2018广东高考理科数学试题及答案

1、绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A0B

2、,2C12一已知集合为=>|J3-X-2>0则£/=jIT<，<2B，|-1<x<2CI工<U&I尸>2D加工*-1Uxx>23.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，养殖收入增加一倍新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.

3、记又为等差数列侬）的前n项和,铲2,则"（）A-12B.-10C.10D125设困数*工）二"+9-1）"十口，若幻为奇因数，则曲线片年期在点（01。）处的切线方程为（）尸2#E尸kC尸2KD.y=x5在位45。中，AD为BC边上的中线，E为的中点，则imu1uutA.44IUlK飞ULBO-.4B-ACBT4C.41ULM1UU1-AB+-ACiuuaquin然一二HCD-447某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A

4、丽D.28设抛物线的焦点为E过点（20）且斜率为弓的直线与C交于两点，则UUUUIUUFMFN=()A.5B.6C.7D.8心工，011”会0小）=6+，+、在m）存在2个零点，则a觎m/="9,已知蹦范围是。bm内）cTy）d1L2）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个车圈构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC。AABC的三边所围成的区域记为率分别记为P1，P2,P3,则（）I,黑色部分记为n，其余部分记为出，在整个图形中随机取一点，此点取自I、n、出的概IL已知双曲线C：3APi=P?3Pi=PiqPi=d_Pi=6十%

5、O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为MN若为直角三角形，则的阴=3aJB3c2道D.41Z已知正方体的校长为L,每条接所在直线与平面值所成的角都相等j则蒙翻此正方体所得截面面积的最大值为34延延迫A.4b,3c4口2*+1>0,13若工，N满足约束条件1丁工°:贝产的最大值为14记国为数列同的前口项的和，若5小况+1,则15从2位女生，4位男生中选3人参加科技比褰j且至少有1位女生入选，则不同的选法共有一种一佣数字填写答案）W已知因数/3=251nt+而2x?则/（x）的最小值是.在平面四边形中，乙切0=9°»ZA=45,AB

6、=2,BD=5.求cosNADB.若DC=20求BC18 （12分）如图，四边形，四口为正方形，瓦厂分别为c的口点、，以。尸为折痕把sfc折起，使点0到达点尸的位置，且WBf证明：平面PER_L平面：求刀尸与平面ABFD所成角的正弦值.19 .（12分）C:+'2=1设椭圆2"的右焦点为尸，过产得直线,与C交于4,两点，点收的坐标为（2当/与x轴垂直时，求直线出，的方程；设°为坐标原点，证明：NO.l£4=NOM3.20某工厂的某种产品成箱包装，每箱产品在交付用户前要对产品作检蛉，如检蛉出不合格品，则更换为合格品，检蛉时，先从这箱产品中任取20件作检蛤，再

7、根据检蛉结果决定是否近余下的所有产品作检险。设每件产品为不合格的概率为品（°尸1）且各件产品是否为不合格品相互独立。记20件产品中恰有2件不合格品的概率为（尸），求,（Z）的最大值点尸现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2L（12分）y（x）-x+aInjc已知巡，CD讨论旧的单渊曲（2

8、）若“）存在两个极值点在西证明：演三匚墟考题：22一在直角坐标系m?'中，曲线&的方程为¥=MX*2,以坐标原点为极点,，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标用呈为p:+2pcoSG-3=0<i）求孰的直角坐标方程（D若G与g有且仅有三个公共点，求G的方程对已知+卜战-1|口）当口=1时1求不等式”*：门的解集（2）若时，不等式外工成立，求口的取值范围2018年全国卷1理科数学全解全析阳友雄(519055)一、选择题：本题共12小题，每小题S分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意要求的。1 .设：=*+2八则闫二A.0B.-C.1D.42

9、2答案；C解析”=m貂+2，=+2，=，忖=1,故选。2 .已知集合/=卜-7-2>0,则qa=A.|x|-l<.v<2B.v|-l<x<2C.仲<-lU*k>2D.x|x-lUx|x>2答案：B解析：由题得.d:卜|(k-2)(.v+1)>0二卜|>2或vv-1.故g仁k|-1WW2,故选83.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后,其他

10、收入增加了一倍以上U新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入当第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案？A解析：设建设前总经济收入为100则建设后总经济收入为200对于小觥翻触人为100x60%=60,毂后种蒯入为200x37%=74,60<74,故描误；对于8,毂麒他收入为100x4%4建姊其他蚣为200x5%=10,10>2x4,版颐；对于C,建购耗收入为100x30%=30,电断养触入为200x30。二60,60=2x30,既正确；对于D,毂后，槌收入占30%,第三产业收入占28%,30%+28%=58%>50%,故D正礁4啊为等差鲫心的前项涮若3$

11、二S"4,q=2,则=A.-12B,-10C.10D.12答案：B期:岫为黠妍眺=S2+M贿3卜+¥4二.4+的+?4肥廿2/=0又由甘2,舸御二3枷5对+4d=2+4xH=-10,雌B5,凝数作)4+(。刊八必,若阳为奇麟,购=/(力蛾梯(QQ)娜I切线方程为A.y=-2xB.)'-XC.v=2,rD.'二Ir答案:D糊:因为/)是奇酸,蒯”=训)，8P-l+a-l-a=-(l+(fl-l)+fl)六LB/(x)=x3+x,故/卜”3f+1,/(0)二1,物线摊为：FI,Wft6衽瞅中，北为BC址的怫E为D钟点则原（）A.2n/17B.2石C.3D.2答案

12、：B,如图，最短路径pB|=亚方=故选B28.设抛物线c：,v2=4.v的焦点为尸，过点(-2.0)且斜率为方的直线与C交于W,N两点，则屈.丽=()A.5B.6C.7D.8答案：D解析：由直线过点(-2,0)且斜率为:故可得直线MN为)，=5(x+2),联立直线A/N与抛2y=(x+2)x=1x=4/、/、物线，3,解得或故可设则N(4,4),又由抛物线焦/-1y=2B二4点尸(1.0),故由=(0,2),丽=(3,4),所以西或二0x3+2x4=8.故选09.已知函数二若g(X)存在2个零点，则的取值范围是x40.Ag(x)=f(x)+x+a，In.r,x>0,A.-LO)B,O,y

13、>)C.-L+oo)D.1.+OO)解析：gG)有两个零点等价于/(x)与p=-x-。有两个交点,由图可知，当一。41,即2-1时，y与/(x)有两个交点，故选C10.下图来自古希腊数学家西波尔克拉底所研究的结合图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形5。的斜边5C,直角边.4R/C.ZUBC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,m的概率分别为Pi，p2»p3»则()AA.pi=pBpi=p3C.p1=P3Dpi=p/pa答案：A解析:假设NO=2。.AB=2b,BC=2c,由三角形4

14、BC是直角三角形.故有NC2+Rg2=4(72,即(2)2+(26/=(2°/，即有2+/=02,故区域I的面积为212/2生兰=2ab,区域II的面积为二+三一-2ab=2ab,区域HI的面积为22212J2ab=-幻-2。6,又由于总区域固定，故四=02,即选”1L已知双曲线C:三-丁=1,。为坐标原点，尸为。的右焦点，过点厂的直线与。的两条渐近线的交点分别为时，N,若OMN为直角三角形，贝iJJAW|=A.彳B.3C.26D.-答案：B解析：4FON=4FOM=3S,在町OMF中，OM=OF.cos36=百在RrAOMN中,W=OA/tan60°=3N2-12.已知正

15、方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为A.手答案：AB孚D,史2解析：如图所示平面乂与C与平面的所有棱所成角都相等，小故a平面工用。,构造平面MNPQRS/平面月片。,设&S=x,SP=0则，SR=PQ=MN=42xSM=RQ=PN=4Q-x）故/c了以一声二一S六边形=SsRQp+S&MO=也+何7)屈X6+6x厢17)=/工2?)22+22-T*+3-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。x-2y-20,13.若x,了满足条件1-.1，+1之0,则二=3x+2y的最大值为y<0,答案：6；解析：作出约束区

16、域如图所示，目标函数化为y=-*T+=.22当直线v=三经过(2.0)时有最大截距，且此时二取得力22故当x=2»=0时二取得最大值二皿、=3x2+2x0=6.14 .记S”为数列2的前项和.若S.=2a”+1,则Sg=答案：-63解析：由题意，当=1时，a=2<71+1»解得q=-1.当"N2时，4=Sr-Si=(2%+1)-(2q-+1)=2an-2al化简得q=21(刀之2).故%是以-1为首项，2为公比的等比数列，因此$6=注詈2=-63.15 .从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，选法共有种.(用数字填写答案)当cosx

17、<；,BP2k+<.v<2k7：+(A*eZ),/(x)单调递减：233所以当X=2k;r-工(kEZ)时，f(x)取得最小值.不妨令k=0,取x=-三代入/(X)得/(x)a=2sin(U)+sin(-)=正3332三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。17. (12分)在平面四边形/BCD中，ZADC=90°,乙1=45°,AB=2,BD=5.(1)求cosZJDB；(2)若DC=2近,求8c.DnADC)解析：(1)在48。中，由正弦定理可知：sniAsuiZADBV2sinZAD

18、B2J7)>23/.sinLADB=由(sin/JO87+(cos乙103)-=1得：(cosZJDBf、一、,:Z.ADBGjO.-ycos乙1D8=(2) vLADC=90°cosZBDC=cos-Z.4DB；=siiiAW5='I2J5T7I-/n5D2+DC2-BC225+8-BC26乂由余弦定理知：cosZ.BDC=f=r-=2BDxDC2x5x2V25解得：8c2=25BC=518. (12分)如图，四边形/BCD为正方形，E/分别为4D,3c的中点，以。下为折痕把!)“折起，使点C到达点P的位置，且PFtBF.(1)证明：平面尸EF1平面BFD；(2)求。

19、P与平面4BFD所成角的正弦值.解析：(1)证明：vE,尸分别为D,2C的中点，四边形U3CD为正方形EFIIAB,BC1AB；BC1EF./PF1BF,PF1BC,而：EFcPF=F.8C1平面尸£尸，而：BCc平面43FD.平面PEF1平面月(2)记正方形498边长为2。,(。>0),贝的DC=EF=.4D=BC=2a,DE=CF=n,且由翻折的性质可知：RtDPFRtDCF.,PF=CF=atPD=DC=2a,DF=>JDC2+FC2=yj(2a)2+a2=过P作PH上EF于H,连接。氏由(1)中知：平面。£尸，平面NBFD,解得:».PH=K=

20、E=与,所以当/1,甘所以当力卜,孝)时，直线4W方程为JIx2y2遮=0.sinAPDH=上=.BP：DP与平面月8尸。所成的角的正弦值为立PC2a4419. 设椭圆C：4+./=i的右焦点为尸，过F的直线，与。交于48两点，点M(2.0)(1)当/与X轴垂直时，求直线4W的方程；(2)设O为坐标原点，证明：AOMA=AOMB.解析：(1)依题意，右焦点厂(1,0),当/与k轴垂直时，则点力的坐标为1,±立,时，直线4W方程为JIx+2y25=0.(2)当直线/与x轴垂直时,根据对称性可知，kMA=-kMB,所以N3Z4=NOWS.当直线/不与x垂直时，设直线的方程为)，=左-1)

21、。“'r2,+1卜，一4£%+2k2-2=0联立方程组：L+/=')12,设，(演5)，皿%,为)，4k2"2.2则于诉1f=折T则J10+”0二"（4-2）+乃（-2）二k（N一1）（一2）+k（“一曲一2）2x2-2（演-2）（a,2-2）区-2）（x2-2）LK_K"/2-"%+%）+"八必十八/（苦-2）氏一2）4左2_412k22xx73(x+x>)+4=-zf4=01 2122k2+12k2+1kyL4+=0././DMA=/OMR.20. (12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品

22、在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格的概率都为p(O<p<l)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/)，求/()的最大值点(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的/作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；(ii)以检验费用与赔偿

23、费用和的期望值作为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析：(1)/(p)=C；op2(_p)i8p(0Qfp)=2C；°p(lpF-18C；°p2(i_py7=2C；°p(lp)"(11Op)8/12令八p)=O,.p=。当op<时，r(p)>oj(p)单调递增；当，<p<l时，(p)<OJ(p)单调递减。所以，当。='时，/(P)有最大.Po=O.L(2)(1)由题意可知，p=0.1,设剩余180件产品中恰有y件是不合格品.则丫8(18001).,-.X=25F+20x2=257+40.EX=£

24、(25F+40)=25EY+40=25x180x0.1+40=490.(ii)若对余下产品进行质检时，则质检费用与赔偿费用之和为400元,因为400V490,所以需要检验.21. (12分)已知函数y+41nx.(1)讨论的单调性;(2)若/()存在两个极点丹心，证明：/二3Lz1X-、1.。工一一。工+1,八、解析：（1）f（X）=r-l+-=（X>O）XXX当时，/(x)<0,此时/(X)在(0,+S)上单调递减;当4>0时，令g(X)=K2-4X+1,判别式二,一4i)当A40时，此时0<W2,g(x)>0,从而/(工)40,/。,)在(0.4<0)上

25、单调递减；ii)当>()时，此时。>2,设g(x)=0的两根为，X?,且可<修，利用求根公式得a-yjcr-4八q+八x=>0.K=>01?490当工e(0,),(立,包)时，g(工)>0,从而/(x)<0,/(.v)在(0,)和(工2,y)单调递减;当。2时，/（x）在（0、和,+s）上单调递减，在（"*4,+*：T）上单调递增.7?AvJ（2）由（I）可知，若f（x）有两个极值点，则a2,且/'（.V）=0的两根即为内,修（nv超），且满足韦达定理玉+&=a,xxx2=1,易得0不1,占1,X,=,因/（x）=_LK+al

26、nx,可得/（k,）+/（-L）=o,即/（4）+/（$）=0,工一x2若要证,/（）一/（工）V42,只须证2/（工）V42,即证2/（招）（。一2）（内一1"）,演-x2x2-演x2整理得2。11】壬一心,+0（X）1）,-X2-构造函数h（x）=2anx-ax+-（x）,求导得力（R二M一一二二生二！£。,KXX-X-因此力（k）在（L+o。）上单调递减，.二人v=0,2alnx2-ax2+0（x21）x2成立，原式得证.附第（2）问另解由（1）可知，若/（）有两个极值点，则a2,且/（x）=0的两根即为演，戈2（$），且满足韦达定理M+K,=。，XjX,=1,易得0

27、V%1,A；=,令,心.）二八二一八%）=/5）-小）一演"一(&-Inx,)工/21ta(hix2-InxJ=c4(1114-h】$)/一%<1,即111±<占-工HW/、CL/H.FhlX?-hlX电一*1若要证人(k)=，'.<”2,只须证一L1011由于一,上式可转化为lnx二21nx）VK）<=>21ha-x,+<0,（:）构造函数p(x)=2Inx-k+(x>1)X.?1则p(x)=17=Xx.Gv-1)2<0,故p（k）vp（l）=0,故（X）式成立，原结论得证.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系x°y中，曲线G的方程为丁=左忖+2,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为"+2pc。®3=0.（1）求g的直角坐标方程；（2）若G与。2有且仅有三个公共点