6-弹塑性力学-基本求解方法

1、16.1 6.1 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程 回顾：回顾：l应力平衡微分方程（应力平衡微分方程（3）l几何方程（几何方程（6）l物理方程（物理方程（6）边界条件方程边界条件方程 2 6.2 6.2 弹性力学的基本问题弹性力学的基本问题已知表面载荷，求应力场已知表面载荷，求应力场 、应变场、应变场 和位移和位移 力的边值问题；力的边值问题； 已知表面位移，求应力场已知表面位移，求应力场 、应变场、应变场 位移边值问题；位移边值问题；已知部分边界载荷及部分边界位移，求应力场已知部分边界载荷及部分边界位移，求应力场 、应变场、应变场 和位移和位移 混合边值问题。混合边值问题。 15个未知量

2、：应力分量个未知量：应力分量6个，应变分量个，应变分量6个，位移分量个，位移分量3个个 15个方程：应力平衡微分方程（个方程：应力平衡微分方程（3），几何方程（），几何方程（6），）， 物理方程（物理方程（6） 理论上可解，实际上并不可解。为什么？理论上可解，实际上并不可解。为什么？ 3q弹性力学的基本求解方法弹性力学的基本求解方法位移法：以位移作为未知量进行求解的方法位移法：以位移作为未知量进行求解的方法 理论上可解，实际上弹性力学并没有沿着这种思路发展，但这种思路在理论上可解，实际上弹性力学并没有沿着这种思路发展，但这种思路在解空间问题时很有用。可以证明，用这种方法求解的位移肯定是连续的。

3、解空间问题时很有用。可以证明，用这种方法求解的位移肯定是连续的。 22222222222211()012211()0122EuuvXxyx yEvvuYyxx y 221()() 121()() 12ssssEuvuvmXxyyxEvuvulYyxxy对于第一种边界条件对于第一种边界条件 （平面问题）（平面问题）对于第二种边界条件对于第二种边界条件 （平面问题）（平面问题）4q应力法：应力法： 以应力作为未知量进行求解的方法以应力作为未知量进行求解的方法. 如何保证求解结果一定连续？如何保证求解结果一定连续？ 应力函数应力函数 (stress function) 应力表示的相容方程（平面问题）

4、应力表示的相容方程（平面问题） 借助平衡微分方程把剪应力去掉，即由物理方程借助平衡微分方程把剪应力去掉，即由物理方程 可得可得 在常体力下在常体力下 于是有于是有 即即 ， 其中其中 拉普拉斯算子）拉普拉斯算子） 物理意义：表征应力的连续性。物理意义：表征应力的连续性。 可以证明，应力满足了相容方程，也就满足了应力平衡条件。可以证明，应力满足了相容方程，也就满足了应力平衡条件。2()0 xy0XYxy2222()()(1)()xyXYxyxy 2222()()0 xyxy22222xy5q应力函数的引入应力函数的引入 定义：定义： 条件：条件： ； 应力平衡微分方程；应力平衡微分方程； 相容方

5、程。相容方程。 平面问题：（直角坐标系）平面问题：（直角坐标系） 或或yxxyxyyx22222ij444422420 xxxy220 6v逆解法逆解法(inverse resolution) 思路：思路：1. 假设出满足相容方程的应力函数；假设出满足相容方程的应力函数； 2. 由应力函数求解出各应力分量；由应力函数求解出各应力分量； 3. 确定这些应力分量在边界上的分布，从而得知这确定这些应力分量在边界上的分布，从而得知这 些假设的应力函数能解决什么问题。些假设的应力函数能解决什么问题。 例如：例如： 1. (一阶一阶) 满足相容方程满足相容方程 表示无应力作用的情况。表示无应力作用的情况。

6、 220 ,()xya by cx 222220 xyx y 0 xyxy7v应力函数应力函数逆解法逆解法 2 满足相容方程满足相容方程 y方向受单向拉应力作用（如图方向受单向拉应力作用（如图6-1（a）。）。 3 满足相容方程满足相容方程 x方向受单向拉应力作用（如图方向受单向拉应力作用（如图6-1（b）。）。 2( , )(0)x yaxa220 22220,2 ,0 xyxyayx2( , )(0)x ycyc220 2 ,0 xyxyc8v应力函数应力函数逆解法逆解法 4 满足相容方程满足相容方程 受纯剪应力作用受纯剪应力作用 （如图（如图6-1（c）。）。 5 满足相容方程满足相容方

7、程 一般的平面应力状态（如图一般的平面应力状态（如图6-1（d）。）。 220 220 ( , )(0)x ybxyb20,xyxybx y 22( , )( , ,0)x yaxbxycya b c2 ,2 ,xyxycab 9v应力函数应力函数逆解法逆解法 6 满足相容方程满足相容方程 受纯弯曲载荷作用（如图受纯弯曲载荷作用（如图6-1（f）。）。 7 只有只有 才能满足双调和函数的条件。所以才能满足双调和函数的条件。所以4次次和和4次以上的函数不能恒等地满足双调和函数的条件。次以上的函数不能恒等地满足双调和函数的条件。 220 3( , )(0)x yaya,0 xyxybay43223

8、4( , )x yaxbx y cx ydxyey444422424 ,28 ,24acexxyy 248240ace10v应力函数应力函数逆解法逆解法 11v应力函数应力函数逆解法逆解法 8如图，简支梁受自重作用，比重力如图，简支梁受自重作用，比重力r，那么函数，那么函数 能否作其应力函数？能否作其应力函数？ 若能，求应力分量。若能，求应力分量。 解：解：将代入双调和函数中，将代入双调和函数中， 可得只有当可得只有当A+5B=0时，时， 才能满足才能满足 。 即当即当A=-5B时，题中函数时，题中函数 才可作应力函数。才可作应力函数。 23532Ax yByCyDx y220 12v应力函数

9、应力函数逆解法逆解法 于是有应力分量：于是有应力分量： 利用边界条件：利用边界条件： 223230206xBx yBycyy 232102yryByDyryx 23302xyBxyDxx y / 2/2/2/22()0()0()0hxyyhyyhlxhxMydy13v应力函数应力函数逆解法逆解法 于是可求得：于是可求得： 所以所以2223,10 ,544rl rBCr Drhhxyxy14v应力函数应力函数逆解法逆解法 总结：应力函数设计总结：应力函数设计 1集中载荷集中载荷按材料力学方法求解按材料力学方法求解 2均布载荷均布载荷 3线性分布载荷线性分布载荷 4非线性分布载荷非线性分布载荷 2

10、()if x3()if x48()iif xx15v应力函数应力函数半逆解法半逆解法 思路：根据弹性体边界形状及受力特点，假设部分应力分量，再由思路：根据弹性体边界形状及受力特点，假设部分应力分量，再由部分应力分量推导出应力函数，由应力函数推导出全部应力分量，再考部分应力分量推导出应力函数，由应力函数推导出全部应力分量，再考察这些应力分量是否满足边界条件。察这些应力分量是否满足边界条件。 半逆解法例题：半逆解法例题： 如图，水坝受水压和自重作用，如图，水坝受水压和自重作用， 求坝体内的应力场。求坝体内的应力场。 16v应力函数应力函数半逆解法半逆解法 解：分析：解：分析：水压水压 ，单位坝体重

11、，单位坝体重 （ 分别为水和密体的密度）分别为水和密体的密度） 在在OA面上无面力（自由表面），在面上无面力（自由表面），在OB面上受水压面上受水压 q 作用（线性面力），作用（线性面力），因此，应力函数可以设计成坐标的三次函数。因此，应力函数可以设计成坐标的三次函数。 （a, b, c, d为待定参数）为待定参数） qgypgy , 3223( , )x yaxbx ycxydy17v应力函数应力函数半逆解法半逆解法 于是有应力分量：于是有应力分量：考察边界条件考察边界条件: 001006cgyxxdgxyx18v应力函数应力函数半逆解法半逆解法 在在OA面上无应力，则面上无应力，则 ()(

12、)0()()0cos sinlmx x ytgxy x ytgmly x ytgxy x ytglm()()gyl2bytgm 06a ytg2bygy m2bytgl0 19v应力函数应力函数半逆解法半逆解法 从而得坝体内的应力场为：从而得坝体内的应力场为： 3ctgctg632ctg2gagb32(2)()2gyxgctggctgxgctgg yygxctgxy20v位移法应用位移法应用错配球错配球 如图，求金属体内错配球引起的应力场、应变场和应变能。如图，求金属体内错配球引起的应力场、应变场和应变能。 21v位移法应用位移法应用错配球错配球 解：设基体为均质、各向同性体，基体质点半径为解

13、：设基体为均质、各向同性体，基体质点半径为 ,错配粒子为刚性错配粒子为刚性 球球, 半径为半径为 ，并有，并有 则则 错配度错配度 分析：基体变形为球对称变形，则分析：基体变形为球对称变形，则边界条件：边界条件： （符合圣维南原理）（符合圣维南原理） 0r1r10rr0100(1) ,rrrrr1( =)0ru 0uu,0rru22v位移法应用位移法应用错配球错配球根据应力平衡微分方程根据应力平衡微分方程 有有 （球对称问题的一般应力平衡微分方程）（球对称问题的一般应力平衡微分方程） 由根据广义虎克定律由根据广义虎克定律 0R 11(2)0sinrrrrrctgrrrr 10(2)0rrrrr

14、r22rrruGGr(,)(1)(1 2 )rE 拉梅常数23v位移法应用位移法应用错配球错配球 由由 可得可得 对于应力平衡微分方程，对于应力平衡微分方程， 是是r的函数，与的函数，与和无关，故可写为和无关，故可写为 代入几何方程和物理方程，整理可得代入几何方程和物理方程，整理可得 0uurururururrrrrr2,r1(2)0rrddrr222220rrrd uduudrr drr24v位移法应用位移法应用错配球错配球 解此微分方程，其一般解为：解此微分方程，其一般解为： 由由 时时 由由 时时 由几何方程可得由几何方程可得 （-）压应变）压应变 （+）拉应变）拉应变 212rCuC rrr 100ruC1rr22302000