二 初始条件与边界条件西北工业大学

1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 课程的内容课程的内容三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解条件的推导定解条件的推导二、二、

2、定解条件的推导定解条件的推导三、三、 定解问题的概念定解问题的概念数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、 基本方程的建立基本方程的建立条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。例例1、弦的振动、弦的振动研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。( , )u x t数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导简化假设：(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1

3、cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：coscosTT纵向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu

4、x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一维波动方程2Ta 令：-非齐次方程非齐次方程自由项22222uuatx-齐次方程齐次方程忽略重力作用：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导从麦克斯韦方程出发：cv0 DHJtBEtDB在自由空

5、间：HBED00HEtHEtEHcv0,0J例例2、时变电磁场、时变电磁场数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导00HEtHEtEH对第一方程两边取旋度，)(EtH根据矢量运算：2()HHH 2()HHtt222tHH由此得：得 ：2222222xyz 拉普拉斯算子： 同理可得：2221EEt 电场的三维波动方程222222221()HHHHtxyz 磁场的三维波动方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例3 3、热传导、热传导所要研究的物理量：温度

6、),(tzyxu根据热学中的傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 tSukQttSdd211 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） tVukQttVdd2121 tSnukQdddtSnukddtSukdd热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场MSSVn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(12221QQ 流入

7、的热量导致V内的温度发生变化 2121dddd2ttVttVtVtuctVuktucuk22ukutc02 ufuatu22流入的热量：温度发生变化需要的热量为：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc22au热传导方程热场MSSVn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导有界杆上的热传导（杆的两端绝热）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例4 4、静电场、静电场电势u 确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u

8、02 u对方程进行化简：uu2/拉普拉斯方程 泊松方程 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。二、定解条件的推导二、定解条件的推导其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导初始时刻的温度分布：B

9、、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、 波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、 波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu( , )0u a t

10、 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。x ax auTkux 或0 x auux数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导B、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|sufS给定区域v 的边界(2) 绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 交换系数； 周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第

11、一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1 1、定解问题、定解问题三、定解问题的概念三、定解问题的概念(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微

12、小变动。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导3 3、线性偏微分方程的分类、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程2 2、微分方程一般分类、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程；(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导线性方程的解具有叠加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu4 4、叠加原理、叠加原理 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)xxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判断下列方程的类型思考数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方