一元二次方程的解法

1、一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。 一元二次方程的一般形式为：ax2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方

2、求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的 方程，其解为x=m± . 例1解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× (3x+1)2=5 3x+1=±(注意不要丢解) x= 原方程的解为x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 (3x-4)2

3、=11 3x-4=± x= 原方程的解为x1=,x2= 2配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac0时，x+ =± x=(这就是求根公式) 例2用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 

4、;将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± x= 原方程的解为x1=,x2= . 3公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac的值，当b2-4ac0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=-b±(b2-4ac)(1/2)/(2a) , (b2-4ac0)就可得到方程的根。 例3用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

5、0;a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 x=(-b±(b2-4ac)(1/2)/(2a) 原方程的解为x1=,x2= . 4因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 

6、;(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) x1=0，x2=-是原方程的解。 

7、;注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 2x-5=0或3x+10=0 x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （4 可分解为2 ·2 ，此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程

8、写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5用适当的方法解

9、下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

10、 2(x+2)+3(x-3)2(x+2)-3(x-3)=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 x-(-3)(x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) =(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 x= x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5

11、m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 2x-(m+2)2x-(m+3)=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 x1= ,x2= 例6求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法） 解：3(x+1)+2(x-4)(x+1)+(x-4)=0 即 (5x-5)

12、(2x-3)=0 5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 x-1=0或2x-3=0 x1=1,x2=是原方程的解。 例7用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q0时，0（必须对p2-4q进行分类讨论） x=- ±= x1= ,x2= 当p2-4q

13、<0时，<0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一

14、）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） (2x+3)+6(2x+3)-1=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 2x+9=0或2x+2=0 x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 x-( +b) x-( -b)=0 (x- a)(x-a)=0 x-( +b)=0或x-( -b) =

15、0 x- a=0或x-a=0 x1= +b，x2= -b是 x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、&#

16、177;1 4 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b0且c=0 B、b=0且c0 C、b=0且c=0 D、c=0 5 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平

17、方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，

18、一定是两个。 2分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1时，方程成立，则必有根为x=1。 4分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-