耦合电感及理想变压器

1、 单匝单匝线圈中通以电流线圈中通以电流i 后，后，磁通磁通 若磁通与线圈的若磁通与线圈的N匝都交链匝都交链， N 定义定义自电感自电感： iNiL关联条件下，关联条件下，电感两端的电压电感两端的电压： dtdiLdtddtdNu 1L2L若线圈若线圈1中通以变化电流中通以变化电流 1i11：自感磁通自感磁通 21：互感磁通互感磁通（耦合磁通）（耦合磁通）2111 2111 当当 ，全耦合全耦合。 自感磁链自感磁链： 11111N1111iL-自感量自感量 互感磁链互感磁链： -互感量互感量 21221N12121iM当当 ，全耦合全耦合。 2122若线圈若线圈2中通以变化电流中通以变化电流 2

2、i22：自感磁通自感磁通 12：互感磁通互感磁通（耦合磁通）（耦合磁通）2122自感磁链自感磁链： 22222N2222iL-自感量自感量 互感磁链互感磁链： -互感量互感量 21121N22121iM1L2L通过电磁场理论可以证明：通过电磁场理论可以证明： 02112MMM互感电压的产生互感电压的产生 线圈线圈1通以变化电流通以变化电流 ，线圈，线圈2产生互感磁链产生互感磁链 ，从而产生感应电压，称为从而产生感应电压，称为互感电压互感电压，记作：，记作： 1i2121udtdiMdtdu121212112同理，线圈同理，线圈2通电流通电流 ，线圈，线圈1产生互感磁链产生互感磁链 ，从而产生感

3、应电压，称为从而产生感应电压，称为互感电压互感电压，记作：，记作： 2i12udtdiMdtdu2212121符合右手螺旋法则符合右手螺旋法则 注意：注意：1) u12、u21的实际方向与两线圈的绕向有关；的实际方向与两线圈的绕向有关； 2) 若感应线圈两端接上负载，将有电流流过若感应线圈两端接上负载，将有电流流过 。 由于互感磁通只是总磁通的一部分，互感磁通与由于互感磁通只是总磁通的一部分，互感磁通与自感磁通的比值自感磁通的比值11。两线圈靠得越近，该比值就越接。两线圈靠得越近，该比值就越接近于近于1 1。一般用。一般用 和和 的几何平均值表征这一耦的几何平均值表征这一耦合程度，称为合程度，

4、称为耦合系数耦合系数 k 。 22211121 2122121121LLMk2122121121LLMk 21222221121111MiiLMiiL，；，1 21LLMk全耦合：全耦合：k=1无耦合：无耦合：k=0 ， 12121dtdiMudtdiMu22121 由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两种情况，因此在同一线圈上的互感电压与自感电压种情况，因此在同一线圈上的互感电压与自感电压可能彼此相加，也可能彼此相减。这与可能彼此相加，也可能彼此相减。这与两个线圈的两个线圈的相对绕向相对绕向、位置位置和和电流参考方向电流参考方向有关。有关。 两施感电

5、流同时作用：两施感电流同时作用： 2122212111uuuuuu1. 与与 “关联方向关联方向” iiij， 2111dtdiMdtdiLu2122didiuLMdtdt 2. 与与 “非关联方向非关联方向” iiijdtdiMudtdiMu212121uLdidtMdidtuMdidtLdidt11122122 引入引入“同名端同名端”的概念。的概念。 1u2u 12121L2L1i2iM(a)1u2u 12121L2L1i2iM(c)图(a) 1211122212图(c) 1211122212将将1与与2或或 与与 称为称为同名端同名端, 12用用 “”、“”、“”或或“”表示；表示；

6、而将而将1与与 或或 与与2 称为称为异名端。异名端。12同名端的判定：同名端的判定： 方法一：方法一：“直流法直流法” 5V.112121L2L1iMVS当当S合上瞬间，电压表合上瞬间，电压表V： 1) 上正下负上正下负(正偏转正偏转) 1与与2为同名端为同名端, 2) 上负下正上负下正(反偏转反偏转) 1与与 为同名端为同名端2方法二：方法二：“交流法交流法” 213 UUU213UUU1与与2为同名端为同名端, 213UUU1与与 为同名端为同名端2 耦合电感耦合电感(互感互感)的电路符号的电路符号 12121L2LM 11221L2L M 互感电压前的互感电压前的“”、“”号的问题号的

7、问题 如果，电流的参考方向由线圈如果，电流的参考方向由线圈1 1的同名的同名端指向另一端，那么由该电流在线圈端指向另一端，那么由该电流在线圈2 2内产内产生的互感电压参考方向也应由线圈生的互感电压参考方向也应由线圈2 2的同名的同名端指向另一端。反之亦然。端指向另一端。反之亦然。1u2u 12121L2L1i2iM 11221L2L M1i2i 1u 2u， 2111dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu1222 1u2u12121L2L1i2iM 11221L2L M1i2i 1u 2u， 2111dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu1222 若若i1、i2均为正弦量均为正弦量

8、，22Ii， 11Ii1222221111jjjjIMILUuIMILUu则：则：MXM-互感抗互感抗 1串联串联 1) 顺接顺接 1L2L Mi 1u 2u u， 11dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu22dtdiLdtdiMLLuuu顺)2(2121 1L2L Mi 1u 2u uMLLL221顺在正弦电路中在正弦电路中 IMLIXXUIMLIXXUMLML)( j)( j)( j)( j222111IXXXIMLLUUUMLL)2( j )2(j212121 1L2L Mi 1u 2u u2) 反接反接， 11dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu22dtdiLdtdiM

9、LLuuu反)2(2121MLLL221反2. 并联并联 U 1j L2j LI1I2IM1) 同侧同侧(同名端相联同名端相联) 21122211jjjjIIIIMILUIMILUZMLLMLLIUZ2j 21221MLLMLLL221221等效电感等效电感 ：U 1j L2j LI1I2IM2) 异侧异侧(异名端相联异名端相联) 21122211jjjjIIIIMILUIMILUZMLLMLLIUZ2j 21221MLLMLLL221221等效电感等效电感 ： SU 1j L2j L21II1I2IM+1R2R3R1I2I图示电路，求：图示电路，求： 21II、0jj)()(jj231221

10、22S21221111IRIMILIIRUIIRIMILIRKVL方程：方程： 21jIMUM0)j()j()j()j(223212S221121ILRRIMRUIMRILRR12jIMUM 在正弦稳态分析时，可以把各互感电压作为受在正弦稳态分析时，可以把各互感电压作为受控源看待，控源看待，并在正确标定其极性后并在正确标定其极性后，用正弦稳态分，用正弦稳态分析方法进行分析。析方法进行分析。 SU 1j L2j L21II1I2IM+1R2R3RSU1j L2j L21II1I2I+1R2R3R+ - -+ - -2jIM1jIM1I2I121122S22 123221()()RRj L IR

11、IUj MIR IRRj L Ij MI 1u2u 1L2L1i2iM当两耦合电感有一对公共端时，当两耦合电感有一对公共端时，可以用三个无耦合的电感组成可以用三个无耦合的电感组成的的T形网络来做等效替换，形网络来做等效替换， aLbL1i2i21ii cL+u1+u2uLdidtMdidtuMdidtLdidt11122122dtdiLLdtdiLudtdiLdtdiLLdtiidLdtdiLu2cb1b22b1ba21b1a1)()()(1u2u 1L2L1i2iMaLbL1i2i21ii cL+u1+u2MLLMLMLLLLLLMLLL2cb1acb2bba1公共点为同名端公共点为同名端

12、1u2u 1L2L1i2iM公共端为异名端公共端为异名端 MLLMLMLL2cb1aV 10cos250004tu 例：例：, ,求各支路电流。求各支路电流。 mH25M+- -50RmH252LmH201LF1CCiiu0)1( j)(j )(j)(j)(j)(j22221CCICMMLIMLUIMLIMLMLRA 4571.70 , 0 IIC)(j1ML U)(j2ML ICIMj+- -RCj1去耦等效电路去耦等效电路 ICI例例：求图：求图a电路的输入阻抗。电路的输入阻抗。 1L2L M1R2R(a)2(j)(j)(jj21212211MLLRRMLRMLRMZi 分析含耦合电感元件

13、电路时，必须考虑互感电分析含耦合电感元件电路时，必须考虑互感电压，故使用网孔电流法比较方便。压，故使用网孔电流法比较方便。 对于有公共端钮的耦合电感常用对于有公共端钮的耦合电感常用去耦等效电路去耦等效电路，把有互感的电路转化为一般把有互感的电路转化为一般无互感的电路无互感的电路来分析。来分析。 ML 1ML 21R2R(b)去耦等效电路去耦等效电路 M例例：如图，：如图， , 4, V 1 .5310 , V 0121S2S1RUU, 2, 6, 3, 5212MLLCXXXXR求流经求流经R2的电流的电流 。 2I+- -S2U +- -1R1jLXCXj2IS1U2R2jLXMXj解解：用

14、戴维南定理，：用戴维南定理， abA 9022 j3 j4)8 j6(12 3 j6 j41 .5310012jj112S11CLSXXRUUI1IV 43.6394. 88 j4 1 .53109023 j9022 j jjS211OCUIXIXUCM1R)j(1MLXX CXj2I2RMXjiZ)j(2MLXXab1I+- -S2U +- -1R1jLXCXj2IS1U2R2jLXMXj88. 2 j16. 03 j4) j)(4 j4(4 j j)( j)j)( j)( j11112CMMLCMMLMLijXXXXRjXXXXRXXZ+- -iZ2IOCU2Rab戴维南等效电路如上图戴维

15、南等效电路如上图 A 25345115882160436494822.j.RZUIiOCab+- -S2U +- -1R1jLXCXj2IS1U2R2jLXMXjc注意注意：在应用戴维南定理：在应用戴维南定理求解含互感的电路时，不求解含互感的电路时，不可将有互感的两线圈分开，可将有互感的两线圈分开，如本例中不能在如本例中不能在下下图中的图中的cb处将网络分割开来。处将网络分割开来。 例例：已知：已知： ,5 . 7 , 5 , 3 , V 050121LRRU, 6, 5 .122ML求求K打开和闭合时打开和闭合时的电流的电流 。 I 1j L2R Mj2j L1RUKI1I2I1U2U解解：

16、1) K打开时，两个线圈顺接，打开时，两个线圈顺接， A 96.7552. 1 )65 .125 . 7( j53050 )2(j2121MLLRRUI例例：已知：已知： ,5 . 7 , 5 , 3 , V 050121LRRU, 6, 5 .122ML求求K打开和闭合时打开和闭合时的电流的电流 。 I 1j L2R Mj2j L1RUKI1I2I1U2U 2) K闭合时：闭合时： 0)(j)j(122111ILjRIMIMjILRUA 50.5179. 7)j ()j( 22211LjRMLRUIA 30.15047. 31I 1.1.结构：空心变压器是由两个绕在非铁磁材料制成结构：空心变

17、压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并具有互感的线圈组成。它没有铁心变压的芯子上并具有互感的线圈组成。它没有铁心变压器产生的各种损耗，常用于高频电路。器产生的各种损耗，常用于高频电路。 2.2.特点：其耦合系数较小，属于松耦合。特点：其耦合系数较小，属于松耦合。 1支路电流法、网孔法。支路电流法、网孔法。 2当两线圈当两线圈“完全隔离时完全隔离时”，可加一根电流为，可加一根电流为“0”0”的的线，再用互感消去法。线，再用互感消去法。 3反映阻抗法。反映阻抗法。 初级初级接电源，接电源， 初级线圈初级线圈（原边）；（原边）； 次级次级接负载，接负载， 次级线圈次级线圈（副边）；（副边）； 工作

18、原理工作原理：经初、次级线圈间的耦合，能量由电源：经初、次级线圈间的耦合，能量由电源 传递给负载，负载不直接与电源相连。传递给负载，负载不直接与电源相连。 原边回路阻抗：原边回路阻抗： 1S11j LZZLd222jZLZ副边回路阻抗：副边回路阻抗： 互感阻抗：互感阻抗： MMXMZjjSU1ISZMj2I1j L2j LLdZ空心变压器电路空心变压器电路 SU1ISZMj2I1j L2j LLdZ空心变压器电路空心变压器电路 列回路方程：列回路方程： 02221S2111IZIZUIZIZMM22211S22211221)()(ZMZUMZZUZIS11222S1122211S2)()(ZM

19、ZUZZMZZUZIMM+- -11Z1ISU11Z原边等效电路原边等效电路+- -22Z2ISU22Z副边等效电路副边等效电路22211)(ZMZ11222)(ZMZS11SUZZUM其中：其中： SU1ISZMj2I1j L2j LLdZ空心变压器电路空心变压器电路 结论：结论： 1 1次级回路接负载后对初级回路的影响相当次级回路接负载后对初级回路的影响相当于在于在初级回路中串联阻抗初级回路中串联阻抗 。令。令 222)(ZM22211)(ZMZ次级回路阻抗在初级回路中的反映阻抗次级回路阻抗在初级回路中的反映阻抗。 1111222222222222222222222222222211jj

20、)j(j)(XRXZMRZMXRZMXRMZ反映电阻反映电阻反映电抗反映电抗次级回路的电阻反映到初级回路仍为次级回路的电阻反映到初级回路仍为电阻电阻，次级回，次级回路的电抗反映到初级回路仍为路的电抗反映到初级回路仍为电抗电抗，但，但符号相反。符号相反。2图示参考方向下，因次级回路图示参考方向下，因次级回路 ，11222S112)(ZMZUZZIM故计算次级电流故计算次级电流 时，初级电流产生的互感电压可时，初级电流产生的互感电压可以用一个等效电压源来替代。以用一个等效电压源来替代。 2I+- -22Z2ISU22Z副边等效电路副边等效电路S11S11SjUZMUZZUM在次级回路增加了一个阻抗

21、在次级回路增加了一个阻抗 ， )(11222ZMZ 称为初级回路阻抗在次级回路内称为初级回路阻抗在次级回路内的的反映阻抗反映阻抗，它相当于，它相当于等效电源内阻抗等效电源内阻抗。 建立了建立了反映阻抗反映阻抗的概念，空心变压器的计算可对的概念，空心变压器的计算可对初初级、次级回路分别计算级、次级回路分别计算，而不必建立方程联立求解。，而不必建立方程联立求解。 例例：在下列情况下：在下列情况下：1. 副边开路副边开路; 2. 副边短路；副边短路；3. 副边接电容副边接电容C。求原边线圈的输入阻抗求原边线圈的输入阻抗Zi 。1I1RMj2I1jX2jX1U2RLLLjXRZ解：解： +- -11Z

22、1I1U11Z原边等效电路原边等效电路+- -22Z2ISU22Z副边等效电路副边等效电路1111jXRZ)j()(jL2L2L2222XXRRZXRZ22211)(ZMZ+- -11Z1I1U11Z原边等效电路原边等效电路， j1111XRZL2222jZXRZ22211)(ZMZ1. 副边开路副边开路,LZ22Z， j1111XRZZi副边开路对原边阻抗大小无影响。副边开路对原边阻抗大小无影响。 , 0 . 2LZ2222jXRZ011Z2222222222222222211j)(XXRMRXRMZMZ j2222212222211111XRXMXXRRMRZZZi+- -11Z1I1U1

23、1Z原边等效电路原边等效电路， j1111XRZL2222jZXRZ22211)(ZMZCZ1j . 3L)1j(2222CXRZ 112222222221222222221jXRiXRMXXXRRMRZ大于大于0，吸收的功率即，吸收的功率即副边吸收的有功功率副边吸收的有功功率 与与X22异号异号22XV225. 0)(25. 0)(1222111211ttttMLeeedtdedtddtdiMdtdiLuuuV25. 05 . 0)(25. 0)(25. 0221222122ttttMLeeedtdedtddtdiMdtdiLuuu例：例：求图示电路中的求图示电路中的u1(t)及及u2(t)

24、，已知：，已知：L1 =1H，L2 = 0.25H，M = 0.25H。同理可以判断线圈同理可以判断线圈L2自感电压是上正下负，互感电压自感电压是上正下负，互感电压下正上负，因此有：下正上负，因此有：解：对于线圈解：对于线圈L1来讲，自身电流从上流到下，所以自来讲，自身电流从上流到下，所以自感电压是上正下负，而施感电流从感电压是上正下负，而施感电流从“*”标流入，所以互标流入，所以互感电压感电压“*”处为正即下正上负，因此有：处为正即下正上负，因此有：作业：练习册作业：练习册 8-9；8-11P206 例例8-6P207 例例8-7P207 例例8-8P218 习题习题8-10 1u2u 1i

25、2i1:n1. 电路符号电路符号变比变比n(常数常数)，即两线圈的匝数比，即两线圈的匝数比， 21NNn 副边线圈匝数副边线圈匝数 原边线圈匝数原边线圈匝数 2. 理想化条件理想化条件 1)变压器本身无损耗；变压器本身无损耗； 2)耦合系数耦合系数 (全耦合全耦合) 121LLMk3)L1、L2、M均无限大，且有均无限大，且有221/nLL 3. 理想变压器的伏安特性理想变压器的伏安特性 1u2u 1i2i1:n在图示电压电流参考方向及在图示电压电流参考方向及同名端下，总满足同名端下，总满足 ： 21nuu 21UnU或或211ini211InI或或推导：推导： ， 22121121原、副边线

26、圈的总磁通链：原、副边线圈的总磁通链： )()( )()(21122221222212221221111211112111NNNNNN线圈的总磁通线圈的总磁通(主磁通主磁通) 222111dtdNdtdudtdNdtdu， 2121nNNuu2121 UnUnuu，即：即： 或或 ， 2111dtdiMdtdiLu由由 dtdiLMdtdiLu21111得：得： 在全耦合时，在全耦合时，有：有： 122221212121221212212222111121MNMNiNNiNNiNiNLL1221 MM1211 LnLLM2222121 nNNLLnLL21或或; 1 21LLMk 全耦合时，全

27、耦合时， nLM11dtdiLMdtdiLu21111代入：代入： dtdindtdiLu21111得：得： 112121111( )tttuddidiiiLnn两边积分：两边积分： 112121111( )tttuddidiiiLnn211 ini1L0121ini时，有：时，有： 211InI或或4. 理想变压器功率平衡方程理想变压器功率平衡方程 0)()()()(2211titutitu 理想变压器既不消耗能量，也不储存能理想变压器既不消耗能量，也不储存能量，是无记忆的能量传输元件。量，是无记忆的能量传输元件。例：例：P. 210 例例89 理想变压器的作用：理想变压器的作用：变换电压和

28、电流变换电压和电流，变换阻抗变换阻抗。 1U2U 12121:n1I2ILdZ如图，从原边看进去的如图，从原边看进去的输入输入阻抗阻抗将是将是 ： Ld222222111ZnIUnInUnIUZi即副边负载经过理想变压器，折合到原边的负载即副边负载经过理想变压器，折合到原边的负载变为变为 。Ld2Zn 可见，可见，改变改变n，可在原边得到，可在原边得到不同的不同的入端阻抗入端阻抗。 工程中，常用该性质来实现阻抗匹配，使负载获得最大功率。工程中，常用该性质来实现阻抗匹配，使负载获得最大功率。 1U2U 12121:n1I2ILdZLd2ZnZi当当n1，阻抗变换后增大；，阻抗变换后增大； 当当n 1，阻抗变换后减小。，阻抗变换后减小。解解：设：设： V 0220SU法一：法一： 300j300L2LZnZA 9 .3644. 0 300j3001000220L1S1ZRUI例例：如图，已知：如图，已知 ， V220SU,10 , 3 j3, 100L1nZR求：求：2I2U ab1:n1I2ILZSU+ + - -1R+ + - -1UA 9 .364 . 412InI法二：法二： 戴维南定理。戴维南定理。 0121InIS1UUV 022022010111OCUnU例例：如图，已知：如图，已知 ， V220SU,10 , 3 j3, 100L1nZR求：求：2I2U a