垂径定理教学设计(2)

1、垂径定理（第一课时）教学设计【教学内容】§ 24.1.2垂径定理（初三数学上册课本 P81P8【教学目标】1 .知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题;掌握辅助线的作法一一过圆心作一条与弦垂直的线段。2 .能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； 向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3 .情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法

2、。【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。【教学设计】、实例导入，激疑引趣1 .实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉 为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧2.导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的米，拱高（弧的中点到弦AB的距离,也叫弓高)为7.2米。请问：桥拱的半径(即AB所在圆的半径)是多少？通过本节课的学习，我们将

3、能很容易解决这一问题。(图1)二、尝试诱导，发现定理1 .复习过渡：如图2(a),弓A AB将。分成几部分？各部分的名称是什么？如图2(b),将弦AB变成直径，O O被分成的两部分各叫什么?在图2(b)中，若将。O沿直径AB对折，两部分是否重合？(a)(b)(a)(b)(c)(图2)(图3)2 .实验验证：让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电 脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质一一圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。3 .运动变换：如图3(a), AB、CD是。的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧?如图3(b

4、),当ABLCD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧?如图3(c),当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相 等的弧？止匕外，还有其他的相等关系吗?4 .提出猜想：根据以上的研究和图 3(c),我们可以大胆提出这样的猜想一一AE BDCD是圆。的直径c dAC BC(侬中)CD弦AB,垂足为EAd bD5 .验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的 图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为一一垂直于弦的直径。三、引导探究，证明定理1 .引导证明：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明"AE=BE&qu

5、ot;，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。2 .归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3 .巩固定理：在下列图形(如图4(a)(d)中，AB是。O的弦，CD是。O的弦，它们是否适用 于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。CACCOOA(b)E是AB中点(a)AB± CD 于 E(c)OC±AB 于 E(d)OE，AB 于 E向学生强调BOO辅助线OELABAB的长为8

6、cm学生口述，教师板书分析：因为已知1.运用定理进行计算因为要求半径，所以还要连结 OAO到AB的距离为3cm”，所以要作O至I AB的距离为3cmA， E 、,E1" BD5中，若。O的半径为10cm, OE=6cm ,贝U AB=A、 E ，BO E BBEE A、一 , BD-则R、a、d三者之间的关系式是。K变式二！如图6,在。中，半径OCLAB,垂足为E,（图6）（图7）若 CE=2cm , AB=8cm ,则。的半径二。思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）4 .运用定理进行证明K例22已知：如图7,在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、

7、D两点。求证：AC = BD。分析：证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明?（证明 OACzXOBD 或证明 OADzXOBC）此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理） 证法一：连结OA、OB、OC、OD,用“三角形全等”证明。证法二：过点。作OELAB于E,用“垂径定理”证明。（详见课本P77例2）注1:通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注2:辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。 思考：在图7中，若AC=2, AB=10,则圆环的面积是K变式一R若将图7中的大圆隐去，还需什么条件， 才能保证AC=BD ?K变式二R若将图7

8、中的小圆隐去，还需什么条件， 才能保证AC=BD ?K变式三R将图7变成图8 （三个同心圆），你可以 证明哪些线段相等？（图9）K例31（选讲）如图9, RtABC中，/ACB=90° AC = 3, BC=6五,以C为圆心、CA长为半径画弧，交 斜边AB于D ,求AD的长。（答案：2）略解：过点C作CELAB于E,先用勾股定理求得AB=9,再用面积法求得CE=2<2 ,最后用勾股定理求得 AE=1 ,由垂径定理得AD=2五、师生小结，纳入系统1定理的三种基本图形如图 10、11、12。2 .计算中三个量的关系一一如图13, R2 d2 （-）2o3 .证明中常用的辅助线一一过圆心作弦的垂线段。（图 10）（图 11）（图 12）（图 13）六、达标检测，反馈效果1.（课本P78练习第1题）如图14,在。的半径为50mm,弦AB=50mm ,则点O到AB的距离为,/AOB =度。2 .作图题：经过已知。内的已知点A作弦,使它以点A为中点（如图15）。（图 14）（图 15）3 .课本P78练习第2题。课堂练习姓名得分1 .如图，。的半径为50mm,弓A AB=50mm,则点。到AB的