李雅普诺夫的扩展

1、2006-3-26北京科技大学 自动化系1 第四章第四章 稳定性分析方法的稳定性分析方法的拓展拓展李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法 2006-3-26北京科技大学 自动化系25.2 5.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 第四章稳定性分析方法的拓展第四章稳定性分析方法的拓展 李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法 5.55.5 李亚普诺夫第二方法在线性李亚普诺夫第二方法在线性 系统分析与设计中的应用系统分析与设计中的应用 5.65.6 本章小结本章小结5.1 5.1 稳定性的传统判别方法稳定性的传统判别方法5.3 5.3 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法 5.4 5.4 李亚普诺夫第二方法李亚

2、普诺夫第二方法 2006-3-26北京科技大学 自动化系3线性系统稳定性分析的理论框架线性系统稳定性分析的理论框架 第一第一方法方法第二第二方法方法稳定性分析稳定性分析1892年俄国数学年俄国数学家李雅普诺夫家李雅普诺夫SISO的代数的代数分析方法分析方法解析解析方法方法Routh判据判据Houwitz判据判据根据根据SISO闭环特闭环特征方程的系数判征方程的系数判定定系统的系统的稳定性稳定性根据状态方程根据状态方程A阵阵判定系统的稳定性判定系统的稳定性2006-3-26北京科技大学 自动化系4 如果一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受如果一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到

3、某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。反之，系统为不稳定。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，数），与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 因此，可以说因此，可以说“若处于平衡状态的线性定常系统在脉若处于平衡状态的线性定常系统在脉

4、冲信号的作用下，系统的相应最终能够回到平衡状态，则冲信号的作用下，系统的相应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。该线性定常系统稳定。”5.1 5.1 稳定性的传统判别方法稳定性的传统判别方法2006-3-26北京科技大学 自动化系5推论推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应 函数趋于零，则该函数趋于零，则该线性定常系统稳定。线性定常系统稳定。5.1 5.1 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 推论推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面，左半平面， 则系统稳定。则系统稳定。

5、 推论推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函 数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。2006-3-26北京科技大学 自动化系62006-3-26北京科技大学 自动化系72006-3-26北京科技大学 自动化系8 求脉冲响应求脉冲响应 求阶跃响应求阶跃响应 求系统的闭环特征根求系统的闭环特征根不简单不简单其它简单的判定方法其它简单的判定方法?工工程程分分布布区区域域S平面平面2006-3-26北京科技大学 自动化系9 将闭环特征方程将闭环特征方程的各项系数，按的各项系数，按右面的格式排成右面的

6、格式排成Routh表。表。102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn 000122110 = =+ + + + + + aasasasasannnnn系统闭环特征方程系统闭环特征方程130211aaaaab=150412aaaaab=132111bab acb=153121bab acb=2006-3-26北京科技大学 自动化系10系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。均大于零。如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程

7、式的根都在的根都在S S的左半平面，相应的系统是稳定的。的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变化次数等于该特征方程式的根在化次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。相应的系统为不稳定。劳斯稳定判据表中表中这样可求得这样可求得n+1n+1行系数行系数 121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab = = = = = = = = = = =

8、= = =2006-3-26北京科技大学 自动化系11 劳斯表某一行中的第一项元素等于0，而该行的其余各项不等于0或没有其余项。以一个很小的正数以一个很小的正数 来代替为来代替为0的这项，据此算出其的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。余的各项，完成劳斯表的排列。解决的办法解决的办法若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在就等于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统

9、为则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为结结论论2006-3-26北京科技大学 自动化系12劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。 利用系数全为利用系数全为0行的上一行系数构造一个辅助多项行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全全0的行。从而完成劳斯表的排列。的行。从而完成劳斯表的排列。解决解决办法办法关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。且其根的数目总是偶数的。若劳斯表

10、第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的如果第一列如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共轭纯虚根存在，相应的系统为共轭纯虚根存在，相应的系统为结结论论2006-3-26北京科技大学 自动化系13实际系统希望实际系统希望S S左半平面上的根距离虚轴左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。这种系统在系统参数发生有一定的距离。这种系统在系统参数发生一定变化时仍能保持稳定。一定变化时仍能保持稳定。 此法可以估计一个稳定系统的所有

11、闭环特征根中最靠此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠近虚轴的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的近虚轴的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度程度”。 令令s=s1-a，代入原系统地闭环特征方程中，得到以，代入原系统地闭环特征方程中，得到以s1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线否有根位于垂线s1=-a右侧。右侧。1sa02006-3-26北京科技大学 自动化系14例4.11 系统参数稳定范围的确定系统参数稳定范围的确定已知某调速系统的特征方程式为 0)1 (16705175 .4123=+KSSS求该系

12、统稳定的K值范围。)1 (167005 .41)1 (16705175 .410)1 (16705 .41051710123KSKSKSS+由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值：+0)1 (16700)1 ( 2 .40517KK9 .111K列劳斯表2006-3-26北京科技大学 自动化系15当K=2时，Routh表的第三、五列元素全为0。系统将有对称于原点的闭环特征根。2 求特殊情况下系统的闭环特征根求特殊情况下系统的闭环特征根例4.2已知某系统的闭环特征方程为： 5432SSKS2S +S+1=0+试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的K值，并求出此时系统的所有

13、闭环特征根。543210S1K1S121SK-20S21K-2S2S142S2S10+ =，进而得列劳斯表2006-3-26北京科技大学 自动化系164.3 4.3 状态空间表示的系统稳定性判定状态空间表示的系统稳定性判定定理定理4.1:4.1: 线性定常系统线性定常系统 xAxbuycxdu=+=+平衡状态平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部的所有特征值均具有负实部. 0ex =证明：证明：，由其齐次解，由其齐次解 可知：若可知：若A的的特征特征0( )( )Atx te x t=则当则当 有界，有界， 0(t)。0 x( )x t值均具有负实

14、部。值均具有负实部。 系统输出稳定：系统输出稳定：如果系统对于有界输入如果系统对于有界输入u u 所引起的输出所引起的输出y y是有是有 界的界的. .则称系统为输出稳定则称系统为输出稳定. .定理定理5.25.2：线性定常系统线性定常系统 输出稳定的充要条件是传输出稳定的充要条件是传 函函 的极点全部位于的极点全部位于s的左半平面的左半平面. ( , , )A b c1( )()G Sc SIAb=2006-3-26北京科技大学 自动化系17 设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为: :1011,0011xxuyx =+= 试分析系统的状态稳定性与输出稳定性试分析系统的状态稳定性与

15、输出稳定性. . 1)1)有有A A的特征方程的特征方程: : det(1)(1)0IA=+=可知系统的状态是不稳定的可知系统的状态是不稳定的. . 2)2)由系统的传递函数由系统的传递函数: : 111( )()(1)(1)1sW SC SIAbsss=+故系统输出稳定故系统输出稳定. .这是因为具有正实部的特征值这是因为具有正实部的特征值 21= +被系统的零点被系统的零点s=+1 s=+1 对消了，不稳定部分被掩盖。对消了，不稳定部分被掩盖。 例4.32006-3-26北京科技大学 自动化系18说明说明: :1)1)这种系统在实际应用时是极不可靠的这种系统在实际应用时是极不可靠的. .若

16、系统若系统 参数发生变化参数发生变化, ,则零、极点就无法实现对消则零、极点就无法实现对消. . 这样输出就能表现出不稳定特性这样输出就能表现出不稳定特性. .2)2)只有当只有当 不出现不稳定的零、极点对消不出现不稳定的零、极点对消( (可以可以 有稳定的零、极点对消有稳定的零、极点对消) )， 的稳定性才与的稳定性才与 ( )G S( )W S( , , )Ab c的稳定性是一致的的稳定性是一致的. . 2006-3-26北京科技大学 自动化系194.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 线性系统的稳定性线性系统的稳定性系统的结构系统的结构系统的参数系统的参数系统的结构和参

17、数系统的结构和参数初始条件初始条件外界信号的类型和大小外界信号的类型和大小非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性2006-3-26北京科技大学 自动化系204.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 状态轨迹：状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为设所研究系统的齐次状态方程为 , xf x t=(4-1) 设设(4-1)(4-1)在给定初始条件在给定初始条件 00()t x下下, ,有唯一解：有唯一解： 00( , )xt x t=(4-2) 式中：式中： x xn n维状态矢量；维状态矢量；f f与与x x同维的矢量函数；是同维的矢量函数；是 ix和时间和时间t t的函数；一般的

18、函数；一般f f 为时变的非线性函数，如果不含为时变的非线性函数，如果不含t t，则，则为定常的非线性函数为定常的非线性函数. .。式式(4-2)(4-2)描述了系统描述了系统(4-1)(4-1)在在n n维状态空间中从初始条件维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。00()t x2006-3-26北京科技大学 自动化系21系统的平衡状态：系统的平衡状态：若系统若系统(4-1)(4-1)存在状态矢量存在状态矢量 ex使得：使得：，对所有，对所有t t，(, )0efxt(4-3) 成立，则称成立，则称

19、ex为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。 1) 1) 对于任一个系统对于任一个系统, ,不一定都存在平衡状态不一定都存在平衡状态. . 2) 2) 如果一个系统存在平衡状态如果一个系统存在平衡状态, ,其平衡状态也不一定是其平衡状态也不一定是 唯一的唯一的. . 3) 3)当平衡态的任意小邻域内存在系统的别的平衡态时，当平衡态的任意小邻域内存在系统的别的平衡态时， 称此平衡态为孤立的平衡态。称此平衡态为孤立的平衡态。 4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-26北京科技大学 自动化系22 5) 5) 由于任意一个已知的平衡状态由于任意一个已知的平衡状态, ,都可

20、以通过坐标变换将其都可以通过坐标变换将其 变换到坐标原点变换到坐标原点 0ex =标原点处的稳定性就可以了。标原点处的稳定性就可以了。处。所以今后将只讨论系统在坐处。所以今后将只讨论系统在坐6) 6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。( (这一点从这一点从线线 性定常系统中的描述中可以得到理解性定常系统中的描述中可以得到理解) )7) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳 定性可能是不同的。因此对有多个平衡点的系统来说，要定性可能是不同的。因此对有多个平衡点的系统来说，要 讨论

21、该系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐讨论该系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐 个讨论。个讨论。4) 4) 对于线性定常系统对于线性定常系统 xf xtAx=时，时， ，当A为非奇异矩阵异矩阵0eAx 的解的解 当当A A为非奇异时，则为非奇异时，则 会有无穷多个。会有无穷多个。0ex =是系统唯一存在的平衡状态，是系统唯一存在的平衡状态，ex4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-26北京科技大学 自动化系23 预先说明：预先说明：若用若用 表示状态变量表示状态变量x x与平衡状态与平衡状态 的距离，的距离， 用点集用点集 表示以表示以 为中

22、心，为中心， 为半径的超球体，为半径的超球体， 那么那么 则可表示成则可表示成 ex。exxex( )s( )xs( )exxs式中式中 为欧几里德范数。为欧几里德范数。 ex x当当 很小时，则称很小时，则称 为为 的邻域的邻域. .因此若有因此若有 ，( )sex0( )xs则意味着则意味着 ，同理，若方程式，同理，若方程式 的解的解 0exx( , )xf x t=位于球域位于球域 内，便有内，便有: : 00( ;, )t x t( )s000( ;,)et xtxtt 李雅普诺夫根据李雅普诺夫根据 系统的自由响应是否系统的自由响应是否( (没有控没有控制信号制信号u u的驱动的驱动)

23、 ) 有界把系统的稳定性定义为四种情况有界把系统的稳定性定义为四种情况: : ( , )xf x t=4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-26北京科技大学 自动化系24是一致稳定的。是一致稳定的。当当 的选择不依赖于的选择不依赖于 0t时时, ,称系统在称系统在ex李氏稳定：李氏稳定：对于自治系统对于自治系统 ( , )xf x t=, ,如果对任意实数如果对任意实数 0, ,都对应存在实数都对应存在实数 0( , )0t , ,使得满足不等式使得满足不等式 00( )( , )ex txt 的任意初态的任意初态 00)(xtx=出发的解出发的解, , 在在

24、 时均有时均有 成立。成立。 0tt extx )(0( )( , )x tt x t=说明说明: : 1) 1)这里实数这里实数 与与 有关有关( (类似于高数中极限类似于高数中极限 、收敛的概念、收敛的概念) ) 。 2)2)一般情况下一般情况下 与与 也有关，当与也有关，当与 无关无关 时，则称为一致稳定的。时，则称为一致稳定的。0( , )t 0( , )t 0t0t4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-26北京科技大学 自动化系25是一致渐近稳定的。是一致渐近稳定的。当当 的选择不依赖于的选择不依赖于 0t时时, ,称系统在称系统在ex说明说明: :

25、 1) 1)渐近稳定是个比稳定更加苛刻的限制定义渐近稳定是个比稳定更加苛刻的限制定义. .如果一个平衡如果一个平衡 状态是渐近稳定的状态是渐近稳定的, ,那么它一定稳定那么它一定稳定, ,反之不一定成立。反之不一定成立。 2)2)不论是稳定还是渐近稳定不论是稳定还是渐近稳定, ,都有一个共同的限制条件都有一个共同的限制条件, ,即即要要 求求 。即初始状态要在一定范围。即初始状态要在一定范围之之 内。内。00( , )( )exxt 或成立时成立时, ,称系统称系统 在在渐近稳定：渐近稳定：如果平衡状态如果平衡状态 是稳定的，而且当是稳定的，而且当 t t 无限增长时无限增长时, , 对于任意

26、使对于任意使 成立的成立的 , ,均有均有 ( , )xf x t= 是渐近稳定的。是渐近稳定的。exex00( , )exxt 00( ;,)0ett x tx=0 x4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-26北京科技大学 自动化系26大范围渐近稳定：大范围渐近稳定：如果平衡状态如果平衡状态 是稳定的是稳定的, ,而且从状态空间而且从状态空间中中 所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性 ( (即没有即没有 的限制的限制) )， 而只有而只有 , , 且有且有ex00( ,)( )exxt 或00( ;,)et x tx0

27、tt +00( ;, )0ett x tx在在 是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。ex, ,则称系统则称系统( , )xf x t=说明说明: : 1) 1)平衡状态平衡状态 是大范围渐近稳定的必要条件是是大范围渐近稳定的必要条件是: : exex是是 的唯一的平衡点的唯一的平衡点. . ( , )xf x t=2)2)对于线性系统来说对于线性系统来说, ,如果平衡状态是渐近稳定的如果平衡状态是渐近稳定的, ,则必然则必然 也是大范围渐近稳定的也是大范围渐近稳定的. .但对非线性统来说则不一定但对非线性统来说则不一定. .4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006

28、-3-26北京科技大学 自动化系27不稳定：不稳定：如果对于某个实数如果对于某个实数 和任一实数和任一实数 ，不管，不管 这个实数多么小这个实数多么小, ,由由 内出发的状态内出发的状态 轨线，至少有一个轨线越过轨线，至少有一个轨线越过 ， 0000( ,)( )exxt 或0( )( , )( )ex txt 或在在 附近是不稳定的。附近是不稳定的。ex则称系统则称系统( , )xf x t=总而言之总而言之, ,球域球域 限制着初始状态限制着初始状态 的取值的取值, ,规定了系统自身规定了系统自身响应响应 的边界的边界. . ( )s0 x00( )( ;, )x tt x t=( )x

29、t无界无界+ + 0lim( )0etx tx=大范围渐近稳定大范围渐近稳定 稳定稳定 ( )x t有界有界 00( , )exxt + + +( )x t有界有界+ + 0lim( )0etx tx=渐近稳定渐近稳定00( , )exxt ( )x t无界无界+ + 0lim( )0etx tx=一致渐近稳定一致渐近稳定0exx+ +4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-26北京科技大学 自动化系28x0 x0 x0 x0几何意义解释几何意义解释4.2 4.2 关于稳定性的基本概念关于稳定性的基本概念 2006-3-26北京科技大学 自动化系294.3 4.

30、3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 李雅普诺夫第二方法又称直接法，它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。 李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数标量函数V(x),V(x),作为虚构的广义能量函数，然后根据 ( ) ( )/V xdV xdt=的符号特征来判断系统的稳定性。这个V(x)V(x)叫做李雅普诺夫函数。李雅普诺夫第二方法的关键问题是寻找李氏函数李雅普诺夫第二方法的关键问题是寻找李氏函数V(x).V(x). 2006-3-26北京科技大学 自动化系30平衡点平衡点稳定渐进稳定图4.2 能量函

31、数表示稳定的示意图4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系31一：预备知识一：预备知识标量函数的符号性质： 设V(x)为由n维矢量x所定义的标量函数 , ,且在x=0处恒有V(x)=0, ,对所有域 x中的任何非零矢量x，如果成立： 1) , 则称V(x)为正定的,例如： 22212)(xxxV+=V(x)02) , , 则称V(x)为半正定的(或非负定的)，例如： V(x)0221)()(xxxV+=3) , 则称V(x)为负定的,例如： V( )0或V(x)正定4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二

32、方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系35二次型标量函数二次型标量函数V(x)V(x)中中P P的性质和说明：的性质和说明： 1）若V(x)正定，则称P为正定， 记作P0； 2）若V(x)负定，则称P为负定， 记作P=ninininiiinixVppppppniini2006-3-26北京科技大学 自动化系38 若 为半负定，那么平衡状态 在李雅普诺夫意义 下稳定称为李雅普诺夫稳定判据。 二：李雅普诺夫第二方法的稳定性判据二：李雅普诺夫第二方法的稳定性判据设系统的状态方程为( )xf x=, 平衡状态满足 ,如果0)(=exf存在一个标量函数V(x),它满足

33、： (1) V(x)对所有x都是有连续的一阶偏导数 ；(2) V(x)是正定的，即当 0)(, 0; 0)(, 0=xVxxVx(3) V(x)沿状态轨道方向计算时间导数分别满足下列条件： ( )( )dV xV xdt=( )V x满足 ex为半负定，但对2) 若 为负定，或者虽然 ( )V x( )V x0,( )xVx不恒为零，那么原点平衡状态是渐近稳定的。4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系39如果进一步还有 ，则系统是大范围渐近稳定的李雅普诺夫渐近稳定判据。( )xV x时，3) 若 为正定，那么平

34、衡状态 是不稳定的李雅普 诺夫不稳定判据。( )V xex几点说明：几点说明： 1) 对于同一个系统(不论它是线性的，还是非线性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使 负定或半负定的V(x)（正定），则按照上述判据即知系统稳定性情况。 ( )V x4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系40 2) 即使找不到使V(x)正定， 负定的V(x)，也不能说明该系统是不稳定的，而只是没有找到而已，当然若找到了符合条件（3）的V(x)则可证明系统不稳定，找不到符合上面1)、2）、3）的V(x)不能下结论。 ( )V x

35、 4) 若 ，这时运动轨迹只在某一时刻与某特定曲面 相切，运动轨迹通过切点后会继续向原点收敛，因此此情况的属于渐进稳定。 ( )0V x非( )V xconst 3) 对于 ，则 ，这意味着运动将在 形成的曲面上运动而不会收敛于原点，这相当于极限环或者临界稳定。( ) 0V x ( )V xconst( )V xconst4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系41例：已知系统状态方程为： xx=1110试分析系统平衡状态的稳定性，(线性系统的稳定性只与A有关，与控制和输出无关)。解：（1）求平衡状态：00exx

36、=得（2）选取李雅普诺夫函数V(x),（多半线性状态方程系统可选择标准二次型的V(x)）1221212210( )001TxV xxxxxxxx=+4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系42(3) 求 ( )v x211222( )222v xx xx xx=+= 可见只要 就有 成立。 20 x ( )0v x 下面需要讨论当 成立否。 1200( )0 xxv x=时 若 ( )0v x 2( )0 x t 2( )0 xt 12( )( ) 0 x tx t1( )0 x t 10 x 已知条件矛盾矛盾可

37、见 不可能成立。 该系统是稳定。该系统是稳定。 ( )0v x (4) 判断大范围渐进稳定性 x( )Tv xx pxx=大范围渐进稳定性4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系43另选一个李氏函数，请同学们用此李氏再判断这道例题的稳定性问题。 22212121( )xx22v xxx=+22121122222212()()xxx xxxxx xx=+=+例3：已知非线性状态方程： 试判别系统的稳定性。 解：求平衡状态 ex 由 得0 x =22211212222212()0,0,0()0 xx xxxxxx x

38、x+=+=是唯一解 4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系44取 2212( )0v xxx=+求 ，因此该关系是渐进 稳定的。22 21 12 212( )222()0v xx xx xxx=+=+ 当 x( )Tv xx pxx= 是大范围渐进稳定的。 例例4 4：设系统状态方程为 122121(1)xxxxxx= 试判定其稳定性。 解：解：求平衡点 0ex =取 2212( )v xxx=+4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自

39、动化系45求 2112221( )2x x2x x2(1x )v xx=+= 稳定性分析11x =( )0v x =11x 11x ( )0v x ( )0v x 几点说明：几点说明： 1) 李氏稳定判定方法的关键是找v(x)，但并没有提供找v(x)的方法； 2) 对于一个给定系统v(x)的选取一般不是唯一的，但并不影响结论的一致性；4.3 4.3 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法( (通用方法通用方法) ) 2006-3-26北京科技大学 自动化系463）如果v(x)为标准二次型21( )niiv xx=5）由于构造v(x)较难，因此实际上李氏判据主要用于其他方 法无法判定的情况。我们则主要掌握对线性系统的判定。 4）v(x)函数只提供了系统在 附近的稳定情况，域外情况 由 的情况来延伸。ex0,v(x)x ( ),1,2,kkkv xcconst cck=则在几何上表示状态空间中以原点为中心，