1.2洛朗Laurent级数展开ppt课件

1、3.5 洛朗洛朗(Laurent)级数展开级数展开知：当知：当f(z)在圆在圆|z-z0|R内解析时，内解析时，Taylor定理定理告诉我们，告诉我们， f(z)可展开成幂级数。可展开成幂级数。问题的提出问题的提出为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在孤立奇点孤立奇点z0邻域上的展开式。邻域上的展开式。考虑：当考虑：当f(z)在圆在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。一、双边幂级数一、双边幂级数(含有正、负幂项含有正、负幂项)00)(kkkzza.)(.)()(

2、 )()(.)(.)(020201010120200kkkkkkkzzazzazzaazzazzazzazza其中其中正幂部分称为正幂部分称为 解析解析(正则正则)部分，部分，负幂部分称为负幂部分称为 主要主要(无限无限)部分。部分。10)(kkkzza收敛区域收敛区域( (环环) )的确定：的确定：正则部分正则部分 收敛收敛( (圆圆) )区域为：区域为：负幂部分负幂部分 令令 那么那么设设 即负幂部分在即负幂部分在|z-z0|=R2|z-z0|=R2的圆外收敛。的圆外收敛。00)(kkkzza )(10kkkzza)0( |110RRzz01zz .33221aaa21|RR 0|220R

3、Rzz，由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性。的敛散性来定义原级数的敛散性。规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和。数与负幂项级数的和。讨论：讨论：(1)若若R1R2，则双边幂级数就在，则双边幂级数就在R2|z-z0|R1环状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。环状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，

4、在环外发散，在环上敛散性不定。发散，在环上敛散性不定。正则部分正则部分 主要部分主要部分00)(kkkzza10)(kkkzza01zz 收敛环收敛环R2|z-z0|R1双边幂级数的性质双边幂级数的性质定理定理1：双边幂级数：双边幂级数 在收敛环上的和函数是一解在收敛环上的和函数是一解析函数，并且在任意较小的析函数，并且在任意较小的闭圆环上闭圆环上 一致收一致收敛。敛。kkkzza)(011022|RRzzRR定理定理2：设双边幂级数：设双边幂级数 的收敛环的收敛环B为为R2|z-z0|R1，则，则f(z)(1) 在在B内连续；内连续；(2) 在在B内解析，且逐项可导；内解析，且逐项可导；(3

5、) 在在B内可逐项积分。内可逐项积分。kkkzzazf)()(0定理定理3：设函数：设函数f(z)在环状区域在环状区域R2|z-z0|R1的内的内 部单值解析，则对于环内任一点部单值解析，则对于环内任一点z，f(z) 必可展开成必可展开成 ，其中，其中kkkzzazf)()(0Ckkdzfia10)()(21称为洛朗系数，称为洛朗系数，C为环为环域内按逆时针方向绕内域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线圆一周的任一闭合曲线(也可取圆周也可取圆周)几点说明：几点说明：(1) z=z0(1) z=z0(即展开中心即展开中心) )可能不是可能不是f(z)f(z)的奇点，但的奇点，但 在在|z-z0

6、|R2|z-z0|R2上，存在奇点上，存在奇点( (即内圆以内即内圆以内存在存在 奇点奇点) )；(2) (2) 洛朗系数洛朗系数 ，因为，因为 成立的条件是成立的条件是f(z)f(z)在在C C内解析；内解析；(3) (3) 洛朗展开的唯一性；洛朗展开的唯一性；!)(0)(kzfakkCkkdzfikzf100)()()(2!)(4) (4) 如果只有环心如果只有环心z0z0是是f(z)f(z)的奇点，则内圆半径可的奇点，则内圆半径可以任意小，同时以任意小，同时z z可以无限地接近可以无限地接近z0z0点，这时就称点，这时就称 为为f(z)f(z)在它的孤立奇点在它的孤立奇点z0z0的邻域内

7、的洛的邻域内的洛朗展开式。若朗展开式。若f(z)f(z)在在z0z0不解析不解析( (不可微或无意义不可微或无意义) )，而在去心邻域而在去心邻域0|z-z0|0|z-z0|内解析，则称内解析，则称z=z0z=z0是是f(z)f(z)的孤立奇点。若在的孤立奇点。若在z0z0无论多么小的邻域内，总有除无论多么小的邻域内，总有除z0z0外的奇点，则称外的奇点，则称z0z0为为f(z)f(z)的非孤立奇点。的非孤立奇点。泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域域R2|z-z0|R1R2|z-z0|R1内的洛朗级数也具有。内的洛朗级数也具有。在收敛圆环

8、域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积分、和函数是解析函数。分、和函数是解析函数。kkkzza)(0求洛朗展开式的系数求洛朗展开式的系数Cn洛朗展开式的系数洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦用公式计算是很麻烦的，的， 由洛朗级数的唯一性，我们可用别的由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这样往往更便利分等方法展开，这样往往更便利(即间接展即间接展开法开法) 。同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同；由洛朗级数的唯一性可知，级数

9、一般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。级数一定相同。例例1：在：在z0=0的邻域上把的邻域上把 展开。展开。 zzsinzzzfsin)(有孤立奇点有孤立奇点z=0，并在，并在0|z|内有内有)|0( .! 5! 31)!12()1(1sin)(04212zzznzzzzzfnnn无负幂无负幂项项若定义若定义那么那么 为为f1(z)的泰勒级数的泰勒级数 0 10 sin)(1zzzzzf实际是对实际是对f(z)f(z)的解析延拓的解析延拓)| ( )!12()1(0 10 sin)(021znzzzzzzfnnn

10、例例2：将：将 分别在区域分别在区域|z|1、1|z|以及以及z0=1的邻域上展成洛朗级数。的邻域上展成洛朗级数。 f(z)的奇点为的奇点为z=1，展开中心，展开中心z0=0不是奇不是奇 点，点，z0=1是奇点。是奇点。 (1)若在若在|z|1上，只可展开为泰勒级数上，只可展开为泰勒级数11)(2zzf02022 )( 11)(kkkkzzzzf(2)(2) 无穷多个负幂项，但无穷多个负幂项，但z0=0z0=0不是不是f(z)f(z)的奇的奇点点(3)(3)展开中心展开中心z0=1 z0=1 ，为奇点，为奇点第一项已经是展开式的一项，第二项第一项已经是展开式的一项，第二项z=1z=1不是不是奇

11、点，奇点，z=-1z=-1是奇点，可在是奇点，可在|z-1|2|z-1|2上展开为泰上展开为泰勒级数勒级数012022222111 /111111)(kkkkzzzzzzzf111121)1)(1(111)(2zzzzzzf021)1(412/)1(11412)1(1211121 kkkzzzzkkkkkkkkkkkzzzzzzf)1(21)1( 2)1()1(1121 21)1(411121)(1210210有限项负幂项有限项负幂项例例3：将函数：将函数 在区域在区域|z|1、1|z|2、2|z|内展成洛朗级数。内展成洛朗级数。(1)在在|z|1内，有内，有|z/2|1 无负幂项，因为无负幂

12、项，因为f(z)在圆域在圆域|z|1内处处解析。内处处解析。)2)(1(1)(zzzfzzzzzf2111)2)(1(1)(002212/11212111kkkkkzzzzz1| 211221)(0100zzzzzfkkkkkkkk(2)(2)在在1|z|21|z|2内，有内，有|1/z|1|1/z|1(3)(3)在在2|z|2|z|1|z/2|1，有，有|2/z|1|2/z|1，|1/z|1|1/z|1)2|1 ( 12 12 11221 )/11 (1)2/1 (21)(101010100zzzzzzzzzzzzfkkkkkkkkkkkkkkk无限多项正幂项和负幂项无限多项正幂项和负幂项)

13、|2( 121121 )/11 (1)/21 (1 1121)(000zzzzzzzzzzzzzfkkkkkkkk无正幂项和无限多项负幂项无正幂项和无限多项负幂项例例4：将：将 在在0|z|1及及1|z|上展成洛朗级数。上展成洛朗级数。(1)在在0|z|1内内222)1(1zz2222211211)1(1zdzdzzzz令令n=k-2(2)(2)在在1 |z| 1 |z| 内内012302322121kkkkzkzzdzdz236226222/11121)/11 (1)1(1 zdzdzzzzzz01230231)2(21121kkkkzkzzdzdz令令n=-(k+2)|1 ( )2(22zznnn)1|0( )2(22zznnn例例5：把：把 在以在以z=0为中心的圆环区域内展成洛为中心的圆环区域内展成洛朗级数。朗级数。例：把函数例：把函数 在在0|z