幂函数的图像与性质

1、【知识结构】1有理数指数幂（1）幂的有关概念正数的正分数指数幂:;正数的负分数指数幂: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质aras=ar+s(a>0,r、sQ);(ar)s=ars(a>0,r、sQ);(ab)r=arbs(a>0,b>0,rQ);.例2 （1）计算：；（2）化简：变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）(3) （三）幂函数1、幂函数的定义形如y=x（aR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数注：幂函数与指数函数有本

2、质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）ABCD例2.已知函数，当 为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式 已知幂函数，当时为减函数，则幂函数2.幂函数的图像幂函数yx的图象由于的值不同而不同的正负：0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；3、幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR0，）值域R0，）R0，）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，）时，增

3、；x时，减增增x(0,+)时，减；x(-,0)时，减定点（1，1）例3比较大小：（1） （2）（3）（4）4.幂函数的性质及其应用幂函数yx有下列性质：(1) 单调性：当0时，函数在(0，)上单调递增；当0时，函数在(0，)上单调递减(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断例4已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值例5.已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象变式：已知幂函数f(x)=x（mZ）为偶函数，且在区间（0，+）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=a的奇偶性.5

4、.规律方法（1）幂函数yx(0,1)的图象（2）.幂函数的图象6.性质：（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；（3）当时，幂函数是 ；当时，幂函数是 xOy例6右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（ ） 例7 若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。例8 若函数在区间上是递减函数，求实数的取值范围。【巩固练习】1在函数中，幂函数的个数为 ( )A0 B1 C2 D32、幂函数的图象都经过点（ ）A（1，1） B （0，1） C（0，0） D （1，0）3、幂函数的定义域为（ ） A(0,+

5、¥) B0,+¥) CR D(-¥，0)U (0,+¥)4若幂函数在上是增函数，则 ( )A>0 B<0 C=0 D不能确定5若幂函数在(0，+)上是减函数，则 ( )A>1 B<1 C=l D不能确定6若函数f(x)x3(xR)，则函数yf(x)在其定义域上是()A单调递减的偶函数 B单调递减的奇函数C单调递增的偶函数 D单调递增的奇函数7已知幂函数f(x)x的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)2的解集是()Ax|4x4 Bx|0x4Cx|x Dx|0x8如果幂函数y(m23m3) 的图象不过原点，则m的取值是

6、()A1m2 Bm1或m2Cm2 Dm19、当x（1，）时，函数）y的图象恒在直线yx的下方，则a的取值范围是 A、a1B、0a1C、a0D、a0二、填空题：11、若，则a的取值范围是_；12.函数的定义域为_. （A） （B） （C） （D） （E） （F）13幂函数yf(x)的图象经过点，则满足f(x)27的x的值是_14已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为_幂函数的性质与图像测试一、填空题1.若幂函数的图像过点，则函数的解析式为_.2.已知函数是幂函数，则实数的值为_.3.幂函数的图像与两坐标无交点且关于轴对称，则的值等于_.4.设，已知幂函数是偶函数，且在区间上是减函数，则满足要求的值的个数是_.5.已知函数的图像的对称中心是，则函数的单调递减区间是_.6.已知幂函数的图像当时，在直线的上方；当时在直线的下方，则的取值范围是_.7.函数的图像可以看成由幂函数的图像向_平移_个单位.8.已知，则实数的取值范围是_.二、选择题9.如图，、分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为；，则、与四个函数序号的对应顺序只可能是（ ）. （A）()()()10.下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（ ）. （）() （）()11.当时，下列函数的图像全在直线下方且为偶函数的是（ ）. （）()