱的准束缚态相联系的共振能级。这样的态并不像第2章讨论量子阱结构中的束缚态那样，它不是真正的束缚态，因为电了在其中有一定的隧穿出射的概率。现在推广前一节的讨论，并在讨论电流电压特性之前，先讨论双势垒的共振透射特性。图1. 14中所描述的RTb结构，没有加偏置的势垒具有对称性。可是，当器件偏置到共振区域(即，当一边的费米能级与阱的准束缚态能级准直)时，出现明显的对称性破坏，事实上，透射特性强烈地

21、依赖于RTb两边所加电压。下面先讨论理想的对称性情况，然后讨论加偏置的更一般的非对称性的情况，并计算作为能量函数的透射系数。 这里不直接研究整个系统的输人和输出在各个界面的匹配，而是将单势垒结构的结果应用于组合系统。首先需要认识到上节推导出来的单势垒透射矩阵与势垒在空间的位置无关。这个结论似乎是凭直觉得出的。假设在图3甲4所示的对称双势垒结构中，连接A、B与G、F， A、B与G、F的传输矩阵可以由单势垒的结果得到。因为这里的系数相当于一个系统中统一波函数在不同点的值。系数之间的差别只是简单的相位上的差别，对于向右传播的波有ikbAGe式中，b是图3. 4中阱的宽度，k是波在阱区域内的传播常数(

22、即波矢)。同样，对于向左传播的波有ikbBFe利用这两个关系可以定义一个传输矩阵Mw，它连接两个势垒的系数00ikbwikbGAeMFeB式中，Ml和MR分别是左、右势垒的传输矩阵口双势垒结构的透射系数也与组合矩阵元MT11，平方的倒数相联系。由（3.43）式，MT11;可简单写为1111111221ikbikbTLRLRMMMeMMe共振行为可以通过出现在表示式里的相因子确定。这些相因子在MT11最小时为零，它将给出透射系数的峰值行为。为了明显看到这一点，先讨论一个简单情形，即对称势垒的情形，以后将推广到更一般的非对称情况。5，完全对称矩形双势垒 对称双势垒的情形下，传播常数k在阱中及其左边

23、和右边区域有相同的值。进一步假设，两个势垒有相同的宽度（aL=aR=a）、同样的高度和同样的衰减常数y这样可以对出现在式(3. 4)中的矩阵ML和MR用对称单势垒的公式(3.12)一(3.15)式。为了使问题书写简化.单势垒的矩阵元y，可写为极坐标的形式1111iMm e其中，由(3. 13式的M11，可以得到22211cosh2tanh 22kmaak22arctantanh 222kakak 而相位为代人式(3. 45)并取平方(应用了M12=M21*)得到2442211112111212222221121112122cos 24cosTMmMmMkbmMmMkb 222211112122

24、211114cos4cos (kb)totTiiTEMmMkbTTR右边第一个括号是M矩阵的行列式，对于对称矩形势垒，如前所讨论的，它等于1。这样整个透射系数为式中，Ti和R1分别为单对称势垒的透射和反射系数，分别由(3. 19)式和(3. 22)式所定义。当 时，总透射系数最小，对应非共振情况，此时有kbn22min2144totiiiTTTTR其中最后一个结果是假设单势垒的透射系数远小于1(典型的实际情况)。这样情形下的非共振隧穿是两个独立势垒相继透射级联的结果，这就是因子4出现的原因。 当余弦函数为零的时候，产生共振。在对称势垒的情形，透射系数趋于1，即min1,21,0,1,2,.2t

25、otTkbnn6.非对称双势垒非对称双势垒的能带图由图3.6给出。虽然下面的分析是针对一般的结构，图（3.6）可以近似看做是给对称势垒左右两边区域加上偏置电压的结果。现在必须分别考虑组合势垒的左边和右边区域以及阱区的波矢，这些波矢分别表示为k，k1和K2。注意，因为两个势垒的高度和宽度不同.电子在两个势垒中衰减常数可不同，但是(3.45)式的结果仍然正确，因此，该式可以作为寻找解的基本方程。 现在能够应用前面推导出的非对称单势垒的传输矩阵元表达式，在(3. 27)式和(3.28)式的基础上。推导非对称双势垒的传输矩阵。还是引人极坐标，与透射系数相关的(3. 45)式中的矩阵元可以表示为2222

26、11112222111222222121111111 12222111111cosh2sinh244111cosh2sinh244111cosh2sinh24411cosh24LLLLLLRRRRRkkkmaakkkkkmaakkkk kmaakkkmak2212111 11sinh24Rk kak211111211211212111112121212121112211arctantanh 2arctantanh 2arctantanh 2arctantanh 2LLLLLLRRRRRRkkakkakkkkakkakkk kakkakkk kakkakk 相位为代人(3. 45)式得到组合传输

27、矩阵元平方2211111112212122111111111122114cos2TLRLRLRLRLRLRMmmmmmmmmk b组合结构的透射系数由( 3. 61)式代入(3. 30)式得到。(3. 61)式分解为11112222212211221111111111114cosLRLRLRTLRLRmmmmMm mmmmm式中，表示各种相位因子之和。应用( 3. 29)和(3. 30)式中的单势垒左边和右边的透射和反射系数表示出(3. 62)式中的矩阵元对应的透射系数，可以得到组合结构的透射系数 222211114cosLRTLRLRkT TT EkMR RR R式中 分别是左、右势垒的透射

28、和反射系数,LRLRT TRR和1111222LRLRLRTTTTR R总的透射系数是24LRresLRT TTTT虽然在推导(3.65)式时，假设T1,在TL、TR时，仍然能够正确得到Tres =1的渐近值。如果左边与右边势垒的透射系数明显不同，其结果是minminmaxmax4,resTTTTT式中， 分别为两个势垒透射系数TLTR中的最小值和最大值。这样在共振时的透射由两个单独的势垒透射系数的最小值与最大值的比率决定。在3,3节将看到的峰值电流与峰值透射系数成比例。人们所希望的双势垒结构及偏置条件是达到共振时，两个势垒的透射系数相等。这一点对于器件设计很重要。 当式(3.63)中的余弦函

29、数为1时，产生非共振最小透射。这时分母中右边的项是主要的，因为透射因子于TLTR均远远小于1时.它在1左右。非共振透射系数由下式给出minmax,TT2414LRLRoffLRLRT TT TTR RR R这一结果表明对于非共振条件下，阱不起主要作用;也就是说双势垒结构的行为就相当于两个独立的势垒。在阱区仅有波函数前后振荡的那些能量值，波函数幅值能够相干增大，使得透射增强口在非共振的情形，在经典禁止的势垒区，从人射区到透射区，波函数呈指数衰减，这与(3甲6)式给出的透射系数乘积相一致。一个共振能量对应于阱中的一个准束缚态，粒子被牢固地局限在阱区，因为束缚态解本身就局限在阱中。这种情形对应子在势

30、垒内部的解沿从左到右方向呈指数增长，这使得透射增大。3.2.2隧穿时间 隧穿过程耗费的时间是多长?这个看似简单的问题.却不容易回答.尽管有许多论文讨论这个问题，却没有一个明确的答案。这个何题涉及量子力学解释的核心问题。除了学术上的兴趣外，不管相干还是非相干隧穿过程。隧穿时间问题也与RTD器件以及其他平面势垒型器件最大极限速度有关。有兴趣的读者可以参考综述文章。 通过像RTD这种结构的隧穿时间与处于阱中局域态的电子的退化时间相关。接近共振，可以把出现在(3. 50)式和(3. 63)式分母中的余弦函数的平方项围绕某一个共振能级En展开口零阶和一阶项为零，所以对称势垒结构的最低阶透射系数，在接近共

31、振能级处有Lorentz形式 22244nnnT EEE式中 是能量为En。处共振峰半最高处的全宽度。由(3. 50)式给出n1/2221212nnE Tm b R 非对称双势垒的透射可以围绕共振能级E，作类似展开，为 2222224444nnresnnnnT ETEEEE ,LRLRnnnnn 式中 分别是左势垒和右势垒相应的共振峰“宽度Tres是(3. 65)式的共振隧穿系数。完全透射系数Lorentz线型的拟合在几个数量级内是精确的。透射系数具有Lorentz线型性质的某些证据是通过数值计算T(E)来证明的，见图3.5。 式(3. 68)和式(3.69)具有Breit-Wigner公式的

32、形式，该公式最早出现在核物理的共振态的退化问题表示关系式中，对于一个开放系统，薛定谔方程的解可以像一般量子力学教科书所讲的那样，用从局域散射中心的出射波来构造。按一般量子力学规定，仅用出射态表示解是不完全的，因为Hamilton量不是Hermit的。因此，能量本征值是复数， 复能量的实部对应于阱中准束缚态的能量，由共振条件(3.52)式给出的;而虚部对应于粒子出现在量子阱中的概率密度的退化, 。这样可以将共振峰宽度的倒数与电子从阱中逃逸的退化时间相联系，也就定性地与隧穿的固有延迟时间相联系。共振峰越尖锐.从阱中逃出的退化时间越长。2nnnEEi 2,ntz te 另一个与电子穿越势垒区域的时间

33、有更密切关系的定义是波包的退化时间，被称为相位时间(phase time)。如果最初有一个Causs波包位于势垒左边，透射波包增加一个附加的相位，该相位与复透射幅值的关系是1111111iazTTMmeT式中，丁是透射幅值，呱i;是(3甲5)式中组合传输矩阵元，。是J的相位。如果波包在动量空问是一个围绕波矢k、尖锐的函数，经过t时间以后波包的位置由下式给出 d0diik kkk tx txmk式中，是初始粒子的平均位置，并且作为渐进解展开波包峰的位置。第一项正好是与群速度相联系的半经典延迟，而第二项表示在隧穿区域多次反射相联系的延迟。对于非共振输运。第二项是比较小，所以与经典隧穿轨道相比仅有一

34、个小的延迟。对于共振情况，波包可以在量子阱中来回反射多次，从而产生相当大的延迟。例如，对于横向长度为L=2a+b的对称双势垒问题，(3.72)式中的相位时间为tddiiE ELEE式中. 是抛物型能带中电子的群速度口因此。接近共振，Lorentz形式仍保持，出现在(3.71)式和(3. 68)式中的复透射幅滇可以写成如下形式k m 22;arctan2nnnnnEEiEE 在E=En的共振条件下对(3. 73)式的相位求导数，相位时间简化为 22224nnnnnnnE ELLEEEE式中第二项是由于共振隧穿的附加延迟。显然，延迟不再像以前一样仅反比于共振峰的宽度。人们可以想像粒子通过势垒的传播

35、时间，就像粒子被陷阱的俘获过程一样，停留在阱中不能立即跑出来。以_L定义的相位时间与波包通过势垒运动的几个数值计算实例的结果相一致。对于图3.5所示的势垒结构模型，与最低共振态半峰高的全宽度相联系的相位时间为7.360ps。这些时间事实上大于室温下典型半导体材料特征散射时间。这些结果表明，实际的隧穿过程是不相干的。3.2.3隧穿电流 3. 2, 1节我们分析了几种不同类型一维势垒结构的透射和反射特性。虽然仅考虑了单势垒和双势垒问题，很明显由组合级联方法可以用该方法得到更复杂势垒结构的组合传输矩阵。在一个真实的RTD结构中，实际的势能包括电离的掺杂原子、自由载流子及所加势场本身，还要加上异质结构

36、能带的偏离。这些效应在第2章量子限制体系中已经论述过。应用前面一节的结果，可以级联大量分片连续的势，去近似真实器件中实际的势，采用数值计算方法求解透射和反射系数，达到所希望的精度。这样就可以普遍地计算通过这种结构的透射和反射特性。现在讨论如何计算通过像RTD这样器件的电流。1.相干隧穿（coherent tunelessing） 在3.2.1节讨论隧穿过程时.认为一维物质波通过势垒区的传播是弹性过程。电子的能量没有损失。对于几乎所有的平面势垒器件，势垒在垂直于隧穿方向(纵向)的另外两个方向(横向)是无限扩展的。由于异质结构界面带隙的不连续和掺杂所形成的空间电荷堆积，以及所加偏置仅在隧穿方向薄膜

37、生长的方向)势能有变化。平面波的波矢(因此电子的动量)在平行于势垒的方向有确定的分量。按照这个假设，隧穿是一个能量守恒过程，同时，还需要假设横向动量也是守恒的，也就是在隧穿前后电子的横向动量保持同样的值。由于存在界面粗糙或随机杂质，结构的横向会存在随机的非均匀性，这时后一假设就不适用。横向动量不守恒对RTI电流的主要影响是存在透射共振展宽。与理想模型相比较，这种结构中的共振电流峰谷比(peak to valley currentratio，PVR)将减小。 为了将量子力学中的几率流与器件的电流相联系，需要引人统计力学分布函数，描述与人射和穿过势垒的透射相联系的态占据状况。严格地说，应用什么分布

38、函数是描述像纳米结构这样的相位相干系统中非定态输运的中心问题。在初始的模型中。假设在势垒结构的左边和右边各有一个接触盘或接收器，它们基本上处于平衡态，并且由费米能级标志的fermi-dirac函数所描述。可是，因为存在电流流动，平衡分布函数不可能真实表征系统中电子的分布状况.关于这一问题将在后面讨论。 加有偏置的隧穿势垒结构如图3.7所示口所加偏置使得左边和右边的费米能级相差eV的量值。假设势垒两边的哈密顿量都可以分为垂直方向(二方向)分量和横向方向分量，如果选择势能的零点在势垒左边导带的最小处，即Ec1=0，隧穿前后粒子的能量可以写为22,22,22+,22z lt lziz rt rc r

39、kkEEEmmkkEEmm势垒左边势垒右边式中，Ec，r是右边的导带最小值。为了使问题简化，假设导带具有单一的、孤立的、抛物型最小值口因为假设横向动量在隧穿过程中是守恒的，因此，有 和横向能量, 势垒左边和右边Z方向的能量有如下关系,t rt lkk,t rt lEE22,+22z lz rzc rkkEEmm作为进一步近似，必须从形式上引人不可逆性。因此，假设接触端具有完全吸收的性质。这意味着，当粒子从一边注人到达另一边的接触区域，它的相位是相干的，而过剩能量通过与接触端费米海中其他电子的非弹性碰撞而耗散掉。这样假设一边的接触端中，一定能量E的电子。具有由边界条件和势垒所决定的透射概率T(

40、E)，透射过程中保持动量和能量守恒，最终被另一边的接触端所吸收，失去对能量和先前态的记忆。在这样的图像下、电流的流动正比于每单位时间沿两个相反方向通过势垒的粒子数目的差。这种隧穿观点被认为是相干隧穿，因为粒子在跨越整个结构而在接触端中失去能量之前保持了相位的相于性。 按照这个图像。考虑垂直势垒沿二方向的电流密度，能量E是确定的，其z分量为Ez。在势垒左边动量空问围绕k1一个无限小的体积元dk1内，从左边人射的电流密度可以写为 1111132d ,2izjeD kfkkk D k 式中，f1是势垒左边电子库中载流子的分布函数。D(k)是k空间的态密度。左边载流子垂直于势垒方向的速度为,111,1

41、1zzzkE kkkm式中应用了能带的抛物型关系(3. 78)式。从左边到右边的透射电流密度简单由( 3.79 )式加上透射系数作为权重而得到,32,dd2lz lltz lz lz ltejT kfk kkkkm式中，T(kz)是理想情况的透射系数，仅是垂直方向动量和能量的函数。同样，从右向左的透射电流为,r,r,r32,dd2rz rrtzzztejT kfk kkkkm在垂直方向电子能量Ez二给定的情况下，透射系数是对称的， 进而，如果对(3.78)式两边微分就会有， 因此，沿电压降的方向的净电流是左边与右边透射流对所有k值积分的差，即,z lz rT ET E2,r,rdd=dz lz

42、 lzzzkkkkmE,r,r,r32,dd2Tz rrtzzzteJT kfk kkkk式中，对能量E二的积分从。开始到无限，因为能量低于Ez=0时，从右边到左边的隧穿是禁戒的。在(3.83)式中已将对横向波矢的矢量积分化为径向分量积分与角度的积分。 在目前的情况下不能对( 3. 83)式做进一步的简化，除非对左边和右边的分布函数作出进一步的假设。最低阶的近似是假设分布函数是势垒两边电子库中费米能级决定的平衡费米一狄拉克分布函数,1,1 expl rztl rztFBLfE EEEEk TTL是晶格温度。两边费米能量的差正好是所加偏置 。因为费米函数是各向同性的，所以角积分给出2。同样，横向

43、波矢的积分转化为对整个能量的积分。假设能带为抛物型的，(3. 83)式成为1rFFEEeV3301 expdln21 expFzBLBLTzzFzBLEEk Tem k TJE T EEeVEk T133004dd,2TzztztrztemJE T EEfE EfE E采用(3.84)式的费米函数，对能量积分容易计算，得到这个公式有时被称为tsu-Esaki公式，而它的一个特殊形式可描述共振隧穿二极管的输运特性(类似的方程在单电子隧穿中出现得更早，可以参见参考文献。对数项有时称做供应 supply函数，因为在给定垂直方向能量的情况下，它决定可以利用的载流子的相对权重口在低温下，供应函数变为阶梯

44、函数，方程 3. 86简化为2300dd2FFEEeVTzzFzzzFzemJE T EEEE T EEeVE如果考虑像RTD这样结构的共振隧穿电流，电流密度主要是由共振时的透射系数所决定的。例如，假设透射系数是式(3. 70)的Lorentz形式，在Ez=En附近就有非常尖锐的峰，可以用函数近似。所以在低温下，对(3. 87)式积分得到3,04resnTFnnFem TJEEEE这里应用了函数的渐近近似形式22021lim4nnnznznEEEE 通过公式中包含的En项引人对电压的依赖关系，En是束缚态的能量。在图3.6一般非对称双势垒的能量图中，假设电压降平均分配在两个势垒上。这样阱的势能

45、相对于左边发射极降低eV/2,而相对于右边收集极升高同样的值。因此，(3.88)式中的En可以用E0-eV/2所代替，其中E0是相对于阱底的准束缚态能量。当eV=2 (E0-EF)时，电流突然导通，当eV= 2E0时，电流截止，从而产生负微分电阻(NDR)现象。在(3. 88)式中，当En=0。时，给出一个电流密度峰34resnFpem TEJ由此可见，电流峰值在物理上依赖于发射极的费米能级，以及共振峰宽度和峰值透射参数的乘积。因为共振峰宽度和共振透射幅值都随势垒厚度减小而增大，所以薄的势垒有高的峰值电流密度 作为例子，分析图1.14所示的加有偏置的简单RTD模型的电流。透射系数由(3.65)

46、式所确定。为了应用(3. 86 )式计算I-V特性，对于每一个偏置点，计算能量与透射系数之间的关系，列出表格(因为势垒的形状为偏置的连续函数)，并且对电流进行数值积分。图3. 8给出在低温下这种计算的结果。I- V特性确实表现出明显的负微分电阻特性。为了与实验比较，图3.9给出同样结构的测量结果。图中给出三个不同温度正向和反向偏置的I- V特性。I- V特性曲线对原点不是对称的，可以很明显看出在负偏置方向峰值电流稍微低一些。理沦计算结果与实验相比，计算电流峰值以及电流峰与电流谷的比远大于实验值，而且产生负微分电阻的电压并不完全对应。后一个问题的部分原因可以用电路中的串联电阻R，来解释，R4减少

47、了二极管两端的实际电压Vd=V-IRs是，这一理由不能解释其他方面的矛盾，特别是谷电流的量值，它远大于理想模型的值。 较大的谷电流是来自散射的贡献，包括弹性和非弹性散射。这两种类型的散射都使得平行动量分量的守恒定律产生弛豫，这样就在非共振时增加了电流的量值。RTD的弹性散射与异质结界面的界面粗糙度，隧穿区域的非有意的掺杂，势垒AlxGa1-xAs材料的合金无序效应有关。前两点与外延生长材料的质量密切相关，这有助于解释随着时间的推移GaAs/AlGaAs、系统中的电流峰谷比急剧改进，类似于2DEG迁移率的改进。例如，在参考文献丑的计算中包括了粗糙度的影响。另一个因素是这里所采用的单带模型的限制口

48、随着偏置增加，注人AlxGa1-xAs势垒和CraAs势阱的载流子具有越来越高的能量。结果，具有较高能量的导带最小也可以被载流子利用，特别是AlxGa1-xAs的X谷最小，提供了附加的电流通道。这种情况下，必须考虑隧穿电流的多带效应。 声子和集体激发对载流子的非弹性散射不仅破坏了横向动量守恒的假设，而且导致相位相干性的减小。如果这种作用很强，隧穿过程不再具有相干性，因为导致共振幅值形成的相位关系仅部分保持。包含非弹性效应的输运模型需要另外的动力学理论。2.非相干或相继隧穿(Icoherent or sequential tunneling 人们很早就认识到声子辅助隧穿也是固态材料中一种重要的隧

49、穿过程。实际上，这种隧穿过程在双势垒结构中也同样存在，并且也可以产生隧穿电流和NDR现象。图3.10给出说明电子按照这种隧穿机制通过双势垒结构的示意图。图中Ic为相干隧穿产生的电流。Is为相继隧穿产生的电流。载流子首先隧穿通过第一个势垒，进入量子阱中，并融人阱中的2DEG。接着在那里通过散射过程失去对相位的记忆。相位随机化后的载流子经过第二个不相干的隧穿过程通过第二个势垒。这种隧穿过程被称为相继隧穿过程或不相干隧穿过程。 相继隧穿电流具有VDR现象的条件是发射极的3D载流子隧穿通过第一个势垒融入量子阱的DEG时，必须保持横向动量守恒。载流子通过第一个势垒时总能量守恒，即222,222t wtz

50、cnkkkEEEmmm式中，Kt,e和Kt,w 表示发射极和阱中的波矢。如果隧穿过程本身是能量守恒的，横向动量也是守恒的，产生隧穿的条件为22zcnkEEm因为波矢的垂直分量kz二是实的，当EcEn时.也就是。当发射极的导带边高于阱的束缚态能量时，没有电子能够在保持横向动量守恒的情况下产生隧穿。在低温下，只有EcEn而费米能级高于束缚态能级才有电子隧穿。可以隧穿的电于的产生自EF-En的范围内。一旦(3.92)式的条件被破坏，电流突然降低，就会产生负微分电阻现象。 从上面分析可以看出，双势垒结构的相干隧穿与非相干隧穿的过程和机理有很大差别。但是，由于两种隧穿机制都能够产生NDR现象.所以单从I

51、- V特性的形状来看，不能区分隧穿是相于的还是非相十的。也就是说，这两种机制产生的电流峰的形状是相同的。由于在实际器件中这两种隧穿过程是共存的，需要包括两种隧穿过程的统一描述方法。所以下面给出一种唯象描述方法。非相干隧穿过程中，隧穿载流子在量子阱中融入2DEG的过程存在非弹性散射，可以像3. 2. 2节讨论的那样，给能量引人虚部 非对称双势垒的透射系数(3.70) 式可以表示成2ii 2222224444nnncresresnTnTETTEEEE其中 。这里用丁。表示相下透射系数，阻尼项丑表示相干透射流的损耗。因为流是有耗损的，概率流不再是守恒的。也就是 。可是，因为电荷不能产生和消灭，这一损

52、耗的概率流必然出现在另外的地方。加上通过其他通道的概率流，就可以使总的概率流守恒。这个额外的概率流可以被认为由于载流子散射到阱的较低能态，而造成概率流的损失(非相干机制)，并且接着在不同能量处经另外的过程透射。因此，这个非相干隧穿部分是相于隧穿部分的损失+Tni 1RcTR22214iniiccresTnTRTRTEE 式中,Ti和Ri分别是非相干过程透射和反射系数，相干反射系数的表示式已经围绕共振能量作了类似展开口在与上面相同的假设下，包括相干和非相干隧穿的总的透射系数为 22224nTicresTTnT ETTTEE该式与(3. 70式的差别在于最大透射由于非弹性散射而减小，减小的比率为

53、这时的共振隧穿与纯相干情形相比被展宽了。 如果在低温下，对于峰值透射系数进行同样的假设，可以推导出包括非相干隧穿过程的峰值电流密度nni npresTresnTJTT 3.空间电荷效应与自洽求解(space charge effect and self-consistent solutions 到目前为止讨论的都是理想模型，忽略掉了由于施主和受主电离，以及自由载流子分布而产生的静电势。由于在实际器件中存在空间电荷层，不仅在势垒的两边会有电压降，而且在器件内部也会形成附加的电势降。同时，自由电荷可以存储在阱中，特别是共振的时候，将改变RTD结构中电势的分布。电荷存储的证据已经在磁隧穿实验中观察到

54、。在实验中磁场加在垂直于势垒平而的方向，观察到了Shubnikov-de Hass(SdH)形式的电导谐振.与阱中准2D态的磁量子化的关联。空间电荷堆积已经用光学方法探测到，实验中观察到FTD阱中准束缚电子和空穴态之间的发光跃迁。 在第2章中讨论了自洽求解藕合Scrodtnger方程与Pcaissn方程的必要性。对于调制掺杂结构的多体势应用这种近似方法可以得到较好的结果。对于RTD结构，为了计人空间电荷的作用，必须使用类似的自拾方法。在一定偏置条件下，电荷层形成一个偶极层，包括阱中自由电荷积累，也包括在发射极的一边邻近双势垒结构的电荷累积层。可是，与量于阱的情况不同RTD是一个开放结构，在边界

55、上波函数并不为零(至少在概念上从宏观实验环境中分离微观系统时不为零)。开放系统。粒子从微观系统进人或者逸出，到达宏观外部电路，外电路被看做对于发射和吸收是理想的电子库。因此，必须仔细确定这种系统的边界条件以及与单粒子归一化波函数联系的统计权重，以便保证电荷守恒，并且给出电子库适当的态密度当对所有态求和时)。在这个意义上，对于一个开系统不可能在纯量子力学框架下得到求解公式。因此，非平衡统计力学在系统描述上起到重要的作用。 在超出以上所采用的简单矩形势垒近似的情况下，仍然能够假设势垒的左边和右边，在远离隧穿区域的某些点能达到平缓能带的条件。存在某些点可以作为系统的边界。使结构内部解与边界处接触区域

56、的渐进平而波相匹配。在内部，不仅有由于能带的不连续而产生的电势，而且也有由于自由电荷和电离的施主产生的电势。静电势的方程为 ddddDAze NNn zzz 1/2cFcn zN FEqE在Hartree近似的范围内(见第2章)，需要组合单粒子的包络函数以满足适当的分布函数。由于粒子流是从左边流人的。势垒左边的密度可以写为 2111302dd,2tzztznzkkkfk k ,12112202110dln 12dFzB LEEk TBLzzzzzm k TnzkkekkfE式中，EF1是左边的费米能，f1(Ez)是费米函数对kt的积分。描述从右流入的载流子密度有类似公式，只要在卜式中适当交换下

57、角标l和r就可以得到。总的密度是两项密度的代数和。 可是，在有电流流动的非平衡情况下，假设接触区为平衡函数，将导致物理上并不存在的接触区电荷堆积或耗尽，除非作出人为的调整。如果查看左边的渐进密度，就会明显看到这一点，例如110d2zzzzrznkT EfET EfE式中，fr是右接触的平均分布函数。其形式针对右接触区域由(3, 100)式所定义,只是将能量换为Ef,r=EF.l-eV,V是所加电压。积分中的第一项是由于载流子从左接触注人，而产生的人射和反射密度,1+R=2-T(应用了电流守恒)。第二项是来自右边的透射密度(应当写为负波矢，可是结合上面讨论，假设r具有对称性)。这里来自左边和右边

58、的人射波可以归一化为1。在平衡(V=0)时，包括T(Ez)的项被消掉，恢复体材料的载流子密度。在正向偏置下，右边第二项为零，密度低于它的平衡值，引起接触区域的耗尽。相应地，在正向偏置下，右接触区域的电荷堆积高于平衡值，由下式给出10d2rzzrzzznkT EfET EfE由子存在势垒区域，自由电荷明显重新分布，这是与简单采用平衡分布函数相矛盾的，这就需要landauer公式。在现在的自洽解RTD的范围内，RTD对于接触区域采用以下漂移费米一狄拉克分布函数，以便对于横向动量积分保持电荷守恒2,22ln 1 exp22BLizF iz io iBim k TfEEkkmk T另一个有趣的特征是在

59、双势垒结构发射极一边存在势的凹口。这个凹口类似于第2章所讨论的单异质结系统的量子限制势阱.并且可以俘获电子到其中的准束缚态(准束缚态仍然有有限的寿命)，形成一个邻近势垒的电荷堆积层。事实上，这种堆积层存在的直接证据来自本节前面讨论的磁隧穿实验.其中dH形式的电导谐振的观察与势垒附近存在的量子限制电子有关。隧穿出这些态对于电流的贡献在量值上与来自上述连续的电子贡献不同，在迄今描述的概率流的形式中并没有将这种贡献包括在内。事实上，在目前所研究范例中，电荷不可能在这里俘获，因为这要求某些类型的非弹性过程，使载流子弛豫到.累积层。这种矛盾表明这种描述的局限性。实际上，电子的分布函数不能用跨越器件的局域半经典函数所描述。因此，需要研究量子分布函数.例如针对iTI模型的VLF ignc:分布;-。对这个问题的详细讨论需要应用耗散非平衡输运理论.3.2.4量子化电荷隧穿 本章前面一部分用散射矩阵描述隧穿。历史.上，建立在转换或者隧穿哈密顿量基础上的方法也同样成功地应用于隧穿间题。这种技术曾经广泛用于描述超导隧道结的输运。现在这种方法已成为描述包括库仑阻断效应的小隧道结输运的基本理论方法。1隧穿哈密顿 在隧穿哈密顿方法中。隧道势垒作为对于比较大(包括电极)系统的微扰口可以通过时间相关的微扰论计算从左边到右边(以及从右边到左边)粒子转移速率来描述隧穿电流。因此，仅当微扰充分小时，这种描述