第22章影响线和内力包络图

1、第第22章章 影响线和内力包络图影响线和内力包络图22.2 作影响线作影响线22.3 影响线的应用影响线的应用 22.4 最不利荷载组合最不利荷载组合22.5 简支梁内力包络图和绝对最大弯矩简支梁内力包络图和绝对最大弯矩22.1 影响线的概念影响线的概念22.6 连续梁的内力包络图连续梁的内力包络图小结小结1. 问题的提出问题的提出 工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷载的作用。荷载的作用。在移动荷载作用下，结构的反力在移动荷载作用下，结构的反力和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中

2、，必须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。最不利荷载位置最不利荷载位置: 为了方便，将某反力或某截面上的某一内力简称为量值量值，记为S。对于一个S来说，使其产生最大（最小）值的移动荷载位置或可动均布荷载的分布形式，称为该量值的最不利荷载位置最不利荷载位置。在梁的各截面的内力最大（最小）值中，存在一个最大（最小）者，称为绝对最大（最小）内力绝对最大（最小）内力。由梁上各截面的最大内力值连成的曲线图形称为内力包络图。内力包络图。包络图是设计或验算钢筋混凝土梁的依据。对于任一指定截面的内力来说，只要确定了它的最不利荷载位置，在活载作用下的计算问题就转化为固定

3、荷载下的计算问题了。活载千变万化，为解决上述问题，需要借助影响线影响线。22.1.2 影响线概念影响线概念结构中某量值随竖向单位移动荷载F=1作用位置而变化的函数关系，称为该量值的影响系数方程影响系数方程（也称影响线方程影响线方程），对应的函数图形图形称为该量值该量值的影响线影响线。影响线反映了该量值在单位移动荷载移动作用下的变化规律。影响线是研究活载作用下结构计算的基本工具，利用影响线可确定实际活载对结构某量值的最不利位置，从而求出该量值的最大值。 影响线定义:当一个方向不变的单位荷载在结构上移动时，表示结构某指定截面处的某一量值变化规律的函数图形，就称为该量值的影响线。 22.2 作影响线

4、作影响线 作影响线的基本方法：静力法静力法和机动法机动法。22.2.1 静力法作单跨静定梁的影响线静力法作单跨静定梁的影响线 用静力法作某指定内力（或反力）的影响线，与固定荷载作用下求内力（或反力）的方法基本相同，仅需注意单位移动荷载位置是变化的。先根据平衡条件建立该内力（或反力）与单位移动荷载位置之间的函数关系式，即影响系数方程，然后根据方程作出影响线。1. 简支梁的影响线简支梁的影响线由0BM得反力 的影响系数方程AyF1AylxxFll （0 x l ）0AM由BxFlBF得反力 的影响系数方程（0 x l ）分别作出反力 、 的影响线如图AyFBF作影响线时，习惯上将纵坐标为正的影响线

5、画于基线的上方，纵坐标为负的影响线画于基线的下方，并标出正负号。（1）反力影响线：作简支梁支座反力 、 影响线。AyFBF影响线影响线BFAyF当单位移动荷载F=1移动到梁上的任意位置x（ 0 xl）时，根据梁的平衡条件，（2）弯矩影响线：取AK段为隔离体，根据单位移动荷载F=1是否在AK梁段上，分两种情况考虑。当单位移动荷载F=1在AK段上时当单位移动荷载F=1在KB段上时（0 xa）（axl）(1)KlxxMaall1 ()(1)KlxabMaaxxxlll 影响系数方程是x的一次函数，可知 的影响线是两段直线。KM影响线KM（3）剪力影响线：取截面K以左部分AK梁段为隔离体。当单位移动荷

6、载F=1在梁段上移动时当单位移动荷载F=1在截面K右边KB梁段上移动时（ 0 xa）（axl）1SKxFl 1SKlxxFll 影响线由两段互相平行的直线段组成，纵坐标在K点处有一突变。SKF影响线SKF2. 外伸梁的影响线外伸梁的影响线（1）反力影响线：由平衡条件可求得两支座反力 、 的影响系数方程为1AyxFl AyFBxFlBF12()lxll 12()lxll 影响线AyF影响线BF（2）跨间截面内力影响线：截取截成K以左部分CK段为隔离体当单位移动荷载F=1在CK段上移动时，有KbMxl1()lxa SKxFl 1()lxa (1)KxMal2()axll 1SKxFl 2()axl

7、l 当单位移动荷载F=1不在CK段上移动时，有影响线SkF影响线KM（3）外伸部分截面内力影响线：截取CK（向外伸部分）段为隔离体当单位移动荷载F=1在CK段上移动时，有当单位移动荷载F=1不在CK段上移动时，有KMx (0)xd0KM0SKF1SKF (0)xd影响线KM影响线SKF影响线LSAF影响线RSAF支座A左侧截面剪力 影响线和支座A右侧截面剪力 影响线，可使截面K趋近截面A而得到。LSAFRSAF MC的影响线上，纵坐标 yK 代表荷载F=1作用在点 K 时，在截面C的弯矩 MC 的大小。 弯矩图上，纵坐MK 标代表固定荷载F 作用于C 点时，截面K 所产生的弯矩。FxlbaCA

8、B= 1KyKMC的的影 响 线a blM图F a blMK(a )lbaCBKFA(b )FxlbaCAB= 1KyK的的影 响 线a blM图F a blM( a )lbaCBKFA( b )KMC 表示单位移动荷载作用下某指定截面内力变化规律的 图形称为内力的影响线 。( )课堂练习2. 图示结构ME的影响线AC、CD段纵标为 。F =1ABCDE AC、CD均不为零； B. AC、CD 均为零； AC为零，CD不为零； D. AC不为零，CD为零。3. 图示结构MD的影响线在C点处的纵坐标值为 。F =1ADCB3m2m1m4/3m1m4. 图b是图a的_影响线，竖标yD表示F=1作用

9、在_截面时 _ 的数值。F=1CABDK( )( )ab-yD1mMKDMKllKCF=kN1055图 M5(kN.m) 5. 已知图示梁在F=5kN作用下的弯矩图，则当F=1的移动荷载位C点时K截面的弯矩影响线纵标为( ) A. 1m ； B. -1m ； C. 5m ； D. -5m 。 6：图(b)是图(a)的某量值的影响线，其中竖标yD表示P=1作用在 A K点是产生的QD的值B K点是产生的MD的值C D点是产生的QK的值D D点是产生的MK的值P=1ACBKD(a)(b)22.2.2 机动法作影响线机动法作影响线1. 机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响线机动法作静定梁的影响

10、线依据虚功原理。（1）机动法作静定梁的影响线的原理：为虚功原理，需建立平衡的力状 态和协调的位移状态。( )( )0FBBFxFx外力在位移上的虚功为1F 1F 1B由得( )( )FBxFx（2）机动法作静定梁影响线的步骤：1）去掉欲求量值S的相应约束，得到对应的机构。虚位移图影响线KM2）让得到的机构沿S的正方向发生微小的位移（须满足其他约束）， 并人为地控制与欲求量值S对应的位移为单位位移。3）形成的位移图在基线以上为“+”，在基线以下为“-”。机动法作静定结构的影响线都是去掉约束后机构的刚体位移图，所以，都是直线图形。影响线SKF虚位移图例例22-1 用机动法绘制图示多跨静定梁的支座反

11、力 、 影响线。解：解：BF影响线BFCF虚位移图影响线CF虚位移图例例22-2 用机动法绘制图示多跨静定梁C截面弯矩 影响线。解：解：CM虚位移图影响线CM 1. 用机动法作静定结构内力影响线的理论基础是 。A. 变形体虚力原理 B. 刚体虚力原理 C. 刚体虚位移原理 D. 功的互等定理 C 2. 简支梁上有单位力偶移动，其截面C的剪力影响线应该是第 图。 M= 1l/2l/2l/21/l1/lACB(A )(B )(C )(D )D自测题2. 机动法作连续梁的影响线机动法作连续梁的影响线 机动法作超静定梁的影响线依据是弹性体功的互等定理。 用机动法作连续梁的影响线，其方法与用机动法作静定

12、梁的影响 线相类似。 两者基于的原理不同：（1）机动法作静定梁的影响线依据的是刚体的虚功原理，虚位移图是机构（几何可变形体系）的刚体位移图，任何部分都不发生变形（几何不变部分不发生位移），所以静定梁的影响线都是由直线段组成，且按几何关系和直线比例能确定影响线各处 值。（2）机动法作连续梁的影响线根据的是弹性体功的互等定理，虚位移图是结构的弹性变形图，所以连续梁的影响线通常是由曲线组成。又由于连续梁的位移图是曲线，各处 值不作详细计算是不能确定具体大小的，因此，连续梁影响线只画出图形轮廓。FF解：解：例例22-3 用机动法绘制图示连续梁K截面弯矩 、剪力 影响线轮廓。KMSKFKM影响线SKF影

13、响线虚位移图22.3 影响线的应用影响线的应用22.3.1 利用影响线求量值利用影响线求量值若结构中某指定量值S（可以是反力、弯矩、剪力、轴力等）的影响线已作出，则根据叠加原理，利用影响线便可以求出实际荷载在某已知位置作用时的S值。1. 集中荷载集中荷载设量值S 的影响线已作出，现有一组平行的竖向集中荷载F1 ,F 2, ,Fn 作用于某已知位置，影响线上与各荷载作用点相应位置处竖坐标分别为y 1，y2 ， ，yn 。由影响线定义可知，竖坐标y i代表单位荷载F=1作用于该处时量值 S 的大小。现在作用的荷载是Fi ，故引起的量值应等于Fi yi 。 iinnyFyFyFyFS2211根据叠加

14、原理，上式中须注意y 是带正负号的。S 影响线qAydxqyqdxSDCDCDCydxA 2. 均布荷载均布荷载 图示为某量值S的影响线，结构上作用有均布荷载q。若将均布荷载的作用区间分成无限多个微段，则每一微段dx上的荷载qdx都可以看作是一个集中荷载，它所引起的量值为yqdx, 故在CD区段内的均布荷载所产生的量值为影响线中与均布荷载作用范围CD相对应部分的面积。影响线有正或负，面积A则是正、负面积的代数和。S 影响线22.3.2 利用影响线确定最不利荷载位置利用影响线确定最不利荷载位置1. 移动集中荷载移动集中荷载当荷载比较简单时，最不利荷载位置凭观察即可确定。例如，当只有一个移动集中荷

15、载F时，则只要将F置于影响线的竖标最大处即为最不利荷载位置。S 影响线2. 可动均布荷载可动均布荷载分两种情况：对于可以任意断续分布的活载，将荷载布满对应于影响线所有正的面积部分，则产生的量值为最大值；反之，将荷载布满对应于影响线所有负面积部分，则产生量值的最小值。（1）可以任意断续布置：对于这种分布形式活载，它的分布长度有时可能小于影响线范围。由于量值S是荷载位置x的二次函数，其最不利荷载位置可按dS/dx=0的条件确定。（2）荷载分布长度不变：此式表明连线AB平行于基线。dxyyqdxydxyqdSABAB)()()(AByyqdxdS0dxdSAByy0)(AByyq将分布长度为l1 的

16、移动均布荷载置于影响线顶点附近范围内，两端作用点所对应的影响线竖坐标分别为yA 、yB 。当荷载向右移动一微小距离dx时，影响线上与均布荷载作用范围相应的面积A将增加yBdx，减少yAdx，故S的增量为取 ，得到因为q是一个不等于零的常数，故上式要成立，必须22.4 最不利荷载组合最不利荷载组合22.4.1 行列荷载的最不利荷载组合行列荷载的最不利荷载组合当有两个移动集中荷载F1、F2（设F1F 2）组成行列荷载，并且可以前后调换位置时，最不利荷载位置是其中数值较大的一个荷载F1置于影响线的最大竖坐标处，而把另一个荷载F2放在影响线坡度较缓的一边。当两个荷载的位置不能前后调换时，则需计算F1和

17、F2分别在影响线顶点时的S值，加以比较才能确定。当行列中移动集中荷载的个数较多时，根据最不利荷载位置的定义，当荷载移动到该位置时，量值达到最大值，荷载由该位置向右或向左稍作移动，量值均将减少。iiSF y设量值S的影响线和作用的一组集中移动荷载，如图示。临界荷载位于影响线顶点时行列荷载的位置称为临界荷载位置临界荷载位置。量值S的增量tantaniiiiiiSF yFxxF 量值S的最大值应是所有可能产生的极值中最大的一个。极大值将出现在S/x改变正负号的尖角处，且无论行列荷载向左或向右移动时，量值S的增量必须S0。使S/x改变正负号的荷载称为临界荷载临界荷载 。Fcr当影响线是三角形时，将 置

18、于影响线顶点上。若行列荷载向右移动x时（设x向右为正）， 也将移动到影响线顶点之右。相应的影响线纵坐标改变量112tan()tancrSFxFFx左右12tan()tan0crxFFF 左右因为0 x 所以12tan()tan0crFFF左右当行列荷载向左移动（- x ）时，0 x 12tan()tan0crFFF左右则由此可判别临界荷载的位置。crFFFab左右crFFFab左右两个不等式表明：把不等式的每一边看作是一个“均布荷载集度”，则临界荷载归到影响线顶点的哪一边，哪一边的“均布荷载集度”就大些。FcrFcr例例22-4 试求简支梁上截面C在汽车-15级荷载作用下的最大弯矩。解：解：（

19、1）作 影响线CM（2）考虑车队由左到右行驶情形：把重车后轮（130kN）置于影响线顶点时判别计算可知此为一临界荷载位置。从荷载分布情况可知，当最大荷载作用于最大竖坐标处时，荷载在最大竖坐标处较密集，故可不再分析其它位置。100kN50kN130kN280kN70kN100kN50kN220kN15m15m25m25m100kN50kN150kN130kN70kN100kN50kN350kN15m15m25m25m（3）再考虑车队由右向左行驶情形：仍置重车后轮于影响线顶点，进行判别可知这又是一个临界荷载位置。同理，其它荷载位置也可以不再考虑。70kN130kN200kN50kN100kN50k

20、N200kN15m15m25m25m70kN130kN50kN100kN50kN350kN15m25m25m（4）分别计算上述临界荷载位置相应的 值；图c：图d：可知图c所示位置为最不利荷载位置，相应的弯矩最大值为CM100kN 3.75m50kN 6.25m 130kN 9.38m70kN 7.88mCM100kN 2.25m50kN 0.75m2721kN m70kN 6.88m130kN 9.385m50kN 7.50m100kN 6.00mCM50kN0.38m2695kN m,max2721kN mCM解：解：（1）作 影响线SCF例例22-5 试求图所示简支梁在两台桥式起重机荷载作

21、用下截面C的最大剪力 和最小剪力 , 。,maxSCF,minSCF1234179.4kNFFFF（2）求 ：根据影响线及荷载情况，置 于C点时即为最不利荷载位置，求得2F,max179.4kN (0.6000.5040.1370.033)216.7kNSCF,maxSCF（3）求 ：临界荷载位置有两种情况，分别计算相应的 值为图d：图e：图d所示位置是最不利荷载位置，故,minSCF,min84.5kNSCF 179.4kN( 0.4000.3040.233)84.5kNSCF SCF179.4kN ( 0.4000.033)77.7kNSCF qAydxqyqdxSDCDC22.4.2 连

22、续梁在可动均布荷载作用下的最不利荷载组合连续梁在可动均布荷载作用下的最不利荷载组合 图示连续梁，由于可动均布荷载可以任意地连续分布，用机动法作出影响线的轮廓后，根据图形的正负面积的情况布置活荷载。例如确定BC跨中截面K弯矩的最不利荷载位置时，应先画出MK 影响线轮廓截面K 弯矩最大值的最不利荷载位置应当把均布活荷载布满影响线正号面积部分。反之，截面K弯矩最小值的最不利荷载位置，应将均布活荷载布满影响线负号面积部分。 同理，当确定支座截面C弯矩的最不利荷载位置时，先画出 的影响线布置M 最不利荷载组合最小值对于任一截面，当该截面所在跨布满均布的活荷载，而隔跨也布满均布的活荷载时，是该截面弯矩产生

23、最大正值的最不利荷载组合。当该截面所在跨的相邻跨以及隔跨布满均布的活荷载时，为该截面的弯矩产生最大负值的最不利荷载组合。CM最大值22.5 简支梁内力包络图和绝对最大弯矩简支梁内力包络图和绝对最大弯矩22.5.1简支梁的内力包络图简支梁的内力包络图内力包络图内力包络图：梁在恒载和活载作用下各截面的内力最大值或最小值连成的 曲线图形。包络图分为弯矩包络图和剪力包络图，它们是钢筋混凝土梁设计的依据。例钢筋混凝土梁，跨度l=12m，恒载为均布荷载，q=27.05kN/m, 活载为两台桥式起重机轮压组成的行列荷载，桥式起重机最大轮压为280kN,轮距为4.8m，桥式起重机并行的最小间距为1.44m。将

24、梁分成10等份，作出各等分点截面的弯矩影响线：分别计算各等分点截面上的最大弯矩，最小弯矩。将各截面的最大弯矩，最小弯矩值分别标在图上，得到弯矩包络图：剪力影响线：剪力包络图：22.5.2 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩简支梁弯矩包络图中的最大竖坐标值即为绝对最大弯矩。绝对最大弯矩。KF下面讨论在一组集中移动荷载作用下，其中某一个荷载 作用截面下方弯矩成为最大的条件。KF作用截面的弯矩图中，设x表示FK到左边支座A的距离，FR为与作用于梁上所有荷载静力等效的一个集中力，a为FK与FR的距离，FR在FK右边时a为正，反之为负。FK作用截面的弯矩为LRLAyKMxaxllFMxFM)( 以

25、左所有作用在梁上的荷载对 作用截面（点）的力矩之和，KFLM它是一个与x无关的常量。KFd()0dKRMFlxa xxl22alx根据MK为极值的条件可得LRKMallFM2max,)(4当 与 位于梁中点两侧对称位置时， 作用截面的弯矩达到最大值，其值为KFRFKF依次将每个荷载作为临界荷载计算最大弯矩值，再在这些值中选出最大的，它就是绝对最大弯矩。经验表明，绝对最大弯矩总是发生在跨中截面附近，至于究竟哪个荷载是临界荷载，需要直观判断并结合计算进行比较而确定。1234330kNFFFF例例 22-6 求图示简支梁在两台桥式起重机作用下的绝对最大弯矩。已知（1）考虑4个荷载全在梁上：计算静力等

26、效力解：解：330kN 41320kNRF mma63. 0226. 12max1320kN(12m0.63m)330kN5m4 12mM 作用在 、 中间，到 的距离为RF2F3F2F将 和 对称放在梁中点C两侧， 作用点即是可能发生绝对最大弯矩截面，其值为RF2F2F1905kN m330kN 3990kNRF 330kN 5m330kN 1.26m1.25m990kNa2max990kN(12m1.25m)330kN 1.26m4 12mM（2）考虑3个荷载（ 、 、 ）在梁上的情况：2F3F4F 为求 和 的距离a，可对 作用点取矩求得RF3F3F将 、 对称放在梁中点C两侧，则荷载 作用点是可能发生绝对最大弯矩的截面，其值为RF3F3F1968kN mmax1968kN mM 由此可知，梁的绝对最大弯矩发生 在图示荷载位置作用时的 作用下方的截面上，其值为3F22.6 连续梁的内力包络图连续梁的内力包络图在计算连续梁内力包络图时，通常是将恒载和活载的影响分别考虑，然后再叠加。作弯矩包络图的步骤是作弯矩包络图的步骤是：1 1）用力矩分配法（也可用力法、位移法或查表法）作出恒载作用下的弯矩图。2 2）用同样方法依次作出每一跨上单独布满活载时的弯矩图。3 3）各跨均分为若