随机信号分析过程的谱分析kejian

1、第三章平稳随机过程的谱分析频域分析3.1、随机过程的谱分析3.1.1、简单回顾（确定信号）信号x(t)的能量定义为：¥ò-¥=x2 (t)dtE(nerge)能量有限的信号称为能量信号，如持续时间有限的非周期信号x(t)t一、能量信号和功率信号3.1、随机过程的谱分析3.1.1、简单回顾（确定信号）信号x(t)的功率定义为：1Tò= limx2 (t)dt = Ax2(t) = x2(t)P(ower)2T-T®¥T能量有限的信号称为能量信号，如持续时间有限的非周期信号x(t)tt一、能量信号和功率信号3.1、随机过程的谱分析3.1.

2、1、简单回顾（确定信号）能量信号若满足条件，以及绝对可积条件，则存在下述频谱（包括幅度谱和相位谱）：+¥ò- jwtX(w) =x(t)edt-¥实信号幅度谱的平方称为其能量谱密度：| X(w) |2它描述了信号能量在频域的分布，将其对频率到信号的能量，可以得二、能量信号的谱分析（能量谱密度）3.1、随机过程的谱分析3.1.1、简单回顾（确定信号） 1 2p¥òX(w)ejwtdw=x(t)-¥éX(w)ejwtdwùdt 1 ¥¥¥òòòx (t)dt

3、=2x(t)êë 2púû-¥-¥-¥ 1 2p 1 2péêëx(t)ejwtdtùdw¥-¥¥òòò=X(w)úû 1 2p-¥¥¥ò=X(w)X(-w)dw =| X(w) |2dw-¥-¥二、能量信号的谱分析（能量谱密度）3.1、随机过程的谱分析3.1.1、简单回顾（确定信号）é| X (T, w) |2ù11¥

4、;TòòP = limx2 (t)dt =lim êxúdw2pT®¥ 2T2T-T-¥ T®¥ ëû(t)«X=( w)1x¥¥TTTòò-¥2p ò-¥x2 (t)dt =| X (w) |2 dw2x (t)dtTT-Tß11¥TòòP = limx2 (t)dt =dw2pT®¥ 2T-T-¥三、功率信号的谱分析（功率谱密度）&#

5、233;| X (w) |2 ù lim ê Tú T®¥ ë 2T ûxTt()t)-TTt3.1、随机过程的谱分析3.1.2、随机信号的（平均）功率谱密度Power Spectra Density: PSD（1） 样本信号一般为功率信号（2） 不同的样本信号，其功率谱密度一般不同（3） 随机信号的功率谱密度具有不确定性，是随机函数， 一般只关心其平均值（4）随机信号的功率也具有不确定性，是随只关心其均值X(t)量，一般t四、随机信号的谱分析？3.1、随机过程的谱分析3.1.2、随机信号的（平均）功率谱密度Power Sp

6、ectra Density: PSDé| X (w) |2ù(w) = lim确定信号功率谱密度：S T2TêúxT®¥ëû随机信号平均功率谱密度：ìùüé| X (T, w) |2é E| X (T, w) |2 ùS (w) = Eíl× i×mý = lim X2T X2TêúêúXT®¥ëûþT®¥&

7、#235;ûîX(t)随机信号-TTtXT(t)<->XX(T,w)随机谱t一、随机信号的功率谱密度3.1、随机过程的谱分析3.1.2、随机信号的（平均）功率谱密度Power Spectra Density: PSDéùúû 1 2T 1 TTòòQ = E l× i× m=2EX2(t)dtX (t)dtlimêëT®¥ 2T-T-TT®¥= A EX2(t) = EX2(t)éùé| X (

8、T, w) |2ù1¥ò= E êl× i× m êXú dwúë 2p2T-¥T®¥ëûûéE é| X (T, w) |2 ù ù1lim ê ëXû ú dw¥ò=2p-¥ T®¥ ëû2T1¥2p ò-¥=S (w)dwX二、随机信号的（平均）功率3.

9、1、随机过程的谱分析3.1.2、随机信号的（平均）功率谱密度Power Spectra Density: PSD（1） 随机过程的功率是时变均过程为宽平稳，则其功率就等于均（2） 功率谱密度描述了随机过程平均功率在频域的分布（3） 对于平稳随机过程有的时间平均值，若随机1¥2p ò-¥EX2 (t) =S (w)dwX二、随机信号的（平均）功率3.1、随机过程的谱分析解：Tòa + bcos(w t + Q)e- jwtdtX (T, w) =X0-TéejQ sin(w - w )Te- jQ sin(w + w )Tù2asin(

10、wT)=+ b ê0+ 0úww - w0w + w0ëûsin2 (wT)E| X (T, w) |2 = 4a2 w2Xésin2(w - w )Tsin2(w + w )Tù+b2ê0+0ú(w - w(w + w)2)2ëû00Ex. 3.1：平稳随机信号X(t)为X(t) = a + bcos(w0t + Q)其中a，b和w0均为，Q：U0, 2p)，求X(t)的功率谱密度。3.1、随机过程的谱分析1S (w) = limE| X (T, w) |2 XXT®¥ 2

11、Tìïésin(wT) ù2= lim í2a2T ê+úwTëûT®¥ ïî)Tù2 üï)Tù2b2T ésin(w - wb2T ésin(w + w+ê0úê0úýïþ(w - w0 )T(w + w0 )T22ëûëûésin(wT) ù2下面求lim T。ê

12、úûwTëT®¥（1）当w¹ 0时，由于sin(wT) £ 1，所以ésin(wT) ù2= 0, w ¹ 0lim T êëúûwTT®¥3.1、随机过程的谱分析（2）当w= 0时，由于sin(wT) = 1，所以wTésin(wT) ù2® ¥, w = 0lim T êëúûwTT®¥综上：ésin(wT) ù2

13、= Kd(w)lim T êëúûwTT®¥又因2T sin(wT) 2« x(t)，其中x(t)为三角波，如下图所示：Sx(w)2pa2wTx(t)1pb2/2pb2/2w00t-TT3.1、随机过程的谱分析所以2T ésin(wT) ù¥òdw = px(0) = plimêëúûwT-¥T®¥¥= ò-¥ Kd(w)dw ® K = p最终可以得到：S (w) = 2pa

14、2d(w) + p b2d(w - w ) + p b2d(w + w)X00223.1.3、功率谱密度与复频率面斯变换（Laplace transformation）拉LTx(t) « X(s) : s = s + jwx(t) é 1 X(s)estdsùdts+j¥¥¥ò-¥ò-¥òx2 (t)dt =êúûë2pjs-j¥éëx(t)estdtùdss+j¥¥ò

15、2;=X(s) 1 jû2ps-j¥-¥12pjs+j¥òx(t) =X(s)e dstss+ j¥òs-j¥ =X(s)X(-s)ds12pjs-j¥LTXT (t) « XX (T,s) 1 s = jw(T, -s)SX (w)Sw = - jsj¥òQ = A EX2 (t) =S(s)ds 1 j系统分析求平均功率(均)2pX- j¥3.1.3、功率谱密度与复频率面-(s2 - 4)-(s + 2)(s - 2)解：SX (s) = SX (w) |w=-

16、 js = s4- 10s2 + 9 = (s + 1)(s + 3)(s - 1)(s - 3)j¥òQ = EX2 (t) =S (s)ds 1 j2pX- j¥jw-(s + 2)(s - 2)= éù3=Kêë (s - 1)(s + 3)(s - 3) úû-116r ®¥ s=-1-(s + 2)(s - 2)= éù5=Kêë (s - 1)(s + 3)(s - 3) úû-348ss=-3-3 -2-1123

17、357åKp mEX2 (t) =+=m164824w2 + 4Ex.3.2: WSS.X(t), PSD : S (w) =, EX2(t) = ?Xw4 + 10w2 + 93.2、平稳随机过程功率谱密度的性质3.2.1、Properties of WSS PSDéù2E|X (T,w)| (w) = lim³ 0(P1)(P2)(P3)SëûX2TXT®¥S (w) = S* (w)XXSX (w) = SX (-w) only for real RP X(t): XX (T, -w) = X*¥(

18、T, -w) |22ò-¥S (w)dw < ¥ : EX2 (t) < ¥(P4)XSX (w)SX (w)21ww2www| w |2 w,e-(w-1) ,+ w + w + wæ sinw ö2248642- d(w),ç÷ww6+ 3w2 + 3w4- 1jw6 + w2 + 1 w4 + 2w2 + 1w6 + 3w2 + 3èø3.2、平稳随机过程功率谱密度的性质3.2.2、有理谱分解定理i)rational spectral:påaw2kkS (w) = k

19、=0: (P4) ® p < qs-planeXqåbw2kkk=0(s - a1 )(s - a2p ) ,aS (s) = a2¹ bX(s - b )(s - b)ii12qBy definition : SX (s) = SX (-s)ì(1)ii)í(2)Real X(t) : S* (s) = S (s* )îSXXé ù éù(s-a* )(s-a* )(s-a1 )(s-ap )=+-(s) 1p =S+ (s)=S- (s)X极点全在 s 左平面X极全在 s 右平面零点在

20、 s 左平面或虚轴上零点在 s 右平面或虚轴上3.3、功率谱密度与自相关函数的关系-定理FTRX (t) < - > SX (w)Wiener美国学者, 1894-1964Khinchine数学家, 1894-1959前1¥2p ò-¥(t) =S (w)ejwtdwRXX¥ò-¥R (t)e- jwtdtS (w) =XXW.S.S-定理的证明证明：若X(t)为宽平稳随机信号，则E| XX (T, w) | 21*(T, w)S1E éù2 ûTTòòX(t )ejwt1

21、 dt)e- jwt2 dt= limX(të -T112T®¥ 2T-T1TTò ò)e- jw(t2 -t1 )dt dt= limEX(t )X(t12122T1-T-TT®¥TTò ò)e- jw(t2 -t1 )dt dt= lim(t - tRX21122T-T-TT®¥¥- jwtSX (w) = ò-¥ RX (t)edt¥1¥Rj2pftò(w)ejwtdwW.S.S-定理的证明令 t = t2 - t1 ,

22、 t = t1 Þ t1= t, t2= t + t Þ dt1= dt, dt2T= dttt + t = Tt1T-T2TT-2Tt + t = -T-Tt0t2-T1òòòòS (w) = lim(t- t)e- jw(t2 -t1 )dt dtRXX21122T1T®¥= limR (t)e- jwtdtdtX2TT®¥R (t)e- jwtdt)dt +)(= lim 1 éùúûT-t0T2Tòòòò-

23、jwt(t)edt dtRêëXX2T1-2T-T-t-TT®¥0é(2T - t)R (t)e- jwtdtù02Tòò(2T + t)R (t)e- jwtdt += limë -2TûXX2T2TT®¥0æ 1 - | t | ö Rò(t)e- jwtdt = limç2T ÷èøX-2TT®¥¥ò R (t)e- jwtdt-¥X0-定理（续）*2

24、00-201页证明：无论随机过程平稳与否，总存在功率谱密度：¥ò-¥R (t, t + t)e- jwtdtS (w) =XX1¥2p ò-¥S (w)ejwtdwR (t, t + t) =XX* 平均功率：11¥¥2p ò-¥2p ò-¥WSSEX2 (t) =S (w)dwEX2 (t) =S (w)dw = R(0)XXX* 利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将定理表示成：¥(t) = 1¥Sò(w)coswtdwSpX0-

25、定理（续）解：（1）通过均的时间平均值求平均功率：EX2 (t) = Ea2 cos2 (w t + Q)0éa2ùa2= E ê 2+w t +2Q)cos(2ú02ëû22= a+ a2pp /2 òwt + 2j)djcos(2022022= a- aw0t)p sin(22Ex. 3.3：随机信号X(t)为X(t) = acos(w0t + Q)式中a和w0均为，Q U(0, p / 2)，求X(t)的平均功率。-定理（续）显然，这个随机信号不是宽平稳的，均号的平均功率：的时间平均值才是信a21TòQ =

26、AEX2 (t) = limEX2(t)dt =T®¥ 2T2-T（2）利用-定理，即通过自相关函数时间平均值的叶变换获得信号功率谱密度，再对频率：RX (t, t + t) = a Ecos(w t + Q)cosw (t + t) + Q2002= aa2cos(w t) +20Ecosw (2t + t) + 2Q 202= aa2p /2 2ò0cos(w t) +20p cosw0 (2t + t) + 2jdj22= aa2cos(w t) -20p sinw0 (2t + t)-定理（续）所以a2A RX (t, t + t)=cos(w t) 20

27、于是S (w) = p a2d(w - w ) + p a2d(w + w)X0022平均功率为：a21¥2p ò-¥XQ =S (w)dw =2-定理（续）a2解：RY (t, t + t) = 2 RX (t)cos(w0t) + cosw0 (2t + t)，所以a2A RY (t, t + t)=R (t)cos(w t) 2X0于是a2SY (w) =SX (w)éëSX (w - w0 ) + SX (w + w0 )ùû4SY (w)w-Dw/2 0Dw /2 w-w0w00Ex. 3.4：若平稳信号X(t)的

28、功率谱密度为SX (w)，又有Y(t) = aX(t)cos(w0t)式中a和w0均为，求Y(t)的功率谱密度。-定理（续）RX (t, t + t) = EX(t)X(t + t)= 1 a2 Ecos(2Wt + Wt + 2F) + E(cosWt)2= 1 a2E(cosWt) = 1 a2¥ò-¥coswtf(w)dwW22= 1 a21ejwt¥-¥ò+ e- jwt f(w)dwW2a22a2é륥(w)e- jwtdwù = 2pòò-¥

29、f (w)ejwtdw +=IFTf (w)fêúûWWW42-¥所以SX (w) = pa f (w)。2WEx. 3.5：已知X(t) = acos(Wt + F)，其中a为实，W和F是两的随量， W 的概率密度函数为fW (w) = fW (-w)， F U(0, 2p，证明：S (w) = pa2f (w)。XW常见W.S.S自相关函数及其功率谱密度R X (t)SX (w)e-a|t |0t 2a222 / aa +w0w1- | t | / T,| t | < T0,其它0t4sin 2(wT/ 2)/(Tw2 )T0we-a|t |

30、cos(w t)00t1/ a-w00w0w常见W.S.S自相关函数及其功率谱密度R X (t)SX (w)sinw0t /(pt)w0 / tp / w00t1-w0w0w010t10wcos(w0t)0tp-w00w0w3.4、离散时间随机过程的功率谱密度3.4.1、平稳离散时间随机过程的相关函数X(n) = X(nT) = X(t) |ßRX (m) = EX(n)X(n + m)= EX(nT)X(nT + mT) = RX (mT)= RX (t) |t=mT若 X(n) 为由 X(t) 经采样间隔 T 均匀采样后得到的广义平稳随机序列，或简称为广义平稳随机序列，则其自相

31、关函数序列是 X(t) 自相关函数的采样序列，即3.4、离散时间随机过程的功率谱密度3.4.2、平稳离散时间随机过程的功率谱密度一、定义SX(W)2pW0二、离散-定理1p2p ò-p S (W)ejmWdWR (m) =XX1p2p ò-p E| X(n) |2 = R(0) =S (W)dWXX¥S (W) = å R (m)e- jmW XXm=-¥3.4、离散时间随机过程的功率谱密度3.4.3、谱分解定理 复频域功率谱 性质-1(z) = SX (z)R 谱分解定理-1SX (z) = B(z)B(z)(z - a-1 )(z - a-

32、1 )(z - a )(z - a)B(z) = C1M B(z-1 ) = CM1(z - b )(z - b)(z - b-1 )(z - b-1 )1MM1极点在零点在圆内圆内/上极点在零点在圆外圆外/上¥1S-m(m) =ò S (z)zm-1dz 2pjDXm=-¥3.5、平稳随机过程的互谱密度3.5.1、X(t) 和 Y(t) 互功率的定义ìü1¥ò*=El× i×mX (t)Y (t)dtíýTTî2Tþ-¥T®¥ 1 T

33、ò= limEX* (t)Y(t)dtT®¥ 2T-T= RXY (t, t)ìü1¥-¥ò*=El× i×mY (t)X (t)dtíýTT2TîþT®¥1T= limò EY (t)X(t)dt 2T*X(t)X (t)-TT®¥T= R(t, t) = Q*YXXYtY(t)t注意：对于实随机信号YXYT(t)Q= Eìl× i×m 1T Y* (t)X(t)dt

34、2;YXí T®¥2T ò-TýîþQ= Eìl× i×m 1T X* (t)Y(t)dtüXYí T®¥2T ò-Týîþ3.5、平稳随机过程的互谱密度3.5.2、互功率谱密度的第一种形式：SXY(w)无论两个随机过程是实还是复，互谱密度一般是复函数ìü¥ìü111Tò2T 2p òX*(t)Y(t)dtý = Eíl 

35、15; i ×mX*= Eíl × i ×m(T, w)X(T, w)dwýQXYXYî2Tþ-TT®¥T®¥îþ-¥¥ò-¥éù11EX* (T, w)X=(T, w) dw(w)limSêúûXY2pXYë2TT®¥òT1¥1¥-T X (t)Y(t)dt = 2p ò XX (T, l)XY (T, l

36、)dl = 2p ò XX (T, w)XY (T, w)dw*-¥-¥11¥XT (t)YT (t) « 2p XX (T, -w) * XY (T, w) = 2p ò XX (T, -l)XY (T, w - l)dl*-¥1¥= 2p ò XX (T, l)XY (T, w + l)dl*-¥T¥ò X*(t)Y(t)dt = ò X* (t)Y (t)dt-T-¥TT3.5、平稳随机过程的互谱密度3.5.2、互功率谱密度的第一种形式：SYX(w)

37、¥Tòò-¥Y*(t)X(t)dt =Y*(t)X (t)dtTT-T¥112p òY*(t)X (t) «X*X*(T, -w) * X(T, w) =(T, -l)X(T, w - l)dlTT2pYXYX-¥¥12p òX*=(T, l)X(T, w + l)dlYX-¥¥1Tò2p òY*(t)X(t)dt =X*(T, w)X(T, w)dwYX-T-¥ìü¥ìü111Tò2T

38、 2p ò= Eíl × i ×mY*(t)X(t)dtý = Eíl × i ×mX*(T, w)X(T, w)dwýQYXYXî2Tþ-TT®¥T®¥îþ-¥¥ò-¥éù11=EX* (T, w)X(T, w) dwlim(w) = S*(w)Sêúû2pYXë2TYXXYT®¥3.5、平稳随机过程的互谱

39、密度3.5.3、互功率谱密度的第二种形式：SXY(w)1EX* (T, w)X (T, w)S(w) = limXYXYT®¥ 2TX*(T, w)X (T, w) « X* (-t) * Y (t)XYTT¥ò-¥Tò-TX* (t)Y (t + t)dt =X*(t)Y(t + t)dt=TTéù¥Tò ê òêEX*(t)Y(t + t)dtúe- jwtdtEX* (T, w)X(T, w) =XYú-¥ ë

40、-TûRXY (t,t+t)éù¥T11ò òEX* (T, w)X(t, t + t)dtúe- jwtdtûS(w) = lim(T, w) = limRêXYXYXYT®¥ 2T2TT®¥-¥ ë-Téù¥T1= ò êlimò RXY (t, t + t)dtúedt =- jwt-¥ ëT®¥ 2T -Tû¥

41、 ò RXY (t, t + t)edt- jwt-¥3.5、平稳随机过程的互谱密度3.5.3、互功率谱密度的第二种形式：SYX(w)1EX* (T, w)X (T, w)S(w) = limYXYXT®¥ 2TX*(T, w)X (T, w) « Y*(-t) * X (t)YXTT¥ò-¥Tò-TY*(t)X (t + t)dt =Y*(t)X(t + t)dt=TTéù¥Tò ê òêEY*(t)X(t + t)dtúe

42、- jwtdtEX* (T, w)X(T, w) =YXú-¥ ë-TûRYX (t,t+t)éù¥T11òòS(w) = limEX* (T, w)X(T, w) = lim(t, t + t)dtúe- jwtdtûRêYXYXYXT®¥ 2T2TT®¥-¥ ë-T¥éùT1= ò êlimò RYX (t, t + t)dtúedt =- j

43、wtdt-¥ ëT®¥ 2T -Tû¥ ò RYX (t, t + t)e- jwt-¥3.5、平稳随机过程的互谱密度若两随机过程平稳，则¥ò-¥ò-¥R(t, t + t) = R(t)S(w) =(t)e- jwtdt(t)e- jwtdtRXYXYXYXY¥R(t, t + t) = R(t)S(w) =RYXYXYXYX此时平均互功率为：¥ò= R(t, t) = R(0) =S(w)dwQ12pXYXYXYXY-¥¥ò= R(t, t) = R(0) =S(w)dwQ12pYXYXYXYX-¥对于实随机信号：¥¥òòS(w) = S*(w), Q=S(w)dw = Q=(w)dwS 1 2p 1 2pXYYXXYXYYXYX-