命题的形式及等价关系

1、一一 、命题与推出关系、命题与推出关系( (一一) ) 命题的证明命题的证明1、命题的概念(1)命题命题：可以判断真假的语句叫命题可以判断真假的语句叫命题(proposition)(proposition)，一般用陈述句一般用陈述句(2)真命题真命题：即正确的命题(3)假命题假命题：即错误的命题()判断命题的真假应写“真命题、假命题真命题、假命题”， 而不写“正确、错误” ()真命题与假命题都必须要证明真命题与假命题都必须要证明 2 2、命题的证明方法、命题的证明方法(1)真命题真命题推理证明推理证明(a)(a)直接法直接法：从已知条件出发，依学过的公理、定理、：从已知条件出发，依学过的公理、

2、定理、公式进行逐步推理，从而得出结论公式进行逐步推理，从而得出结论(b)b)间接法间接法( (反证法反证法) )：假设结论不成立：假设结论不成立, ,推出与已知推出与已知条件、公理、定理等矛盾，从而假设不成立，命题条件、公理、定理等矛盾，从而假设不成立，命题得证得证(2)(2)假命题假命题举反例举反例举反例举反例：举出一个满足命题条件，不满足命题结论 的例子即可举反例是判断、证明假命题的重要方法！举反例是判断、证明假命题的重要方法！( (二二) ) 推出关系推出关系1、推出关系：若命题成立可以推出命题也成立，则就说由可以推出，记作读作“推出”由条件可以推出结论成立，记作由条件不能推出结论成立，

3、记作说明：表示为条件，为结论的命题是真命题表示为条件，为结论的命题是假命题2、与等价：，则记作且若叫做叫做与与等价等价3、推出关系的传递性：，则，若，并说明理由，并说明理由判断下列命题的真假判断下列命题的真假例例1则该方程有实数根则该方程有实数根，满足满足若方程若方程0)0(0)1(2 acacbxax则则有实数根，有实数根，若方程若方程0)0(0)2(2 acacbxax真命题与假命题都必须要证明真命题与假命题都必须要证明 ！(1)真命题推理证明(2)假命题举反例逆命题。逆命题。逆命题逆命题否命题。逆否命题。否命题，并判断真假否命题，并判断真假的逆命题、否命题、逆的逆命题、否命题、逆等三角形

4、的面积相等”等三角形的面积相等”写出命题：“两个全写出命题：“两个全例例2判断真假判断真假的其它三种命题形式并的其它三种命题形式并”或或，则，则“若“若写出命题写出命题14043:.2 xxxxex假假、逆逆否否命命题题，并并判判断断真真再再写写其其逆逆命命题题、否否命命题题”的的形形式式，那那么么“如如果果提提示示：先先把把原原命命题题写写成成原命题：原命题：如果两个数都是整数，如果两个数都是整数，那么这两个数的和为整数那么这两个数的和为整数二、四种命题形式二、四种命题形式命题：命题：两个整数的和是整数两个整数的和是整数条件：条件：如果如果两个数都是整数两个数都是整数结论：结论：那么那么这两

5、个数的和是整数这两个数的和是整数逆命题：逆命题：如果两个数的和为整数如果两个数的和为整数那么这两个数都是整数那么这两个数都是整数否命题：否命题：如果两个数如果两个数不都是不都是整数整数那么这两个数的和不为整数那么这两个数的和不为整数逆否命题：逆否命题：如果两个数的和不为整数如果两个数的和不为整数那么这两个数不都是整数那么这两个数不都是整数互否互否互逆互逆互逆否Page 10 例题：把下列命题写成例题：把下列命题写成“若若p则则q”的形式，并写出它的逆命题，的形式，并写出它的逆命题， 否否命题，命题， 逆否命题。逆否命题。（1）. 负数的平方是正数负数的平方是正数 “若若p则则q”的形式是的形式

6、是_ 逆命题是逆命题是_否命题是否命题是_逆否命题逆否命题_ 若一个数是负数若一个数是负数, ,则它的平方是正数则它的平方是正数. .若一个数的平方是正数若一个数的平方是正数, ,则它是负数则它是负数.若一个数不是负数若一个数不是负数, ,则它的平方不是正数则它的平方不是正数. .若一个数平方不是正数若一个数平方不是正数, ,则它不是负数则它不是负数. .的否定原命题的结论的否定原命题的条件四种命题的相互关系四种命题的相互关系互否互否互逆互逆互逆否否命题：否命题：如果，那么如果，那么 逆命题：逆命题：如果如果 ，那么，那么 原命题：原命题：如果如果 ，那么，那么 逆否命题：逆否命题：如果如果

7、，那么，那么 Page 12练习二：选择题练习二：选择题1.1.命题命题“两条对角线不相等的四边形不是平行四边形。两条对角线不相等的四边形不是平行四边形。”是命题是命题“平行四边形的平行四边形的两条对角线相等。两条对角线相等。”的（的（ ） A.A. 逆命题逆命题 B.B. 逆否命题逆否命题 C.C. 否命题否命题 D.D. 非四种命题关系非四种命题关系2.2.若命题若命题p p的否命题为的否命题为r,r,命题命题r r的逆命题为的逆命题为s,s,则命题则命题p p的逆命题的逆命题t t与与s s的关系是（的关系是（ ） A.A.互为逆命题互为逆命题 B.B. 互为否命题互为否命题 C.C.

8、互为逆否命题互为逆否命题 D.D. 同一个命题同一个命题B BB B练习练习1、填空、填空(口答口答)：（1）命题）命题“末位是末位是0的整数，可以被的整数，可以被5整整除除”的逆命题是的逆命题是_（2）命题）命题“线段的垂直平分线上的点与这线段的垂直平分线上的点与这 条线段两端点的距离相等条线段两端点的距离相等”的否命题是的否命题是_ （3）命题）命题“对顶角相等对顶角相等”的逆否命题是的逆否命题是_若一个整数可以被若一个整数可以被5整除，则它的末位是整除，则它的末位是0。 若一个点不在线段的垂直平分线上，则若一个点不在线段的垂直平分线上，则它到这条线段两端点的距离不相等。它到这条线段两端点

9、的距离不相等。若两个角不相等，则它们不是对顶角。若两个角不相等，则它们不是对顶角。逆命题逆命题: :角的平分线上的点角的平分线上的点, ,到这个角的到这个角的 两边距离相等两边距离相等. .练习练习2 2写出下列命题的写出下列命题的逆命题、否命题和逆命题、否命题和逆否命题逆否命题否命题否命题:到一个角的两边距离不相等的点到一个角的两边距离不相等的点, 都不在这个角的平分线上都不在这个角的平分线上.逆否命题逆否命题:不在这个角的平分线上的点不在这个角的平分线上的点,到到这个角的两边距离不相等这个角的两边距离不相等. 逆命题逆命题: :两个三角形的面积相等两个三角形的面积相等, ,则它们全等则它们

10、全等. .原命题：原命题：两个三角形全等两个三角形全等, ,则它们的面积相等则它们的面积相等. .练习练习2 2写出下列命题的写出下列命题的逆命题、否命题和逆命题、否命题和逆否命题逆否命题 并判断其真假并判断其真假否命题否命题: :两个三角形不全等两个三角形不全等, ,则它们的面积不则它们的面积不 相等相等. .逆否命题逆否命题: :两个三角形的面积不相等两个三角形的面积不相等, ,则它们则它们不全等不全等. .假假假假真真真真练习练习3 3 写出写出否命题否命题1、若实数a,b满足a+b b, 则则 ac2bc2。逆命题：若逆命题：若ac2bc2,则则ab。否命题：若否命题：若ab,则则ac

11、2bc2。逆否命题：若逆否命题：若ac2bc2,则则ab。（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）Page 20想一想？想一想？（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？由以上三例及总结我们能发现什么？即即(1)原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。逆命题、否命题不一定为真。总

12、结：总结：(两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系).Page 21原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假 一般地一般地, ,四种命题的真假性四种命题的真假性, ,有而有而且仅有下面四种情况且仅有下面四种情况: :四种命题的真假之间的关系如下：四种命题的真假之间的关系如下：两个命题互为逆否命题，它们同真（假）两个命题互为逆否命题，它们同真（假）即：即：原命题原命题与与逆否命题逆否命题同真同假同真同假 逆命题逆命题与与否命题否命题同真同假同真同假 Page 23例例2 若若m0或或n0，则，则m+n0。写出其逆命。写

13、出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且且” “或或”的的否定为否定为“或或” “且且”。解：逆命题：若解：逆命题：若m+n0，则，则m0或或n0。否命题：若否命题：若m0且且n0, 则则m+n0.逆否命题：若逆否命题：若m+n0, 则则m0且且n0.（真）（真）（真）（真）（假）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与

14、原命题真假等价。题真假等价。Page 25证明：一个三角形中不能有证明：一个三角形中不能有 两个角是直角两个角是直角已知：已知： A、B、C 是是ABC的三个内角的三个内角求证：求证：A、B、C中不能中不能 有两个角是直角有两个角是直角假假真真Page 27以假设为条件以假设为条件，结合已知条件推理，结合已知条件推理，得出与得出与已知条件或是正确命题已知条件或是正确命题相矛盾相矛盾的结论的结论这与这与“.”相矛盾相矛盾所以假设不成立，所求证的命题成立所以假设不成立，所求证的命题成立假设待证命题不成立，或是命题的假设待证命题不成立，或是命题的反面成立。反面成立。Page 28 能力测试能力测试

15、写出下列各结论的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正数；（4）aba0与与 x2+y2=0矛盾矛盾, 若若_时时,则则_, x2+y20与与 x2+y2=0矛盾矛盾, 所以假设不成立所以假设不成立, 从而从而_成立。成立。x x、y y至少有一个不为至少有一个不为0 0 x x 0 0 x x2 2 0 0例例 证明：若证明：若x2+y2=0, 则则y y 0 0y y2 2 0 0 x x =y=0 =y=0。x =y=0。Page 30反证法证明反证法证明证：证： 假设假设_或或_, 由于由于_时时,_, 与与 (x-a)(x-b)0矛盾矛盾, 又又_时时,_, 与与(x-a)(

16、x-b)0矛盾矛盾, 所以假设不成立所以假设不成立, 从而从而_。x=a x=bx=a (x-a)(x-b)=0 x=b(x-a)(x-b)=0 x a且且x b用反证法证明用反证法证明,若若(x-a)(x-b)0,则则x a且且x b.Page 31., 0:baba 那那么么如如果果用用反反证证法法证证明明例例 2 2bababa 或或者者则则或或者者不不大大于于假假设设,babababbbaabaababa 与与所所以以因因为为, 0, 0baba 所所以以矛矛盾盾这这些些都都同同已已知知条条件件,0证明证明:Page 321.用用反证法反证法证明（填空）：证明（填空）：在三角形的内角中

17、，至少有一个角不小于在三角形的内角中，至少有一个角不小于60已知已知：如图，如图， ，是是的内角的内角求证：求证： ，中至少有一个角不小于中至少有一个角不小于600.证明证明：假设假设所求证的结论不成立，即所求证的结论不成立，即60， 60， 60则则1800这于这于矛盾矛盾所以假设，所以假设，所以，所求证的结论所以，所求证的结论成立成立三角形三角形三个内角的和等于三个内角的和等于180不成立不成立Page 33假设假设l3l2，即即l3与与l2相交，记交点为相交，记交点为P2.已知：如图，直线已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内在同一平面内,且且l1l2,l3 l1，l3l2求证：求

18、证：而而l1l2,l3 l1这与这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行平行”相矛盾，相矛盾，所以假设不成立，所以假设不成立，即即l3l2证明：证明：l1l3l2PPage 34求证求证: :若一个整数的平方是偶数若一个整数的平方是偶数, ,则这个则这个数也是偶数数也是偶数. .假设这个数是奇数假设这个数是奇数, ,可以设为可以设为2k+1,2k+1,.Zk证证: :144) 12(22kkk则有则有而而）（Zkkk1442不是偶数不是偶数这与原命题条件矛盾这与原命题条件矛盾. .例题例题3:Page 351.用反证法证明用反证法证明: 若方程若方程ax2+bx+c=0 (a 0)有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根, 则则b2-4ac0.2. 用反证法证明用反证法证明:在在ABC中中,若若C是是 直角直角,则则B一定是锐角一定是锐角.演练反馈演练反馈说明说明