最短路径问题说课—杨海军

1、人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）崇雅实验学校崇雅实验学校 杨海军杨海军教材教材分析分析目标目标分析分析教法教法分析分析教学教学设计设计评价评价分析分析说说最短路径问题最短路径问题教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析问题问题问题问题最短路径问题最短路径问题1.1.教学内容教学内容2.2.地位作用地位作用4.4.重点难点重点难点3.3.预见问题预见问题1.1.教学内容教学内容教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析最短路径问题最短路径问题2.2.地位作用地

2、位作用4.4.重点难点重点难点3.3.预见问题预见问题1.1.教学内容教学内容2.2.地位作用地位作用3.3.预见问题预见问题教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析最短路径问题最短路径问题4.4.重点难点重点难点 重点：通过轴对称、平移解决重点：通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的最短路将军饮马和造桥选址的最短路径问题径问题 难点：如何理解通过轴对称、难点：如何理解通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址平移解决将军饮马和造桥选址的路径一定是最短的路径一定是最短1.1.教学内容教学内容2.2.地位作用地位作用教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教

3、法分析教学设计教学设计评价分析评价分析最短路径问题最短路径问题4.4.重点难点重点难点3.3.预见问题预见问题教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析1. 1.知识目标知识目标2. 2.能力目标能力目标3. 3.情感目标情感目标 利用轴对称、平移变换等转化思想，利用轴对称、平移变换等转化思想，结合线段公理解决最短路径问题。结合线段公理解决最短路径问题。通过轴对称、平移解决将军饮马和通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的最短路径问题造桥选址的最短路径问题在探究最短路径问题过程中，让学在探究最短路径问题过程中，让学生体会到轴对称，平移在解题中的生体会到轴对

4、称，平移在解题中的“桥梁桥梁”作用，感悟转化思想将作用，感悟转化思想将数学知识与实际生活联系起来数学知识与实际生活联系起来 。最短路径问题最短路径问题教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析 为了让学生对教学内容有较好的理解和掌握，为了让学生对教学内容有较好的理解和掌握，采用启发式、自主探究式等教学原则，重视知识采用启发式、自主探究式等教学原则，重视知识的形成过程，给学生以探究的时间和空间，让学的形成过程，给学生以探究的时间和空间，让学生对所学知识有思考、理解、接受、内化的过程。生对所学知识有思考、理解、接受、内化的过程。教学方法教学方法教学手段教学手段

5、 在教学中采用多媒体课件，师生合作探究，在教学中采用多媒体课件，师生合作探究，小组交流讨论，学生验证归纳，课堂讲练结合小组交流讨论，学生验证归纳，课堂讲练结合等手段，增强教学的趣味性和有效性。等手段，增强教学的趣味性和有效性。最短路径问题最短路径问题教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析最短路径问题最短路径问题(1)如图.现要在村庄A和村庄B之间修建一公路,如何修建可使公路最短?A村庄村庄B村庄村庄两点之间，线段最短两点之间，线段最短（2）如图：点A、B在直线L的同一侧，在图中作点A关于直线L的对称点A；AAlBP这是我们今天要解决的这是我们今天要解决

6、的“将军饮马将军饮马”的问题的问题请你在直线上找到一点P，使A P+BP最短；请问你能否在直线L上找到一个点C，使AC+BC最短？1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析饮马问题：如图饮马问题：如图13.4-1,13.4-1,牧马人从牧马人从A A地出发地出发, ,到一条笔直的河边到一条笔直的河边L L饮马饮马, ,然后到然后到B B地地, ,牧马人牧马人到河边的什么地方饮马到河边的什么地方饮马, ,可使所走的路径最可使所走的路径最短短? ?lBA最短路径

7、问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析 问题抽象问题抽象将实际问题中将实际问题中A A，B B两地与笔直的河两地与笔直的河L L（图（图2 2）抽象成点抽象成点A.A.点点B B和直线和直线L, L, （图（图3 3）lA B 图13.4-3lBA最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分

8、析评价分析题目分析：题目分析： 在直线L上确定一点C，使得AC+BC最短。lB A 最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置AAlBP在引入时，直线L上是找到一点P，使A P+BP最短如果能把直线上同侧的两点转变成是直线上异则的两点， 则AC+BC最短的C点也就随之可确定，那如何将其中一点转变到直线的另一侧呢？教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析以以A A点为例说明，在直线的另一侧确定一点点为例说明，在直线的另一侧确定一点AA，使，使AC+BC=A C+BCAC+BC

9、=A C+BC，即有，即有AC=A CAC=A C的存在，的存在，这时想到了作轴对称。作这时想到了作轴对称。作A A点关于直线点关于直线L L的对称点的对称点AA，使，使A C+BCA C+BC最短，即最短，即AC+BCAC+BC最短。最短。lB A A C图图4 4最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析作图过程：作图过程： 作作A A点关于直线点关于直线L L的对称点的对称点AA，连接，连接A A 、B与直线与直线L L相交的点

10、为相交的点为C C，使，使AC+BCAC+BC最短最短lB A A C图图4 4最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析提出疑问，提出疑问， 这样的点这样的点C就一定是到就一定是到A，B两点最短的吗？两点最短的吗？在直线在直线L L上再取一个与上再取一个与C C点点不重合的点不重合的点C(C(如图如图5)5)。 求证：求证：AC+CBAC+CBAC+CBAC+CBlB A A CC图图5 5证明：作A点关于直线L的对称点A 有 又又

11、 在在BCCABCCACACACAAC,BACBCACBACBCCABA，BCA中BCCACBAC得出结论得出结论在直线在直线L的存在有一动点的存在有一动点C，使得，使得CA+CB最短。最短。最短路径问题最短路径问题A B CC1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析4问题二问题二（造桥选址问题）如图13.4-6,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.) 最短路

12、径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析将实际问题中A，B两地与笔直的河L抽象成点A.点B和直线a,b如图8A A B B bM M N N 图图8 8问题抽象问题抽象最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置a教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析桥桥MN建在何处时，才能使建在何处时，才能使AM+MN+NB最短最短

13、呢？因为河的宽度呢？因为河的宽度MN是不变的，所以问题就转化是不变的，所以问题就转化为求为求AM+NB最短。怎样找出点最短。怎样找出点M和点和点N的位置呢？的位置呢？事实上事实上MN 与河两边与河两边垂直。因此只要找出垂直。因此只要找出M，N其中其中一点的位置就可确定另一点的位置。以在直线一点的位置就可确定另一点的位置。以在直线b上上确定确定N点为例点为例题目分析：题目分析：B B bM M N N a图图9 9A最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教

14、学设计评价分析评价分析A A AM+NBAM+NB最短，要先确定点最短，要先确定点N N在直线在直线b b的位置，如果我先的位置，如果我先将将A A点往直线点往直线a a的垂直方向平移的垂直方向平移MNMN个单位后到个单位后到AA，由，由于于MNMN垂直直线垂直直线a a，N N点就是点就是M M点往直线点往直线a a的垂直方向平的垂直方向平移移MNMN个单位后到的点，由图形平移后的对应点之间个单位后到的点，由图形平移后的对应点之间的线段是平行且相等的，得到的线段是平行且相等的，得到AM=AAM=A N N. . AM+NBAM+NB最短即最短即A AN+NBN+NB最短最短. . 转变成了直

15、线转变成了直线b b上是找到一点上是找到一点N N，使，使A N+NBA N+NB最短最短, ,连连结结A,B,与直线与直线b相交的一点为相交的一点为N点点最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置B B bM M N N a图图A教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析A A B B bM M N N A A 图图1111 将将A点往直线点往直线a的垂直方向平移的垂直方向平移MN个单个单位后到位后到A，连结，连结A,B,与直线与直线b相交的一点为相交的一点为N点点,再过再

16、过N点作点作NM a,与直线与直线a的交点为的交点为M. 即即MN为所求为所求AM+MN+NB最短的位置（如最短的位置（如图）图）.a最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置作图过程：作图过程：教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析提出疑问提出疑问 这线段NM就一定是A点到B点之间最短的吗？在直线a,b上再取两点M,N与M,N不重合.（如图12） 求证：AM+MN+NBAM+MN+NB A A B B b bM M N N A A a aM M N N 图图1212最短

17、路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析证明：把证明：把A A点往直线点往直线a a的垂直方向平移的垂直方向平移MNMN个单位后有了个单位后有了A,NA,N为为M M点平移后的，点平移后的，N N为为M平移后，由图形平移后对应点间的平移后，由图形平移后对应点间的线段平行且相等线段平行且相等得到：得到：MAMANAAM,NBMNNANBMNAMMNBABNNMNABNNMMANMMNBNNABA，BNA中又又 在在BNNMNAMNBABN

18、NMMANBMNAM即最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析巩固练习巩固练习1 1： 某供电部门准备在输电主干线某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，上连接一个分支线路，分支点为分支点为M，同时向新落成的，同时向新落成的A，B两个居民小区送电，两个居民小区送电，（1）如果居民小区）如果居民小区A，B在主干线在主干线L的两旁，如图的两旁，如图1所所示，那么分支点示，那么分支点M在什么地方时总线路最短在什么地方时总线路最短（

19、2）如果居民小区）如果居民小区A，B在主干线在主干线L的同旁，如图的同旁，如图2所所示，那么分支点示，那么分支点M在什么地方时总线路最短在什么地方时总线路最短A A B B M M 图图1 1l ll lA A B B M M 图图2 2最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析巩固练习巩固练习2 2： 如图，如图，A A、B B两地之间有两条河，现要在两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥两条河上各造一座桥MNMN和和PQ.PQ

20、.桥分别建在何桥分别建在何处才能使从处才能使从A A到到B B的路径最短？（假定河的两的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分析课堂小结课堂小结 通过解决了饮马的最短路径问题和造通过解决了饮马的最短路径问题和造桥选址问题，实际上就是通过轴对称，平桥选址问题，实际上就是通过轴对称，平移等方式将问题转化成简单的数学问题。移等方式将问题转化成简单的数学问题。让学生领悟到数学来源于生活，同时也是让学生领悟到数学来源于生活，同时也是服务于生活的。服务于生活的。最短路径问题最短路径问题1.引入新知引入新知2.讲授新课讲授新课3.巩固练习巩固练习4.知识小结知识小结5.作业布置作业布置教材分析教材分析目标分析目标分析教法分析教法分析教学设计教学设计评价分析评价分