1.2集合与函数...ppt课件

1、(calculus)数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙. . 培根培根2集集 合合(set)(set)小结小结 思考题思考题 作业作业函函 数数(function)(function)1.1 集合与函数集合与函数具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该组成这个集合的事物称为该一、集合一、集合 集合集合元素元素(简称元简称元)(集集)元素元素(element).(element).集合的集合的通常以大写字母通常以大写字母,MBA等表示集合等表示集合,以小写字母以小写字母等表示集合的元素等表示集合的元素.,mba;Aa Aa 否则记否则记记作记作

2、或或.Aa 若若a是是A的元素的元素,则说则说a属于属于A,1.1 集合与函数集合与函数).(记记作作空集空集. .不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为1. 集合集合(set)的概念的概念34集合分类集合分类 有限集有限集无限集无限集只含有限个元素只含有限个元素;不是有限集的集合不是有限集的集合.列举法列举法表示集合方法有两种表示集合方法有两种 描述法描述法 把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来, 例例 考察由下列元素考察由下列元素 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9可以用列举法将其表示成可以用列举法将其表示成9, 8, 7, 6, 5, 4, 3

3、, 2, 1 , 0列举法有很大的局限性列举法有很大的局限性.组成的集合组成的集合A, A外加花括号外加花括号.1.1 集合与函数集合与函数1.1 集合与函数集合与函数5xPx具有性质具有性质如如: :由不超过由不超过1010的奇数组成的集合的奇数组成的集合,其元素有其元素有50亿个亿个, 要把它们全部写出来要把它们全部写出来,且有很多集合且有很多集合, 其元素是其元素是很多纸张很多纸张!根本无法一一罗列出来根本无法一一罗列出来.得用得用很多时间很多时间,不可数的不可数的, 更常用的是列出规定这个集合特定性质更常用的是列出规定这个集合特定性质P 就是就是 描述法描述法. . M花括号中竖线前的

4、花括号中竖线前的x而竖线后而竖线后x是是 M 中元素的通用符号中元素的通用符号,则是则是 x 所具有的性质所具有的性质.Px具有性质具有性质 的办法来表示集合的办法来表示集合,可用列举法表示为可用列举法表示为.0322 xxx0322 xx的根组成的集合的根组成的集合也可用描述法表示为也可用描述法表示为,3 , 1 例例 由方程由方程62. 区间区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数区间是指介于某两个实数之间的全体实数. ba 且且bxax 称为称为),(ba记作记作bxax 称为称为,ba记记作作这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,都都是是实实数数和和设

5、设ba开区间开区间, ,闭区间闭区间, ,xOabxOab1.1 集合与函数集合与函数7bxax bxax 称为称为),ba记作记作,(ba记记作作),xaxa ),(bxxb 有限区间有限区间无限区间无限区间半开半闭区间半开半闭区间. . 全体实数的集合全体实数的集合R 也可记作也可记作),( 是无限区间是无限区间.xOaxOb1.1 集合与函数集合与函数83. 邻域邻域(neighborhood). 0, 且且是是两两个个实实数数与与设设a,为中心为中心点点a为为半半径径 ),( aU| axx 的的称称为为点点a 数集数集即即 邻域邻域, 记作记作它它是是以以.的开区间的开区间几何表示几

6、何表示:),(表表示示 aU.的的全全体体的的一一切切点点距距离离小小于于与与点点xa . axaxxO a a a).,( aU1.1 集合与函数集合与函数9),( aU 有时简记为有时简记为).(aU),( aU记作记作,邻域邻域的的 去心去心( (空心空心) ) 0. axx ),( aU 即即ax 开区间开区间开区间开区间),(aa ,邻域邻域左左 ),( aa.邻域邻域右右 点点a的的称为称为a的的称为称为a的的1.1 集合与函数集合与函数104. 逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号. 、 “ ”表示表示 “任取任取 ”, 或或

7、“任意给定任意给定”.“ ” 表示表示 或或“能够找到能够找到”. 如如 实数的阿基米德实数的阿基米德 公理是这样叙述的公理是这样叙述的:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,. bna 使使得得用逻辑符号用逻辑符号, 和和将阿基米德公理改写将阿基米德公理改写: . bna 使使得得 , 0, ba,Nn Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写1.1 集合与函数集合与函数“存在存在 ”, “至少存在一个至少存在一个”,11二、函数二、函数(function)1.

8、1 集合与函数集合与函数 定义定义 设有两个变量设有两个变量 x 和和 y ,自变量自变量因变量因变量定义域定义域记作记作变量变量y的取值的集合称为函数的值域的取值的集合称为函数的值域(range),即即.),(|)()(DxxfyyXffR x的变化域为的变化域为D,如果对于如果对于D中的每一个中的每一个 x 值值, 按照一定的法则按照一定的法则 f,变量变量 y 总有唯一的数值与之对应总有唯一的数值与之对应,则称则称y为为x的函数的函数(function),1. 函数概念函数概念),(xfy ,Dx 12注注(1) 函数的记号函数的记号: 除常用的除常用的f 外外,可任意选取可任意选取,如

9、如 、Fg相应地相应地, 函数可记作函数可记作:),(xgy 等等,)(),(xyxFy 等等,也可记作也可记作:y)(x y在同一个问题中在同一个问题中, 讨论到几个不同的函数时讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数则必须用不同的记号分别表示这些函数, 以示区别以示区别.1.1 集合与函数集合与函数13(2) 对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为如如xy 是多值函数是多值函数,它的两个单值分支是它的两个单值分支是:,xy 单值函数单值函数, ,多值函数多值函数. .约定约定:.xy 今后无特别说明时今后无特别说明时, 函数是指单值函数函数是指单

10、值函数.这种函数称为这种函数称为(3) 构成函数的构成函数的xyxylg2lg2 、是两个不同的函数是两个不同的函数.(因为定义域不同因为定义域不同).如如定义域定义域 Df 与对应法则与对应法则 f .两个要素两个要素:,Dx 对对1.1 集合与函数集合与函数14 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即即简称函数表示法的简称函数表示法的(4)而与用什么字母无关而与用什么字母无关,无关特性无关特性. .xut )()()(fff1.1 集合与函数集合与函数15定义域一般有两种定义域一般有两种:(1)自变量所能取的使算式有意义的一切自变量所能取的使算式有意义

11、的一切由问题的实际意义所确定由问题的实际意义所确定.(2)实际问题实际问题(几何或物理问题几何或物理问题);在纯数学的研究中在纯数学的研究中 (函数由一个公式函数由一个公式实数组成的集合实数组成的集合,这种定义域称为这种定义域称为自然定义域自然定义域. .表示的表示的).1.1 集合与函数集合与函数16例例 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:)16(log)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4 , 2()2 , 1(022 xx.2 , 1()1 ,21(01 x11 x1712 x定义域是定义域是定义域是定义域是012 x0162 x

12、 )2(112 x1.1 集合与函数集合与函数17常用的函数关系表示法是多种多样的常用的函数关系表示法是多种多样的. 公式法公式法(解析法解析法);主要有三种形式主要有三种形式表格法表格法.各种表示法各种表示法, 都有其优点和不足都有其优点和不足. 图形法图形法;公式法公式法(解析法解析法)图形法图形法表格法表格法今后以公式法为主今后以公式法为主, 便于进行理论分析和计算便于进行理论分析和计算;形象直观形象直观, 富有启发性富有启发性, 便于记忆便于记忆;便于查找函数值便于查找函数值, 但它常常是不完全的但它常常是不完全的.也可用语言描述也可用语言描述.配合使用图形法和表格法配合使用图形法和表

13、格法. 需特别指出的是需特别指出的是, 公式法不一定仅用一个公式表示公式法不一定仅用一个公式表示函数函数. 1.1 集合与函数集合与函数18例例 某商店对一种商品的售价规定如下某商店对一种商品的售价规定如下: 购买量购买量 )(xfy50 x105 x10 xx8 . 058 . 0 有些函数有些函数 58 . 0分段函数分段函数. .)10(4 . 0 x)5(6 . 0 x称为称为函数关系也不同函数关系也不同,除了可用一个数学式子表示函数外除了可用一个数学式子表示函数外,随着自变量取不同的值随着自变量取不同的值,这种函数这种函数不超过不超过5千克时千克时, 每千克每千克0.8元元; 购买量

14、大于购买量大于5千克而不千克而不超过超过10千克时千克时, 若购买若购买 x 千克的费用记为千克的费用记为 f (x), 那那么么购买量大于购买量大于10千克时千克时, 超过超过10千克部分每千克千克部分每千克0.4元元, 56 . 0 x6 . 01 x4 . 03 元元;在自然科学、工程技术和经济学中在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形经常会遇到分段函数的情形.其中超过其中超过5千克部分优惠价每千克千克部分优惠价每千克0.6xyO5101.1 集合与函数集合与函数19 用分段函数表示函数用分段函数表示函数,13 xy分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义

15、域上是一个函数,答案答案: 1),1(31),1(3xxxxy即即 1,41,2xxxxy注注而不是几个函数而不是几个函数!13.xyO并画出并画出其图形其图形. 2 41.1 集合与函数集合与函数20几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数绝对值函数绝对值函数例例 | xy, 0 x0 x ,x,x 定义域),( D值域值域)., 0 RxyO| xy 1.1 集合与函数集合与函数21xyO符号函数符号函数 xysgn|sgnxxx 定义域),( D值域值域.1 , 0 , 1 R对对例例, 0 x,1, 0 x,00 x,1 11 ,R x有有或或.sgn|xxx 1.1 集合与函数集合与

16、函数22xyo 3 2 1 1 4 1 22 1 2 3 取整函数取整函数如如5 . 25 例例,n Z,1 nnxn当当xy 2 2 . 55 9 . 77 55 . 2 3 xy 阶梯曲线阶梯曲线 定义域),( D值域值域表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数R = Z1.1 集合与函数集合与函数23例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数 y,Q x.QCx 狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859(x为有理函数为有理函数)(x为无理函数为无理函数), 1, 0 定义域),( D值域值域.1 , 0 R由于有理数和无理数在实数集中稠密由于有理数和无理数在实数集中稠密

17、,因此只能画出它的象征性的图像因此只能画出它的象征性的图像. 有理数点有理数点无理数点无理数点 xyO11.1 集合与函数集合与函数例例 取最值函数取最值函数),(),(maxxgxfy ),(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg).(gfDDD ).(gfDDD 25有界性有界性 (bounded)设函数设函数y = f (x)在区间在区间I上有定义上有定义,Axf )(则说则说 f (x) 在区间在区间I上有上上有上 界界.),)(Bxf (下下), Ix 使得对所有使得对所有若存在若存在常数常数A都有都有(B),3. 函数的几种特性函数的几种特性1.1 集

18、合与函数集合与函数26 若存在常数若存在常数使得对所有使得对所有, Ix Mxf )(则称则称 f (x) 在在I上有界上有界. 在在 I上无界上无界;MxfM )(, 0 M都有都有 若这样的若这样的M 不存在不存在, 则称则称 f (x)即为对于任何即为对于任何, 0 M 总存在总存在,0Ix ,)(0Mxf 使使则称则称 f (x) 在在 I上无界上无界.有界有界无界无界xyOab)(xfMM ,baI xyO20 xMxy1 )2 , 0( I1.1 集合与函数集合与函数27在定义域上有界的函数叫做在定义域上有界的函数叫做例例xysin 是有界函数是有界函数;xy1 是无界函数是无界函

19、数, 但它在区间但它在区间 在区间在区间上上), 1( 注 一定要把区间明确出来!显然显然,(bounded function)有界函数有界函数. .有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.有下界有下界,有界有界. 若若f (x) 在在I上有界上有界,不是唯一的不是唯一的.则它在则它在I上的上界和下界均上的上界和下界均上上), 0( 1.1 集合与函数集合与函数28).(1)(2在在定定义义域域内内为为函函数数xxxf A. 有上界无下界有上界无下界B. 有下界无上界有下界无上界C. 有界有界, 21)(21 xf且且D. 有界且有界且31122 xx解解21)(xxxf 21|

20、xx |2|xx 21 |)|21(2xx C解题提示解题提示 将函数取绝对值将函数取绝对值, 然后用不等式然后用不等式放缩法放缩法.21)(21 xf故故1.1 集合与函数集合与函数29单调性单调性时时当当2121,xxIxx ),()(21xfxf 单调增加单调增加;.DI 如果对如果对恒有恒有xyOI)(xfy )(1xf)(2xf1x2x 设函数设函数 f (x)的定义域为的定义域为D, 区间区间则称函数则称函数 f (x)在区间在区间I上是上是1.1 集合与函数集合与函数30I 注 应指明单调区间, 否则会产生错误. 单调减少单调减少.)(xfy )(1xf)(2xf1x 2x .D

21、I 时时当当2121,xxIxx ),()(21xfxf 如果对如果对恒有恒有monotone decreasingxyO 设函数设函数 f (x)的定义域为的定义域为D, 区间区间则称函数则称函数 f (x)在区间在区间I上是上是1.1 集合与函数集合与函数31奇偶性奇偶性偶函数的图形偶函数的图形),()(xfxf 称称 f (x)为为偶函数偶函数); 有有对于对于,Dx xyO)( xf )(xfy )(xfxx 设设D关于原点对称关于原点对称,1.1 集合与函数集合与函数32),()(xfxf 奇函数的图形奇函数的图形称称f (x)为为奇函数奇函数.有有对于对于,Dx xyO)( xf

22、)(xf)(xfy xx 设设D关于原点对称关于原点对称,1.1 集合与函数集合与函数奇偶函数的运算性质奇偶函数的运算性质:(1) 两个奇两个奇(偶偶)函数的和仍为奇函数的和仍为奇(偶偶)函数函数;(2) 两个奇两个奇(偶偶)函数的乘积为偶函数函数的乘积为偶函数;(3) 偶函数与奇函数的乘积为奇函数偶函数与奇函数的乘积为奇函数.)1ln() 1 (2 xxy判别下列函数的奇偶性判别下列函数的奇偶性:)2111)()2( xaxFy.)(, 1, 0为为奇奇函函数数其其中中xFaa 奇函数奇函数偶函数偶函数34周期性周期性(periodicity)的周期的周期.)()(xfTxf ,Dx 使使得

23、得周期函数周期函数(period function).如果存在一个如果存在一个正数正数T,且总有且总有T 称为称为f (x)通常称周期函数的周期是指通常称周期函数的周期是指最小正周期最小正周期. .周期为周期为T 的周期函数的周期函数,)(DTx 有23T23T 2T 2TOxy设函数设函数 f (x)的定义域为的定义域为D,则称则称f (x)是是1.1 集合与函数集合与函数354. 生成新函数的几种运算生成新函数的几种运算(1) 设函数设函数 f (x), g(x)的定义域分别为的定义域分别为D1, D2,21DDD , 则可定义这两个函数的下列运算则可定义这两个函数的下列运算和和( (差差

24、) );Dx 积积;Dx 商商Dx 且且; 0)( xg线性组合线性组合 ,为实数为实数,.Dx ),()(xgxf ),()(xgxf ,)()(xgxf),()(xgxf 1.1 集合与函数集合与函数而生成新的函数而生成新的函数:gf )( )(xgf:gf )( )(xgf:gf )(xgf36).(1xfy 设函数设函数 y = f (x)的值域为的值域为Y,则称变量则称变量x为变量为变量y的函数的函数,记为记为(2)定义定义反函数反函数(inverse function)如果对于如果对于Y中任一中任一 y值值,从关系式从关系式 y = f (x)中可确定唯一的一个中可确定唯一的一个)

25、.(1yfx )(1yf 称为函数称为函数y =f (x)的反函数的反函数,习惯上习惯上 y = f (x) 的的反函数记为反函数记为x值值,1.1 集合与函数集合与函数37求反函数的步骤求反函数的步骤求函数的反函数求函数的反函数 y = f -1(x).(1) 把把x从方程从方程 y = f (x)中解出中解出;(2) 把刚才所得的表达式中的把刚才所得的表达式中的x与与y对换对换,即得所即得所注意注意(1) y = f (x)的图形与其反函数的图形与其反函数 x = f -1(y)的图形的图形y = f (x)的图形与其反函数的图形与其反函数 y = f -1(x)的图形的图形xy 直线直线

26、对称对称.(2) 只有一一对应的函数才有反函数只有一一对应的函数才有反函数.重合重合;关于关于 yx1.1 集合与函数集合与函数38 直接函数与反函数的图形直接函数与反函数的图形xy 直线直线对称对称.关于关于xyO ),(baP ),(abQ)(1xfy 反反函函数数)(xfy 直直接接函函数数xy 1.1 集合与函数集合与函数39如如xy10 其反函数为其反函数为yxlg 指数函数指数函数),( 定义域为定义域为值域为值域为);,0( 写成写成xylg Oxyxy 1xy10 1xylg 注注并不是所有函数都存在反函数并不是所有函数都存在反函数.2xy 如如 函数函数),( 定义域为定义域

27、为值域为值域为);,0 但对但对), 0( y都有两个都有两个yx 1和和yx 2与之对应与之对应, x不是不是y 的函数的函数,2xy 不存在反函数不存在反函数.并称为对数函数并称为对数函数.1.1 集合与函数集合与函数40 定义定义 设函数设函数 y =f (u) 的定义域为的定义域为Df ,而函数而函数假设假设 gfRD 则称函数则称函数u = g(x)的值域为的值域为Rg , y =f g(x)为为 x 的复合函数的复合函数. x为自变量为自变量, u为中间变量为中间变量, y为因变量为因变量.1.1 集合与函数集合与函数 也可记作也可记作:).(xgfy (3)复合函数复合函数1.1

28、 集合与函数集合与函数41(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数并非任何两个函数都能复合成为复合函数;2122 xuuy和和如如(2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合注注因为因为22xu 不能构成复合函数不能构成复合函数.21uy 的定义域的定义域Df 是是,1 , 1 的值域的值域Wg是是 gfWD .构成构成.设函数设函数 y =f (u) 的定义域为的定义域为Df ,而函数而函数u = g(x) gfRD 若则称函数则称函数y = f g(x)的值域为的值域为Rg ,为为 x 的复合函数的复合函数.), 2 ,2sinxy ,uy ,sin

29、vu .2xv .244| kxkxD42,e211xy ,e y,1 u.12xv 复合函数的分解复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数), 由函数的最外层运算一层层剥到最由函数的最外层运算一层层剥到最里边里边, 切不可漏层切不可漏层.如如uvu,v 都是中间变量都是中间变量.复合函数的定义域是复合函数的定义域是, 12 x即即), 1()1 , 1()1,( 而不是而不是21xv 的定义域的定义域).,( 剥皮法剥皮法1.1 集合与函数集合与函数例例).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xgfxxxxxgxxxexfx求求设设 解解 . 1)(; 1)()(

30、xgxgxgf, 1)(10 xg欲欲使使,0时时当当或或 x, 12)( xxg; 20 x,0时时当当或或 x, 11)(2 xxg; 1 x,)(xge),(xg, 1)(20 xg欲使欲使,0时时当当或或 x, 12)( xxg; 2 x,0时时当当或或 x, 11)(2 xxg; 01 x综上所述综上所述 . 2, 1; 20; 01; 1, 2,)(2122xxxxxexexgfxx先外后内法先外后内法法法2先内后外法）先内后外法） 0),1(0),2()(2xxfxxfxgf 0,11111,0,12, 212,222122xxxxexxxxexx .2,1;20;01;1,2,

31、2122xxxxxexexx461) 幂函数幂函数(power function)( 是常数是常数 xy 定义域与 的取值有关. 5. 初等函数初等函数(elementary function)(basic elementary function)(1) 基本初等函数基本初等函数xyO11)1 , 1(xy 2xy xy1 xy 1.1 集合与函数集合与函数472) 指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0(xye 定义域为定义域为),( 值域为值域为)., 0( xyO 1.1 集合与函数集合与函数483) 对数函数对数函数)1, 0(log aa

32、xyaxyln xyalog xya1log )1( a定义域为定义域为).,( 值域为值域为), 0( xyO)0 , 1( 1.1 集合与函数集合与函数494) 三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 21.1 集合与函数集合与函数50 xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 25 1.1 集合与函数集合与函数51正切函数正切函数xycot 余切函数余切函数xytan xytan xycot 定义域定

33、义域).,( 值域值域Z,2 nnx定义域定义域).,( 值域值域Z, nnxxyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 1.1 集合与函数集合与函数52三角函数常用公式三角函数常用公式 )(cosyx xx22sincos x2sin xcos2;sinsincoscosyxyx; 1;cossin2xx.sincos22xx )(sinyx;sincoscossinyxyx 1.1 集合与函数集合与函数535) 反三角函数反三角函数xyarcsin xysinarc 定义域定义域值域值域,1 , 1 .2,2 主值反正弦函数反正弦函数xyO22 11 反三角函数都是多值函数反三角函数

34、都是多值函数.但是但是,可以选取这些函数的可以选取这些函数的单值支单值支.1.1 集合与函数集合与函数54xyarccos 定义域定义域值域值域,1 , 1 ., 0 主值反余弦函数反余弦函数xycosarc xyO11 1.1 集合与函数集合与函数55xyarctan 主值定义域定义域值域值域),(.2,2 反正切函数反正切函数xytanarc xyO2 2反余切函数反余切函数xyarccot xyO2 主值xycotarc 定义域定义域值域值域),()., 0( 幂函数、指数函数、对数函数、三角幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数函数和反三角函数统称为基本初等

35、函数.1.1 集合与函数集合与函数56(2) 初等函数初等函数(elementary function)初等函数初等函数. .如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函数都是初等函数. 7 !75 ! 53 ! 3753xxxxy不是初等函数不是初等函数., 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数成并可用一个式子表示的函数, 称为称为1.1 集合与函数集合与函数57注注一般分段函数不叫初等函数一般分段函数不叫初等函数,0,0, xxxxy如如 可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答: 0,0,xxxxy故又可看作是初等函数故又