高等数学形成性考核册答案1

1、仅供个人参考高等数学（B）（1）第一次作业初等数学知识1、 名词解释邻域：设a和6是两个实数，且6>0,满足不等式x-a<6的实数x的全体称为a的6邻域。绝对值；数轴上的点a到原点的距离称为a的绝对值，记为a。数轴：规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴。实数：实数由有理数和无理数组成。有理数包括整数和分数。2、 填空题alai1、绝对值的性质有（a之0）、（ab=|ab）、（石=,）、（-a<a<|a）>（a+bw|a+b）、（ab留-b）。2、开区间的表示有（a,b）、（a<x<b）（提示：分别用区间和数轴形式表示）3、闭区间的表示有（Ia,b）、

2、（a<x<b）o4、无穷大的记号（空）。5. （-8,+8）表示（全体实数），或记为（R）。6、（-8,b）表示（满足不等式x<b的一切实数x）,或记为（g<xcb）。7、（a,+8）表示（满足不等式xa的一切实数x）,或记为（a<x<十°°）。8、去心邻域是指（满足不等式x-a<&且x#a）的全体，用数轴表示即为（P7下图）。119、满足不等式2E1<1的数x用区间可表本为（i,11）。三、回答题1、初等数学为高等数学做了哪些准备？答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算转变。符号是一种更为简洁的语

3、言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力。（2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。（3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。（4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。2、有理数包括哪些数？答：有理数包括整数和分数。3、数轴上二个有理数之间都是有理数吗？答：二个有理数之间有有理数，也有无理数。4、不等式1<xE5等价于哪个区间？答：等价于1,51。一1a) 点x=1的6=邻域如何表示？2较广13)谷一,一0I22)5、计算题a)解不等式x23x+2>0解：x2-3x+2>0,(x-1p-2)>0,x>2或x

4、<1；所以不等式的解为(Q,12(2,收卜b) 解不等式Jx2-6x+5>0解：x2-6x+5>0,(x-1；(x-5)>0,x之5或xW1；所以不等式的解为(Q,1L5,依c)解方程|x2+3x10|=0解：x2+3x10=0,(x+5；(x2)=0,x=5或x=2。函数1、 名词解释函数答：设x和y是两个变量，若当变量x在其变动区域D内取任一数值时，变量y依照某一法则f总有一个确定的数值与x值对应，则称变量y为变量x的函数，记作y=f(x)。奇函数答：设函数y=f(x)在关于原点对称的集合D上有定义，如果对任意的xwD,恒有f(x)=f(x),则称函数f(x)为奇函

5、数。偶函数答：设函数y=f(x)在关于原点对称的集合D上有定义，如果对任意的xwD,恒有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。定义域答：在函数的定义中，自变量x的变动区域，称为函数的定义域。值域答：在函数的定义中，y的取值的集合称为函数的值域。初等函数答：由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数。三角函数答：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数。指数函数：答：函数y=ax（a>0,a#1）,称为指数函数。复合函数答：设y是u的函数y=f（u）,u是x的函数u=®（x）,如果u=4（x）的值哉包含在y=f（u

6、）的定义域中，则y通过u构成x的函数，记作y=f（4（x）,这种函数称为复合函数，其中u称为中间变量。对数函数答：函数y=logax（a>0,a#1）,称为对数函数。反函数答：设设y是x的函数y=f（x）,其值域为G,如果对于G中的第一个y值，都有有一个确定的且满足丫="*）的乂值与它对应，则得到一个定义在G上的以y为自变量，x为因变量的新函数，称它为y=f（x）的反函数，记作x=f,（y）,并称y=f（x）为直接函数。哥函数答：函数y=x33为实数）称为哥函数。常数函数答：函数y=c（c为实数）称为常数函数，它的定义域是+卜常量答：一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定

7、的值，我们称它为常量。变量答：一类量在考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量。2、 填空题1、函数概念最早是由（莱布尼兹）引进的，有了函数概念，人们就可以从（数量）上确切地描述运动。2、在历史上第一个给出函数一般定义的是（狄里克雷），并给出了一个不能画出图形的函数，这就是著名的（狄里克雷函数），它的表示式是（f（x）=10'娓无理数）。'1,娓有理数3、函数的三种表示方法：（解析表达式），（图形式），（表格式）。4、函数表达了（因变量）与（自变量）之间的一种对应规则。5、单值函数是当（自变量）在（定义域）中取定了一数值时，与之对应的（函数值）是唯一的函数。6、奇

8、函数的图像特点是(图像关于原点对称)。7、单调函数的图像特点是(沿X轴正向逐渐上升或沿X轴正向逐渐下降)。8、反函数的图像特点是(与原函数的图像关于直线y=X对称)。3、 回答题1、 什么是有界函数？答：设函数y=f(x)在集合D上有定义，如果存在一个正数M,对于所有的XWD，恒有|f(x)|<M,则称函数f(x)在D上为有界函数。2、 对于有界函数要注意哪几点？答：对于函数的有界性，要注意以下几点：(1)当一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有界时，正数M的取法不是唯一的。(2)有界性是依赖于区间的。3、 什么是单调函数？答：设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,

9、b)内的任意两点为和乂2，当为<“时，恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间(a,b)内单调增加；如果对于(a,b)内的任意两点x1和x2,当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间(a,b)内单调减少。单调增加函数和单调减少函数统称单调函数。4、 反函数存在定理是什么？答：若函数y=f(x)在(a,b)上是单调的，其值域是(c,d),则函数y=f(x)存在反函数y=f，(x),其定义域是(c,d),值域为(a,b)。4、 作图题(1) y=x2用描点法，即多取几个x值，算出相应的y值，作出众多点(x,f(x)后，用光滑曲线连结即可。

10、见29-41页。详细过程略。(2) y=x3见29-41页。略(3) y=sinx见29-41页。略(4) y=cosx见29-41页。略y=tanx见29-41页。略1(6) y=x2见29-41页。略y=lnx见29-41页。略(8) y=2x见29-41页。略(9) y=log2x见29-41页。略(10)y=log1/2x见29-41页。略x(11) y=e见29-41页。略(12) y=ex见29-41页。略五、计算题(1)已知圆的周长为1,求圆的面积S.解：r=L,S=nr2=n工1=。2二2二4二(2)已知长方形的周长为60cm,其中一边为10cm,求其面积。解：另一边为60二立

11、10=20,求面积为10M20=200(cm2)2(3)求y=log2(x+1)的定义域。解：x+1A0,xA1,所以所求定义域为(一1,收)。(4)y=log2(x2+1),求f(2),f(1/2),f(a+b),f(x2)解：f(2)=log2(22+1)=log25,1.5f(1/2)=log2(-1)=10g2一，44f(a+b)=log2(ab)21),f(x2)=log2(x41)x(5)求y=的反函数，并指出它的定义域。x2解：y(x+2)=x,yx+2y=x,(y1)x=2y,x=-2y-,所以所求反函数为y=-2、。1-y1-x(6)求复合函数，已知f(x)=y=u2+1,u

12、=v1,v=Jx+1。-2解：y=u2+1=(v1)2+1=(Jx+1-1),六、论述题你能对复合函数作几点解释？答；(1)复合函数是函数之间的一种运算。(2)不是任何两个函数都可以构成一个复合函数，如y=arcsinu和u=2+x2就不能构成复合函数，因为后一个函数的值域不包含在前一个函数的定义域中。(3)复合函数分解的结果不一定是纯粹的基本初等函数，更多的是由基本初等函数经四则运算形成的函数构成的。1、 名词解释极限答：极限分为数列极限和函数极限。无穷小量答：极限为0的变量称为无穷小量，简称无穷小。连续答：函数y=f(x)在x0及其邻域有定义，且limf(x)=f(x0)成立，则称函数y=

13、f(x)在X)x0点xo处连续。否则称y=f(x)在点xo处不连续，或称间断，点xo称为间断点。数列极限答：对于数列xn,如果当n无限增大时，xn无限地靠近一个常数A,则称数列xn以A为极限，记为：limxn=A。nj：n函数极限答：对于函数y=f(x)在xo(此可为g)的邻域内有定义，且当xtxo时，f(x)无限地靠近一个常数A,则称y=f(x)在xo处有极限A,记为：limf(x)=A。x>x)无穷大量答：如果当xTxo(xTg)时，|f(x)|的值无限地增大，则称f(x)是无穷大量，简称无穷大，记为limf(x)=0°或f(x)t。xxo2、 填空题1、从极限产生的历史背

14、景来看，极限概念产生于(解决微分学与积分学的基本问题)：求面积，体积，弧长，(瞬时速度)以及(曲线在一点)的切线问题。2、极限概念描述的是(变量在某一变化过程中)的终极状态。3、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的庄子。天下篇中说：(一尽之植)、(日取一半)、(万世不竭)，就是极限的朴素思想。4、公元3世纪中国数学家(刘徽)的割圆术，就用圆内接正多边形周长去逼近(圆周长)这一极限思想近似地计算(圆周率)的。5、极限概念产生于(抛物线下的面积)和(曲线的切线)两个实际问题。三、；回答题1简述连续性概念答：设函数y=f(x)在xo及其邻域有定义，且limf(x)=f(x0)成立，则称函

15、数y=f(x)x凶在点x0处连续。否则称y=f(x)在点x0处不连续，或称间断，点x0称为间断点。2、间断点分为几类？答：间断点分为第一间断点和第二间断点。3、什么是单侧连续？答：如果函数y=f(x)在x0及其邻域有定义，且limf(x)=f(x0),则称y=f(x)在点xMx0处右连续。类似地，如果函数y=f(x)在x0及其邻域有定义，且lim0f(x)=f(x0),则称y=f(x)x-x一在点小处左连续。4、什么是连续函数？答：若函数y=f(x)在它的定义域上的每一点都是连续的，则称y=f(x)是连续函数。5、述复合函数的连续性定理答：设y=f(x)在点z=4连续，z=4(x)在点x=%连

16、续，而Zo=4(xo),并设y=f®(x)在点x=x0的某一邻域内是有定义的，则复合函数y=f©x)在点x=x0连续。四、论述题极限思想的意义答：极限思想体现了两个转化：(1)有限与无限的相互转化。如极限式liman=a,从左向右看，是无限向有限的转化；n二从右向左看，是有限中包含着无限。在学习极限的时候，我们较多地注意到无限向有限转化的这个侧面，而常常忽略有限包含无限这个侧面。(2)近似与精确相互转化。定积分是一种和式的极限，定积分的近似计算就是用有限和去代极限值，得用了近似与精确这对矛盾的转化。另外，如果我们从哲学上来看待极限概念，首先它表现了量变质变律：量的变化引起了

17、质的变化。例如，有理数的序列可以有无理数的极限；还有近似转化为精确，也是量变引起了质变；其次，它表现了否定之否定律：有限-无限-有限；最后，它反映了对立统一律：有限与无限的对立与统一，近似与精确的对立统一，质与量的对立统一；运动与静止的对立统一极限概念的含义是丰富的，它的多种应用就基于此。五、计算题(1)2_4n2 2lim 2n-J 3n1解:4n2 2lim 23n 1=limn 工二(2)sin2x解:2x(3)解:sin2xlim x 0 4sin 2xlim . n 1 _ nn_：lim n 1 f n = limn l ：n l ：、n 1f n'一 n , 1 nn 1

18、 - n= lim n ' . n 1 、n不得用于商业用途=limfF,n1.n六、在x = 0处的极限是否存在。讨论f (x) = «1 -x, x >0、0,x <0 解:lim*f(x)=lim/1x)=1,limf(x)=lim0=0,所以f(x)在x=0处的极限不存x)0x0x)0xQ-在。作业二名词解释导数答：设函数y=f(x)在点x的某领域内有定义，给x以改变量Ax,则函数的相应改变量为Ay=f(x0+Ax)-f(x0),如果当Axt0时，两个改变量比的极限：yy一鸡存在，则称这个极限为函数f(x)在x0可导或具有导数，也称为f(x)在x0可微。平

19、均变化率答：设函数y=f(x)在点x的某领域内有定义，给x以改变量Ax,则函数的相应改变量为yy=f(x0+Ax)f(x0),则称效为平均变化率.x瞬时变化率答：设函数y=f(x)在点x0的导数，称为在在点x0的瞬时变化率导函数答：若函数y=f(x)在点x可导，导数为f'(x),则可建立一个函数f'：xtf'(x),这就是导函数高价导数答：f"(x)=(f'(x)',f'''(x)=(f''(x)',IH,f(n)(x)=(f(nj)(x)',都称为高阶导数。驻点答：若函数y=f(x)在某

20、一点x0的导数f'(x0)=0,则称x0为函数y=f(x)的驻点。极值答：若函数y=f(x)在点的领域(x°-6,%+6)内有定义，若对任意的xw(%-d,x0+6),都有f(x)<f(/)(或f(x)>f(/)，则称f(%)为函数f(x)的极大值(或极小值)。二、填空题1、导数的物理意义是(距离函数的导数为速度，速度函数的导数为加速度)2、导数的几何意义是(函数在某点处的导数，就是该函数在这点处的切线的斜率)3、导数的第三种解释是(函数的微分除以自变量的微分)4、导数是一种特殊的极限，因而它遵循(极限运算)的法则。5、可导的函数是连续的，但连续函数(不一定可导)

21、。三、回答题1、什么是费马定理？答：设函数y=f(x)在点x°的领域(%-3,%+6)内有定义并且在x0处可导，如果对任意的xE(x0-5,%+5),有£(刈“)(或£(刈之")卜那么f'(xo)=0。2、什么是罗尔定理？答：设函数y=f(x)在a,b上连续，在开区间(a,b)可导，并且满足条件f(a)=f(b),那么至少存在一点S(a,b),使得代)=0。3、什么是拉格朗日中值定理，它的哺助函数欠x)是怎么构造的？答：设函数y=f(x)在la,b上连续，在开区间(a,b)可导，那么至少存在一点1w(a,b),使得f(a)-f(b)=f'

22、(t)(b-a)o4、函数的性质有哪些？答：单调性、极值性、最大、最小值等。导数是解决所有这些问题的主要工具。5、导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？答：、导数的绝对值大小告诉我们：当f'绝对值较大时，函数曲线就陡峭一些；当f'绝对值较小时，函数曲线就平坦一些。6、什么是极大值(或极小值)？答：若函数y=f(x)在点的领域(x0-6,%+6)内有定义，若对任意的xw(x02%+6),都有f(x)Ef(%)(或f(x)之f(%),则称f(x0)为函数f(x)的极大值(或极小值)。7、请举例就明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。3答：函数y=x在

23、x=0处导数为0,但其在0处不是极值点。8、最大值与极大值是一回事吗？答：函数的最大值与极大值是两个不同的概念。最大值是指函数在给定区间的全部函数值中最大、最小的值。而极值描述的只是在极值点附近的局部变化情况，在一个闭区间上连续的函数有且只有一个最大值，而极大值可能有几个。极大值不一定是最大值，最大值不一定是极大值。9、解决最大或最小问题通常要用哪几步骤？答：解决最大或最小问题通常要他二步走"(1)求出函数在区间的一切驻点；(2)计算函数在驻点和端点的函数值并进行比较，其中最大(小)的是最大(小)值。四、计算题21、求函数y=x在点x=3处的导数(用定义做此题)2-2x-3斛：y&#

24、39;(3)=lim=limx3=6x3x-3x3，一一442、求函数y=x+-JX+2有导致。x解:=4x312.x23、求y=xsinx的导致解：y'=2xsinxx2cosx4、求y=lognx的导数1斛：y'=xlnn.，3、一，5、求y=sin(cosx)的导致。3_3,_3_.322_3_-3角军：y'=coscosxIIcosx'-coscosxsinx3x-3xcoscosxsinx6、求y=lncosx的导数。1,sinxx斛：y'=cosx'=-=-tanxcosxcosx7、求y=ln|x|的导数。1斛：y=一x4/262八

25、8、求y=+x3的导致ex13J解:y =4e7 + j22x3_122 4In - -x 33 3二2V-4e-39、求y=ln(1+x2)的导数-122x解：y'21x'=21x1x10、求y=sinx的n阶导数。解：当m为自然数，n=4m时，y(n)=sinx。当m为自然数，n=4m+1时，y(n)=cosx。当m为自然数，n=4m+2时，y(n)=sinx。当m为自然数，n=4m+3时，y(n)=cosx。五、应用题1、气球充气时，半径R以1cm/s的速率增大，设充气过程中气球保持球形，求当R=10cm时，休积V增加的速率。解：v=4nR3,dV=4nR2dR,dV=4

26、n10,1400n。32、把长为1的线段分成两段，使得以两段分别作为长宽所的的矩形面积最大。解：两个线段中的一段为X,则另一段为1-X,两段分别作为长宽所的的矩形面积/2,2、.-1,s=X(1-X)=X-X,s'=x'(x)'=12x,X=3为驻点，此时面积取大3、某工厂需要建一个面积为512M2的矩形堆料场，一边可以利用原有的壁，其综三边需要砌新的壁，问长和宽各为多少时，才能使砌壁所用的材料最少。-,一一，512一512512解：设矩形的一边长为x,则另一边为5上，用料为l=2x+512,l'=25122,则x=16XXX为驻点，此时用料最省。长和宽各为32

27、,16。微分一、名词解释微分答：设y=f(x)在点x处可导，则f'(x)Ax称为函数y=f(x)在点x处的微分，记作dy,即dy=f'(x)dx.函数的一阶微分不变性。答：设u=Wx)在点X处可微，y=f(u)在对应的u处可微，且复合函数y=fp(x)1在点x处的可微，且dy=f'(u)du.微分的线性化答：因为Ays：dy,所以f(x0+&x)-f(x0)定f'(x0)Ax,f(x0+Ax)比f(x0)+f'(x0)Ax,令x=%+Ax,Ax=xX0,则有y=f(为定f(x)+f'(0X()x0X这个能常驻称为y=f(x)的一次近似或线

28、性近似。填空题1、微分有双重意义，一是表示(微小的量)，二是表示(一种与求导密切相关的运算）。2、微分学包含两个系统：（概念系统）和（算法系统）。3、导数是逐点定义的，它研究的是函数在（一点附近）的局部性质。4、微分中值定理建立了函数的（局部性质）和（整体性质）的联系，建立了微积分理论联系实际的（桥梁）。三、回答题1、微分学基本问题是什么？答：当自变量x有一个改变Ax（即dx）,函数值也产生了一个变化Ay。若记dy=f'（x）dx,贝UAy球dy。2、微分学的基本运算是什么？见书144页的表7.1.3、微分的线性化有什么应用？答：在数学上最容易处理的函数的线性函数，借助微分可使一大批非

29、线性函数在局部转化为线性函数，使我们在处理问题时达到简单、方便、高效的目的。四、计算题1、求以下微分(1)1y=c22x解:dy = y'dx =(2)x y7解:dy = y'dx =4x - xln 4 442x4xdx 。2(3)y=sinx解：dy=y'dx=2sinxcosxdx=sin2xdx。(4)y=xsinx解：dy=y'dx=（sinx+xcosx）dx。2、半径为8cm的金属球加热以后，其半径伸长30.04cm,问它的体增大了多少？433解：原体积为2=一冗8=2144.597cm,现体积为34333V2=冗（8+30.04）=230573

30、.699（cm）,则体积增加了228429.102（cm3）.33、计算祈衣近似值。解：设f(x)=3/177,故当|x|很小时，f(x)*f(0)+f'(0)x,1f(0.03户f(0)+=0.03,所以3103之1+0.01=1.01。33(10)2五、证明题当|x|很小时，ex(w1+x。证明：因为limf(x)-f=f'(0),所以当|x|很小时，f(x)fMf'(0)。x0x-0x-0x0令f(x)=ex,有ee-fexYxq，ex1化x,故ex总1+x。x-0一作业三不定积分一、名词解释原函数答：如果函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a,b),并且处处都

31、有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)的一个原函数。不定积分答：函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为Jf(x)dx。不定积分几何意义答；不定积分的几何意义就是曲线族，由一条曲线上下平移而得到，它们在同一点的切线斜率相等。二、填空题1、在数学中必须考虑的运算有两类：(正运算)与(逆运算)。2、对应于加法运算的逆运算是(减法)，对应于微分运算的逆运算是(不定积分)3、关于逆运算我们至少有两条经验：一是逆运算一般说比正运算(困难)，二是逆运算常常引出(新的结果)。如减法引出(负数)除法引出(有理数)，正数开方引出(无理数)负数开方引出(虚数

32、)。三、回答题1、什么叫函数f(x)在区间(a,b)的原函数，有多少个原函数？原函数彼此之间有什么关系？答：如果函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a,b),并且处处都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,贝U称F(x)是f(x)的一个原函数。如果一个函数存在原函数，则存在无数多个原函数。原函数之间的差为常数。2、什么叫函数f(x)在区间(a,b)的不定积分。答：函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为jf(x)dx。3、两个函数的不定积分相等是什么意思？答：指的是二个函数的所有原函数所组成的集合相等。4、说明数学运算中存在的正运算和逆运算。答：在数学中必须

33、考虑的运算有两类，正运算和逆运算。加法的逆运算为减法，乘法的逆运算为除法，乘方的逆运算为开方，微分的逆运算为不定积分。关于逆运算我们有二个经验：一是逆运算一般说比正运算(困难)，二是逆运算常常引出(新的结果)。如减法引出(负数)除法引出(有理数)，正数开方引出(无理数)，负数开方引出(虚数)。5、说明原函数和不定积分的关系。答：一个函数的全体原函数称为此函数的不定积分。四、计算题1、求下列函数的原函数(1)f(x)=5解：f(x)dx=5xcf(x)=-2x2解：ff(x)dx=J-2xdx=-x+c。(3)f(x)=4e2x解：f(x)dx=4e2xdx=2e2xd2x=2e2xc。(4)f

34、(x) =63 x解:_13 -f (x)dx = 63 xdx =6 x3dx =6 - x+ c = 9x；+c。2一5 f(x)=6x解：j f(x)dx = f6x5dx = x6+c。(6) g(x)=72解：f g(x)dx= J 72dx =/2x+c。g(x)12.x解:g(x)dx =1 x 2dx2112x2 c = x2 c g(x) = sin x解： g(x)dx 二 一 sin xdx =cosx c(9) g(x)=x6解:.g(x)dx =x%x = -1x c5(10)g(e)=e3i.“解：g(x)dx-dd-=-c42、求下列各不定积分(1) Jx4dx解

35、：fx4dx=1x5+c。5(2) |xTxdx325解：x2dx=-x2c。-1X(3) J(-+4X)dxx-1xx斛：(4)dx=In|x|4In4cx(4) Jtan2xdx22解：tanxdx=(secx-1)dx=tanx-xcJexdx解：exdx=ex,c(6)fdxx111斛：dx=d(x1)=In|x1|cx1x1fsinxcosxdx11c斛：sinxcosxdx=-sin2xdx二一一cos2xc22(8)farctanxdx解：(此题已超出本课程要求的范围)定积分一、名词解释定积分答：设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=x0x1川xn=b把区间a,b分为n个小

36、区间个，为+,其长度为=xi+xj=1,2,|,n1,在每个小区间区，为由上任取n1.一点与Wxi,x+,求出它们的部分和Sn=£f)乐，记九=mx心为,当九T0时，i=0若Sn有极限S,并且值S在区间a,b的分法无关，与中间值。的取法无关，则称此极限b值S为f(x)在a,b上的定积分，记作f(x)dx。a定积分的几何意义b答：若f(x)>0,则f(x)dx表示由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积。定积分中值定理答：设函数f(x)在区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点七，使得bIf(x)dx=f(7b-a)。a微积分基本定理答：设函数f(x)

37、在区间ab止连续，F(x)是其的一个原函数，那么bLf(x)dx*(b)F(a)。牛顿莱布厄兹公式答：设函数f(x)在区间ab上连续，F(x)是其的一个原函数，那么公式bff(x)dx=F(b)-F(a)称为牛顿莱布厄兹公式。a二、填空题1、定积分是对(连续变化过程总效果)的度量，求(曲边形区域的面积)是积分概念的最直接的起源。2、积分学的基本问题是(非均匀变化量的求积问题)。它的数学模型是(积分和n4=£f(彳ax),它的物理原型(求变速运动的路程)，它的几何原型是(曲边梯形的i=0面积)。3、微分学的基本问题是(求非均匀变化量的变化率)，它的数学模型是(平均变化率蓄=&y

38、/Ax),它的物理原型(瞬时速度=平均速度的极限)，它的几何原型是(曲线在一点处的切线斜率=割线斜率的极限)，它的基本运算是(求导运算和求微分运算)。4、微分学研究的是函数的(的局部性质)，无论是微商概念，还是微分概念，都是(逐点)给出的，数学家研究函数的局部性质，其目的在于(从局部性质去探索整体性质)5、积分学包含(包含定积分)和(不定积分)两大部分。不定积分的目的是提供(计算方法)。三、回答题1、定积分有哪些应用？答：可求曲边梯形的面积；可求变速度的路程；可求旋转体体积，平均值等等，总之定积分解决了非均匀变化量的求积问题。2、定积分的性质有哪些？答：答：设函数f(x),g(x)在区间a,b

39、上连续，且a,b,c,k为常数，那么有bb(1) fkf(x)dx=kf(x)dx。aabbb(2) f(f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dx。-a'a'aba(3) Jaf(x)dx=-1f(x)dx。(4) ff(x)dx=0。abcb(5) 1f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx。-aacb(6) f1dx=b-aabb(7)如果在a,b上，f(x)Eg(x),则f(x)dx<g(x)dx。a-ab(8)如果m<f(x)<M,则m(b-a)<f(x)dx寺(b-a)。a(9)在a,b上至少存在一点匕使得fbf(

40、x)dx=f(Mb-a)°a3、简述积分区间上限为变量时定积分定理。b答：设函数f(x)在区间a,b上连续，则f(x)dx)'=f(x)。a4、建立定积分步骤有哪些？答：(1)设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=%<x1<111<xn=b把区间a,b分为n个小区间x,xi+，其长度为。(2)在每个小区间xi,xi+上任取一点wxi,xi书。n1(3)求出它们的部分和Sn=£f仁讪xi。0(4)记m=maxAxi，当九t0时，和式趋于ff(x)dx。a四、计算题1、利用定积分性质，比较下列积分值大小1o1,(1) xxdx和xxdx001 o

41、1o解：因为在(0,1)上，x>x,则xdx>Joxdx.2 322(2) jxdx和(xdx22解：因为在(1,2)上，x>x,则Jxdx>工xdx。222(3) fInxdx和fInxdx-11o22o解：因为在(1,2)上，InxaInx,所以(Inxdx>(Inxdx.,1,1一一22、求函数y=2x+3x+3在区间1,4上的平均值。3、设y=1sintdt,求dy|兀。0dxx9解:dydxI#snx|工厂xhxh44“x1dy4、设y=dx，求-。01Adxdy1解：工二。dx1A5、计算下列定积分。33(1)fxdx11一解：原式=x4|；=204J

42、Vxdx解：原式=2xjx|4=I"。33(3)f"sinxdxji解：原式=cosx|M=2。1ji(4)ee,dx1解：原式=-e|0i=e-1。(5),21dx232解：原式=1(1-)dx=x3ln(x+3),=2+1+3ln2=3ln21。x3式1M-31 -2t /V 4 I 11 一 61111)dtln|2t-3|-ln12t3|2t36|I221ln11=一In5Tn11+ln5=。121226、求抛物线y=4ax,直线x=4及x轴所围图形绕x轴旋转体积。4c/解：V=n(4axdx=n2ax|0=32an。x7、求直线y=1-一及两条坐标轴所围成的三角形

43、绕x轴旋转而成的旋转体积。2解：直线与两标轴交点为(2,0)(0,1),；2-2/23、2一2x12xxx2nV=兀1-xdx(1-x+Jdx;冗x-+=H2)0471212,032.8、计算f(x)=2x+3,y(x)=x所围图形的面积。y2x3r解：两曲线交点坐标满足2y2，即(-1,1)和(3,9)，则y=x，一322133532S=2x+3x)dx=(x+3x-x)|=9+=。3339、计算f(x)=ex,x=2,x=4,y=0所围图形的面积。4解：S=exdx=ex|2=ee。2作业4微积分简史1、论述微分学的早期史答：在微分学这个邻域内，费马给出了一个统一的无穷小方法，用以解决求最

44、大最小值问题。牛顿和莱布尼茨各自创立一套一般的符号体系，建立计算的正规程序或算法。柯西等19世纪数学家为这门学科重建逻辑上的一致的、严格的基础。2、简述费马对微分学的贡献。答：属于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作是1629年费马给出的。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生，费马在这两个问题都作出了重要贡献，他处理这两个问题的方法是一致的。用现代语言来说，都是先取增量，而后让增量趋向于0,而这正是微他学的实质所在。在费马求面积的过程中，我们看到了定积分的概念与运算的大部分的主要方面。可以肯定地说，除了巴罗以外，没有任何数学家像费

45、马这样接近于微积分的发明了。3、简述巴罗对微分学的贡献。答：巴罗最重要的著作是他的光学和几何学讲义。在这本书中我们能够找到非常接近近代微分过程的步骤。巴罗求切线的方法非常接近于微分学中所采用的方法。特别有趣重要的是巴罗把作曲线的切线与曲线的求积联系了起来。这就是说。他把微分学和积分学的两个基本问题以几何对比形式联系起来了。巴罗的确走到了微积分基本定理的大门口了。4、论述积分学的早期史。答：积分学起源于各种求积问题，如面积、体积和弧长的计算这些问题的研究在西方要追溯到遥远的古希腊。安提丰提出，随着一个圆的内接正多边形的边数逐次成倍增加，圆与多边形的差将被穷竭。阿基米德对穷竭法做出发最巧妙的应用。

46、得到了球的体积和圆柱体的体积。我国古代的刘徽的割圆术和祖恒提出的“哥势既同，则积不容异”原理，对微积分作出了重大贡献。5、论述微积分对人类历史的贡献。答：微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点，这个伟大的发明明显不同于旧数学。旧数学是关于常量的、静止的，而新数学是关于变量的、运动的。关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“一切理论成就中，末必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了”。牛顿和莱布尼茨集其大成，迸发出新方法和新观点，使数学达到了一个更高的水平。6、牛顿和莱布厄兹对微积分的发现做出了什么的贡献？答：牛顿在曲线求积论和流数术和无穷级数方法及其对几何曲线的应用的论文中，建立和完成了无穷小量的经典分析，也就是建立和完成了微积分学。牛顿先后考虑了微分、解微分方程、函数的极值、曲线的切线等等。莱布尼茨在研究巴罗的著作后，意识到微分和积分的互逆关系，在其的一种求极大值和极小值和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算：是历史上最早公开发表的关于微分学的文献。文中给出微分