第2节数量积向量积混合积

1、高等数学 戴本忠341*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积数量积 向量积 *混合积 第七七章 高等数学 戴本忠342学习指导教学目的： 掌握向量的数量积、向量积的概念，熟练掌握数量积、向量积的运算及性质。基本练习： 会计算向量的数量积、向量积。高等数学 戴本忠343 向量与数量是两个不同的概念。向量的运算是既有大小（模）又有方向的运算，这是与数的运算（只有大小）不相同的。要注意数量积、向量积、混合积的定义，不要将数的一些运算规律随意用到向量中 数的乘法只有一种，其结果还是数，而向量的乘法有多种，例如，数量积、混合积的

2、结果是数，向量积的结果是向量。注意事项高等数学 戴本忠344一、两向量的数量积 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移. 数量积的物理背景 由物理学知道, 力F所作的功为 W|F|s|cos , 其中 为F与s的夹角. 启示启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量. .高等数学 戴本忠345 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a b, 即 ab|a|b|cos . v数量积的定义 根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即 WFs . 高等数学 戴本忠346数量积与投影 由于|b|cos

3、|b|cos(a b), 当a0时, |b|cos(a b)是向量b在向量a的方向上的投影, 于是 ab|a|Prjab. 同理, 当b0时, ab|b|Prjba. 所以, 一、两向量的数量积数量积也称为“点积”、“内积”。结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积。另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积。高等数学 戴本忠347关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba,ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b.ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos , 0 .|cos|2aaaaa 证证

4、证证, 0cos ,2 ,2 ).0, 0( ba. 0cos| baba高等数学 戴本忠348数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：;abba （2 2）分配律：）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数：为数： ),()()(bababa 若若 、 为数：为数： ).()()(baba 高等数学 戴本忠349例例1 1 试用向量证明三角形的余弦定理试用向量证明三角形的余弦定理记记,aCB ,bCA , cAB 则有则有,bac 从而从而babbaababaccc 2)()(2).,cos(222bababa 由由, aa , bb , cc

5、 及及,),( ba即得即得.cos2222 abbac 设在设在 中中，ABC , BCA,cABbCAaBC 要证要证.cos2222 abbac 证：证：高等数学 戴本忠3410数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设高等数学 戴本忠3411 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式：两向量夹角余弦的坐标

6、表示式： ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为).0, 0( ba高等数学 戴本忠3412 例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角. 2011|222a, 2101|222b, 所以 21221|cosbabaAMB. 从而 3AMB. 因为 ab1110011, b (2, 1, 2) (1, 1, 1)a (2, 2, 1) (1, 1, 1)(1, 1, 0), (1, 0, 1). 解 高等数学 戴

7、本忠3413证证,2, 1, 2 ）（ AB,2 , 2, 1）（ AC,4 , 1, 1）（ BC，有有0 ACAB为为直直角角三三角角形形。ABC ，从从而而 ACAB 证毕。证毕。高等数学 戴本忠3414从而, 所求液体的质量为 PrAvn.体积为 A|v|cosAvn. 这柱体的高为 |v|cos, 解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体. 例4 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A, n为垂直于A的单位向量, 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为r).高等数学 戴本忠3415 设设 O 为为杠杠杆杆 L 的的支支点

8、点，力力 F作作用用于于杠杠杆杆上上 P点点处处 F与与 OP 的的夹夹角角为为 ， F对对支支点点 O 的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模 N sin|FOP 实例实例二、二、两向量两向量向量积向量积LFPQO |F|OQ| |OP|PN|M| M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面，且且OP、F、M符符合合右右手手规规则则。 从给定点到力作用线任意点的向径和力本身的矢积。从给定点到力作用线任意点的向径和力本身的矢积。 高等数学 戴本忠3416 sin|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) 定义定义向量积的性质：向量积的性质：ba)2(/. 0 b

9、aa与与b的的向向量量积积ba 是是一一个个向向量量， . 0)1( aa符符合合右右手手规规则则。、所所决决定定的的平平面面，且且与与的的方方向向垂垂直直于于 babababa abba ”。”、“向向量量积积又又叫叫做做“外外积积叉叉积积向量积的运算律：向量积的运算律：（1）交换性：交换性：. abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba ).()()(bababa .)(cabacba 数数：若若为为 ）（3高等数学 戴本忠3417高等数学 戴本忠3418式式：推推导导向向量量积积的的坐坐标标表表达达)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabax

10、yyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式)()()()()()(kbiajbiaibiazxyxxx )()()()()()(kbjajbjaibjazyyyxy )()()()()()(kbkajbkaibkazzyzxz kbayx)( )(jbazx )(kbaxy ibazy)( )(ibayz jbaxz)( ijk ba高等数学 戴本忠3419向量积可用向量积可用三阶行列式三阶行列式表示表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa ibbaazyzy jbbaazxzx kbbaayxyx 由向量积的坐标表达式知：由向量积的

11、坐标表达式知：0, 0 yxaaxb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零， zzyxbaaa 00例如，例如，高等数学 戴本忠3420补充：补充：|ba 表表示示以以 a和和 b为为邻邻边边 的的平平行行四四边边形形的的面面积积. . abbac 高等数学 戴本忠3421 解解zyxzyxbbbaaakjiba 211112 kji.35kji 例例4 设设 ， ，计算，计算 .)1, 1 , 2( a)2 , 1, 1( bba 高等数学 戴本忠3422例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量. 解解zyxzyxbbb

12、aaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.5152 kjc e 所所求求单单位位向向量量为为)5 ,10, 0(551 ）（51,52, 0 高等数学 戴本忠3423ABC解解 根据向量积的定义根据向量积的定义，三角形三角形ABC的面积为的面积为例例5 5 已知三角形已知三角形ABC的顶点分别是的顶点分别是A(1,2,3)1,2,3)、B(3,4,5)(3,4,5)和和C(2,4,7)(2,4,7)，求三角形，求三角形ABC的面积的面积. .AACABSABCsin|21|21ACAB ),2 , 2 , 2( AB),4 , 2 , 1( AC由于由于因

13、此因此,264421222kjikjiACAB 于是于是.142)6(42126421222 kjiSABC高等数学 戴本忠3424例例 4 4 在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC边边上上的的高高BD. ABC解解D三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BDAC),3, 4 , 0( AB).0 , 5, 4( 高等数学 戴本忠3425提示： 例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转,

14、计算刚体上一点M的线速度. 刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量 表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是 的方向. 解 轴上任取一点O作向量r , 并以 表示 设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l 与r的夹角, 那么OM高等数学 戴本忠3426设线速度为v, 那么由物理学可知 |v| |a| |r|sin ; a|r|sin . v垂直于 与r, 且v的指向是使 、r、v符合右手规则. 因此有 v r. 例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度. 解

15、 轴上任取一点O作向量r , 并以 表示 设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l 与r的夹角, 那么OM高等数学 戴本忠3427三、向量的混合积三、向量的混合积*定义定义设设已已知知三三个个向向量量 a、b、c，数数量量cba )( 称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba. . cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 设设),(zyxcccc 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式高等数学 戴本忠3428（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbac

16、ba )(acb )(.)(bac （3）三三向向量量 a、b、c共共面面 . 0 cbacba,当当 组成右手系时，组成右手系时，cba为正；为正；当当 组成左手系时，组成左手系时，cba为负为负.cba,高等数学 戴本忠342961ADACABV ,121212zzyyxxAB 解解高等数学 戴本忠3430,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.高等数学 戴本忠3431 （向量（向量积为零；对应坐标成比例；线性

17、相关）；积为零；对应坐标成比例；线性相关）；1 1、向量的数量积、向量的数量积2 2、向量的向量积、向量的向量积3 3、数量积的坐标表示、数量积的坐标表示（结果是一个数量）；（结果是一个数量）；（结果是一个向量）；（结果是一个向量）；（对应坐标乘积之和）；（对应坐标乘积之和）；四、小结四、小结4 4、向量积的坐标表示、向量积的坐标表示（行列式）；（行列式）；5 5、向量垂直的充要条件、向量垂直的充要条件 （数量（数量积为零；对应坐标乘积之和为零）；积为零；对应坐标乘积之和为零）； 6 6、向量平行的充要条件、向量平行的充要条件7 7、向量积的几何意义、向量积的几何意义（其模为平行四边形的面积）。（其模为平行四边形的面积）。8 8、* *混合积及其几何意义混合积及其几何意义（其绝对值为平行六面体的体积）。（其绝对值为平行六面体的体积）。高等数学 戴本忠3432内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba高等数学