西安交通大学 电磁场及电磁波 第一章 矢量分析

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度梯度、散度散度、旋度旋度、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1. 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度2. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度3. 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度4. 无散场和无旋场无散场和无旋场5. 格林定理格林定理 6. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理7. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系正交曲面坐标系yx以以浓度浓度表示的表示的标量场标量场 以以箭头箭头表示的表示的矢量场矢量场A 标量场标量场（）和矢量场和矢量场（A）yx1. 1. 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度 标量场在某点

2、的标量场在某点的方向方向导数导数表示标量场自该点沿表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。某一方向上的变化率。 0()( )limlPPPll标量场标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为Pl PllP梯度是一个梯度是一个矢量矢量。gradxyzxyzeee在在直角坐标系直角坐标系中，标量场中，标量场 的梯度可表示为的梯度可表示为式中的式中的grad 是英文字是英文字 gradient 的缩写。的缩写。 某点梯度的某点梯度的大小大小等于该点的等于该点的最大最大方向导数，某点方向导数，某点梯度的方向为该点具有梯度的方向为该点具有最大最大方向导数的方向。方向导数

3、的方向。zyxzyxeee 若引入算符若引入算符，在直角坐标系中该算符，在直角坐标系中该算符 可表可表示为示为grad则梯度可以表示为则梯度可以表示为zxyr OP(x, y, z)r r r P(x , y , z )例例 计算计算 及及 。 R1R1 表示对表示对 x, y, z 运算运算 表示对表示对 运算运算zyx,0Rrr这里这里zyxzyxeeerzyxzyxeeer解解zyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxRzyxzyxeeezyxzyxeee31RRRRR1131RRR表示源点，表示源点，P 表示场点。表示场点。 Pzxyr OP(x, y, z)

4、r r r P(x , y , z ) 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的的面积分面积分称为矢量称为矢量 A 通过通过该有向曲面该有向曲面 S 的通量，以标量的通量，以标量 表示，即表示，即 2. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度S d SA通量可为通量可为正正、负负或或零零。 当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的生该矢量场的源源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的合面中存在汇聚该矢量场的洞洞（或（或汇汇）。）。 闭合的有向曲面的闭合的有向曲面的方向方向通

5、常规定为闭合面的通常规定为闭合面的外外法线方向。法线方向。 当闭合面中有当闭合面中有源源时，矢量通过该闭合面的通量时，矢量通过该闭合面的通量一定为一定为正正；反之，当闭合面中有；反之，当闭合面中有洞洞时，矢量通过该时，矢量通过该闭合面的通量一定为闭合面的通量一定为负负。前述的前述的源源称为称为正源正源，而，而洞洞称为称为负源负源。S d SAS 已已知真空中的电场强度知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真与真空介电常数空介电常数 0 之比，即，之比，即， 当闭合面中存在当闭合面中存在正正

6、电荷时，通量为电荷时，通量为正正。当闭合。当闭合面中存在面中存在负负电荷时，通量为电荷时，通量为负负。在电荷不存在的。在电荷不存在的无无源区源区中，穿过任一闭合面的通量为中，穿过任一闭合面的通量为零零。 0dSqES 但是，通量仅能表示闭合面中源的但是，通量仅能表示闭合面中源的总总量，它不能量，它不能显示源的显示源的分布分布特性。为此需要研究矢量场的特性。为此需要研究矢量场的散度散度。 当闭合面当闭合面 S 向某点向某点无限无限收缩时，矢量收缩时，矢量 A 通过该闭通过该闭合面合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场矢量场 A 在该点的在

7、该点的散度散度，以，以 div A 表示，即表示，即 0 ddiv limSVVASA式中，式中，div 是英文字是英文字divergence 的缩写；的缩写； V 为闭合面为闭合面 S 包围的体积。包围的体积。 0 ddiv limSVVASA上式表明，上式表明，散度是一个标量散度是一个标量，它可理解为通过包围，它可理解为通过包围单位体积单位体积闭合面的通量。闭合面的通量。 直角直角坐标系中散度可表示为坐标系中散度可表示为 div yxzAAAxyzA因此散度可用算符因此散度可用算符 表示为表示为div AA div d dVSV AAS散度定理散度定理 d dVSVAAS或者写为或者写为

8、从从数学数学角度可以认为散度定理建立了角度可以认为散度定理建立了面面积分和积分和体体积分的关系。积分的关系。 从从物理物理角度可以理解为散度定理建角度可以理解为散度定理建立了立了区域区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V 的边界的边界 S 上的场之上的场之间的关系。因此，如果已知区域间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，中的场， 根据根据散散度度定理即可求出边界定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。例例 求空间任一点位置矢量求空间任一点位置矢量 r 的散度的散度 。3zzyyxxr求得求得zyxzyxeeer已知已知解解rOxzyxzyzyxzyxeee标量场的

9、标量场的梯度梯度 0 ddiv limSVVASAzAyAxAzyx A矢量场的矢量场的散度散度矢量场的矢量场的旋度旋度？zyxzyxeee算子算子 矢量场矢量场 A 沿一条有向曲线沿一条有向曲线 l 的的线积分线积分称为矢量称为矢量场场 A 沿该曲线的沿该曲线的环量环量，以，以 表示，即表示，即3. 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度 dlAl可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处的方向处处与线元处与线元 dl 的方向保持的方向保持一致一致，则环量，则环量 0；若处；若处处处相反相反，则，则 0 。可见，环量可以用来描述矢量。可见，环量可以用来

10、描述矢量场的场的旋涡旋涡特性。特性。l 已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁与真空磁导率导率 0 的乘积。即的乘积。即 式中，电流式中，电流 I 的正方向与的正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。关系。0 dlIBl 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的是环量代表的是闭合曲线包围的总总的源强度，它不能的源强度，它不能显示源的显示源的分布分布特性。为此，需要研究矢量场的

11、特性。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。I1 I2 旋度旋度是一个矢量。以符号是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量表示矢量 A 的的旋度，其旋度，其方向方向是使矢量是使矢量 A 具有具有最大最大环量强度的方向，环量强度的方向，其其大小大小等于对该矢量方向的最大环量等于对该矢量方向的最大环量强度强度，即，即 maxn0 dcurl limlSSAlAe式中式中 curl 是旋度的英文字是旋度的英文字；en 为为最大环量强度的方最大环量强度的方向上的单位矢量，向上的单位矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。包围的面积。 矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的矢量场的旋度大小可以认为

12、是包围单位面积的闭合曲线上的闭合曲线上的最大最大环量。环量。 en1en2en直角直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为坐标系中，旋度可用矩阵表示为 curl xyzxyzxyzAAAeeeA或者或者curl AA 无论梯度、散度或旋度都是无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示，它们表示场在场在某点某点附近的变化特性。因此，附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度梯度、散度及旋度描述的是场的描述的是场的点点特性或称为特性或称为微分微分特性特性。 函数的函数的连续性连续性是可微的必要条件。因此在场量发是可微的必要条件。因此在场量发生生不连续不连续处，也就处，也就不存在不存在前述的梯度、散度或

13、旋度。前述的梯度、散度或旋度。 旋度定理旋度定理（斯托克斯定理斯托克斯定理） (curl ) d dSlASAl 从数学角度可以认为从数学角度可以认为旋度旋度定理建立了定理建立了面面积分和积分和线线积分的关系。从物理角度可以理解为积分的关系。从物理角度可以理解为旋度旋度定理建立了定理建立了区域区域 S中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的的边界边界 l 上的场之间的关上的场之间的关系。因此，如果已知区域系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据旋度定理即中的场，根据旋度定理即可求出边界可求出边界 l 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。 () d dSlASAl或者或者例例 试证任何矢量场试证

14、任何矢量场 A 均满足下列等式均满足下列等式 ()d dVSV AAS式中，式中，S 为包围体积为包围体积 V 的闭合表的闭合表面。此式又称为面。此式又称为矢量矢量旋度定理，旋度定理，或或矢量矢量斯托克斯定理。斯托克斯定理。证证ACACCAAC)(设设 C 为任一为任一常常矢量，则矢量，则SVAne根据散度定理，上式左端根据散度定理，上式左端VVVV d d)(ACAC ()d ( ) dVSVC ACAS (d ) dSSC ASCAS那么对于任一体积那么对于任一体积 V，得，得 ()d dVSV CACAS求得求得ACACCAAC)( 散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场

15、无散场，旋度处处，旋度处处为为零零的矢量场称为的矢量场称为无旋场无旋场。 4. 无散场和无旋场无散场和无旋场可以证明可以证明0)(A 上式表明，上式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等的旋度的散度一定等于零于零 。因此，任一。因此，任一无散无散场可以表示为另一矢量场的场可以表示为另一矢量场的旋度旋度，或者说，任何，或者说，任何旋度旋度场一定是场一定是无散无散场。场。 上式表明，上式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定的梯度的旋度一定等于零等于零。因此，任一。因此，任一无旋无旋场一定可以表示为一个场一定可以表示为一个标量场的标量场的梯度梯度，或者说，任何，或者说，任何梯度梯

16、度场一定是场一定是无旋无旋场场。 0)(又可证明又可证明5. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场导数，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式满足下列等式SV,ne2 ()ddVSVSn式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面；的闭合曲面； 为标量场为标量场 在在 S 表面表面的外法线的外法线 en 方向上的偏导数。方向上的偏导数。n根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成2 ()d() dVSV S上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。

17、22 ()ddVSVSnn22 ()d dVSV S基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 设任意两个矢量场设任意两个矢量场 P 与与 Q ，若在区域，若在区域 V 中具有连中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及及 Q 满足下列等式：满足下列等式： () ()d dVSV PQPQPQS式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面；面元的闭合曲面；面元 dS 的方向为的方向为S 的外的外法线方向。上式称为法线方向。上式称为矢量第一格林定理矢量第一格林定理。 基于上式还可获得下式：

18、基于上式还可获得下式： ()(d dVSV QPPQPQQPS此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。 格林定理建立了格林定理建立了区域区域 V 中的场与中的场与边界边界 S 上的场上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域区域中场的中场的求解问题转变为求解问题转变为边界边界上场的求解问题。上场的求解问题。 格林定理说明了格林定理说明了两种两种标量场或矢量场之间应该满标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中足的关系。因此，如果已知其中一种一种场的分布特性，场的分布特性，即可利用格林定理求解即可利用格林定理求解另一种另一种场的分布特性

19、。场的分布特性。6. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其位于某一区域中的矢量场，当其散度散度、旋度旋度以及边以及边界上场量的界上场量的切向切向分量或分量或法向法向分量给定后，则该区域中的分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其定理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定。共同决定。VSF(r)tn FFFF和 及或 若矢量场若矢量场 F(r) 在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的， 且其且其导数连续有界导数连

20、续有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域V 中，则当矢量场中，则当矢量场的的散度散度及及旋度旋度给定后，该矢量场给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为可以表示为 7. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrAVVd)(41)(rrrFr式中式中V zxyr Or r r F(r) 该定理表明任一矢量场均可表示为一个该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋无旋场场与一个与一个无散场无散场之和之和。矢量场的矢量场的散度散度及及旋度旋度特性特性是研究矢量场的是研究矢量场的首要首要问题问题。 )()()(rArrF8. 正交曲面坐标系正交曲面坐标系 直角坐标系直角坐标系( ( x, y , z ) )zxyz = z0 x = x0y = y0P0zexeyeO圆柱坐标系圆柱坐标系( r,