2022年专题13圆锥曲线的定义性质方程(教师版)

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专题 13圆锥曲线的定义、性质和方程 高考在考什么【考题回放】1已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆点在 BC 边上，就 ABC 的周长是 C 2x y2 1 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦3（ A） 23（ B） 6（ C） 43（D ）12x2y242已知双曲线a2b 21 的一条渐近线方程为y3x，就双曲线的离心率为A（ A） 54B53C4D 3323假如双曲线的两个焦点分别为准线间的距离是（C）F1 3,0 、F2 3,0，一条渐近线方程为y2x ，那么它的两条A 63B 4C 2D 14抛物

2、线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为1，就点 M 的纵坐标是 B17 A 1615 B 167 C 8 D 05已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（ 23 ， 0），且长轴长是短轴长的2 倍，就该椭圆的标准方程是2y2x11 64x2y26如图， F 为双曲线C：221 aab0, b0 的右焦点； P 为双曲线C 右支上一点，且位于x轴上方， M 为左准线上一点，O 为坐标原点；已知四边形OFPM 为平行四边形，|PF|=|OF|；（）写出双曲线C 的离心率 e 与的关系式；（）当=1 时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A、B 点，如 |AB|=12，求此时的双曲线方程；【

3、专家解答 】四边形 OFPM是， | OF| | PM |c，a2yMHP作双曲线的右准线交PM 于 H，就| PM | | PH|2，xc| PF | OF |c2e2OF又 e2222，| PH |c2 a cc2ae2e2e20 ；x2y2（）当1 时， e2 ， c2a ， b 23a 2 ，双曲线为224a3a1 四边形 OFPM是菱形，所以 直 线OP的 斜 率 为3 ， 就 直 线AB的 方 程 为 y3 x2a， 代 入 到 双 曲 线 方 程 得 ：9 x248ax60a 20 ，48a60a229又 AB12，由 AB1k 2xx 24x x得： 12224，解得 a，就2

4、b227 ，所以x49y1 为所求； 2724121 2994 高考要考什么【考点透视】椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简洁的几何性质，椭圆专题 13圆锥曲线的定义、性质和方程第1 页（共 8 页）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -的参数方程；【热点透析】主要题型：（1）定义及简洁几何性质的敏捷运用；（ 2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；题型一般为二小一大，小题基础敏捷，解答题一般在中等难度以上，一般具有较高的区分度

5、； 突破重难点【范例 1】过椭圆左焦点F ，倾斜角为60 的直线交椭圆于A、B 两点，如 |FA |=2|FB |，就椭圆的离心率为 B A232B31C22D2解：设点A 、B 到椭圆左准线的距离分别为d1， d2， FA =r 1， FB =r2，就 r1 d12r2 d1=e，即 d1=2r2 e，同理 d2=2re，两式相减得r2ed1d 2 .由于直线AB 的倾斜角为60 ，2|d1-d2|=|AB|=3 r 2， e= 23【点晴】 此题关键在于利用椭圆的其次定义将60 倾斜角、 |FA|=2|FB|这两个条件与椭圆的离心率建立联系；x2【文】 如 F 1、F 2 为双曲线2ay1

6、 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M2b 2在双曲线的右准线上，且满意：F1OPM , OP OF1 OF 1OM OM0 ，就该双曲线的离心率为（）A 2B 3C 2D 3解：由F1OPM 知四边形F 1OMP 是平行四边形，又OP OF1 OF 1OM OM知 OP 平分 F1OM，即 F1OMP 是菱形，设 |OF1|=c，就 |PF 1|=c . 又|PF 2|-|PF 1|=2a， |PF 2|=2a+c ，由双曲线的其次定义知e2ac c21 ,且 e>1， e= 2，应选 C.e【范例 2】定长为 3 的线段 AB 的两个端点在y=x 2 上移动，

7、AB 中点为 M ，求点 M 到 x 轴的最短距离；分析： （ 1）可直接利用抛物线设点，如设Ax1，x2 ，Bx2，x2，又设 AB 中点为 M x0,y0用弦长公式12及中点公式得出y0 关于 x0 的函数表达式，用函数思想求出最短距离；（ 2） M 到 x 轴的距离是一种“点线距离 ”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义；1解法一： 设 A x1， x2， B x2， x22 ，AB 中点 M x0，y0 x1就x1x 22x2 x 212 x0x2 292xx22122 y02222由得 x1-x21+ x1+x2=9 ， 即 x1+x2-4x1x2 ·1+ x1+x2=9

8、0由、得2x1x2=2 x02-2y0=4 x02-2y0代入得 2 x02-8 x2-4y0·1+2 x 02=9 4 y04x 2904 x00014x 2， 4 y294x214 x2194 x211 29155,y040000当 4x02+1=3即x2 时， y02 min5 此时 M 42 , 5 y24MB法 2： 如图2 MM 2AA2BB2AFBFAB3A MM 2313， 即 MM 1，242A10 M1B1 x MM 15， 当 AB 经过焦点F 时取得最小值；4A2M2B2专题 13圆锥曲线的定义、性质和方程第2 页（共 8 页）精选名师 优秀名师 - - -

9、- - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - - M 到 x 轴的最短距离为54【点晴】 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1， x2，从而形成y0 关于 x0 的函数，这是一种“设而不求 ”的方法； 而解法二充分利用了抛物线的定义，奇妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁 ”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是

10、否能经过焦点F ，而且点 M 的坐标也不能直接得出；请摸索： 当|AB |在什么范畴内取值时不能用解法二？x2y24【文】（ 北京卷）椭圆a 2b21a,b0 的两个焦点F1、F 2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1 PF2，| PF 1|=，314| PF 2|=3.（ I）求椭圆 C 的方程； （ II ）如直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线l 的方程；解法一： 由于点 P 在椭圆 C 上，所以 2aPF1PF26 ， a=3.在 Rt PF 1F 2 中，F1 F22PF22PF125, 故椭圆的半焦距c

11、=5 ,从而 b2=a2c2=4,所以椭圆C 的方程为x2y2 1.94） 设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）、（ x2,y2） .由圆的方程为 （x+2代入椭圆 C 的方程得2+y 12=5,所以圆心 M 的坐标为（ 2，1）.从而可设直线l 的方程为 y=kx+2+1,（ 4+9k2）x2+36 k2+18kx+36k2+36k 27=0.由于 A，B 关于点 M 对称 .所以8x1x2 218k249k 9 k 22.解得k8 ，9所以直线l 的方程为y x21,9即 8x-9y+25=0.经检验，符合题意解法二： 同解法一 . 已知圆的方程为（x+2） 2+y 12=5, 所以圆心

12、M 的坐标为（2， 1） .设 A，B 的坐标分别为（x1,y1） ,x2,y2.由题意 x1x2 且22x1y11,9422x2y21,由得9x14x2 x19x2 y1y2 y1 4y2 0.由于 A、B 关于点 M 对称，所以x1+ x2= 4, y1+ y2=2,y1代入得x1y28x29，即直线 l 的斜率为8，所以直线l 的方程为 y 198（ x+2），即 8x 9y+25=0.9经检验，所求直线方程符合题意.【范例 3】如图 1，已知 A、B、C 是长轴为4 的椭圆上三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心 O，且ACBC0 ， BC2 AC ；（ 1）建立适当的坐标系，

13、求椭圆方程；（ 2）假如椭圆上两点P、Q 使直线 CP、CQ 与 x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，是否总存在实数 使 PQAB ？请给出证明；解：（ 1）以 O 为原点， OA 所在的直线为x 轴建立如图直角坐标系，就A（ 2，0），椭圆方程可设为图 1专题 13圆锥曲线的定义、性质和方程第3 页（共 8 页）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -x2y2210b4b2 ；而 O 为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|又 ACBC0

14、 ，所以 AC BC 又 BC2 AC ，所以 |OC| |AC| ，所以 AOC 为等腰直角三角形，所以点C 坐标为（ 1， 1）；将（ 1， 1）代入椭圆方程得b 24 ，就3x2椭圆方程为3 y21；44（ 2）由直线CP、CQ 与 x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，设直线CP 的斜率为k，就直线CQ 的斜率为 k，直线 CP 的方程为y=k x-1，直线 CQ 的方程为y=-k x-1 ；由椭圆方程与直线CP 的方程联立，消去 y 得 1+3 k2x2-6kk-1 x+3 k2-6k-1=0 由于 C（ 1，1）在椭圆上，所以x 1 是方程的一个根，于是3k 2xP6k12同理 x

15、Q3k 26 k12这样，13kyPyQkPQxPxQ13k1 ， 又 B（ 1， 1），所以31k AB，3即 kAB=k PQ；所以 PQ AB，存在实数使 PQAB ；【点晴】 利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程；【文】（ 06 上海春 ） 学校科技小组在运算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行x 2y 2（按顺时针方向）的轨迹方程为1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹 是 以 y 轴 为 对 称 轴 、 M100640,725为 顶 点 的 抛 物 线 的 实 线 部 分 ， 降 落 点 为D 8,0 .观 测 点A 4,0 、B 6

16、,0 同时跟踪航天器.（ 1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（ 2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点出变轨指令？A 、 B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发解：（ 1）设曲线方程为yax264，由题意可知，70a6464 .7a1 .7曲线方程为y1 x 2764 .7（ 2）设变轨点为C x,y ，依据题意可知x 2100y1,2251y1 x27得4 y 27 y64 ,7360 ， 2y4 或 y y4.9（不合题意，舍去）.4得x6 或 x6 （不合题意，舍去）.C 点的坐标为 6,4 ， | AC |25,| BC |4 .答：当观测点A、 B 测得AC、B

17、C距离分别为25、 4 时，应向航天器发出指令.【范例 4】过抛物线x2=4y 上不同两点A、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，PA PB0.（ 1）求点 P 的轨迹方程；（ 2）已知点F （ 0，1），是否存在实数使得 FAFB在，请说明理由； FP 20 ？如存在，求出的值，如不存专题 13圆锥曲线的定义、性质和方程第4 页（共 8 页）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -解法（一） ：（ 1）设A x1,2x21 , B x ,4

18、x212 , x4x2 由 x24 y, 得： y'x 2kPAx1x2, kPB22PA PB0,PAPB,x2xx1 x24x xx2直线 PA 的方程是y141 x2x1 即 y1124同理，直线PB 的方程是：yx2 x2x2由得：xx1x2 2x x2 x1 , x24R点 P 的轨迹方程是y1 xR.y1 21,4x2x2xx（ 2）由（ 1）得： FA x1 ,141, FB x2 ,241, P 122 ,1x1x2FP,2xx2, x1 x224 ， FAFBx2x2x1x222xx11214422xx2124 FP 21244122 ，所以 FAFB4FP 20故存

19、在=1 使得 FAFBFP 20解法（二）：（1）直线 PA 、PB 与抛物线相切，且PA PB0,直线 PA、PB 的斜率均存在且不为0，且 PAPB,设 PA 的直线方程是ykxmk, mR, k0ykxm2由x24 y得： x4kx4m016k 216m0 即 mk 2即直线 PA 的方程是：ykxk 2同理可得直线PB 的方程是：y11k xk2ykx由1k 211 得：xkkRyk xk 2y1故点 P 的轨迹方程是y1 xR.（ 2）由（ 1）得：A2k, k2 , B 2 , 1kk2, P k1 ,1kFA2k, k 21, FB21k , k 21) ， FP1 k,2kFA

20、FB4k 21 11k 22k 21 FP 2k 2 1k 24k2k 21 k 2故存在=1 使得 FAFBFP 20【点晴】 抛物线的切线方程成了近几年高考试题中的一个考查亮点；解法一、解法二是解决抛物线切线问题的常用方法，应娴熟把握；【文】 已知 ABC 的两顶点A、B 分别是双曲线2x2-2y2=1 的左、右焦点, 且 sinC 是 sinA 、 sinB 的等差中项 . （）求顶点C 的轨迹 T 的方程；（）设P-2,0, 过点 E（2，0）作直线 l 交轨迹 T 于 M 、N 两点，问 MPN 的大小是否为定值？证7专题 13圆锥曲线的定义、性质和方程第5 页（共 8 页）精选名师

21、 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -明你的结论 .解： 由条件知A -1 , 0 , B 1 , 0 ，且 sinA + sinB = 2 sinC |BC| + |AC | = 2|AB| = 4点 C 的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长2a = 4 的椭圆（不包括x 轴上两点） .2点 C 的轨迹 T 的方程是x4y=1 x± 2232x y 22122 当 l x 轴时，直线l 的方程为x =，代入74=1 解得 M 、N 的坐标为

22、（3,），而77|PE| = 12 ， MPN = 90 °，推测 MPN = 90 °为定值 .7证明：设直线l 的方程为my = x + 2 ，x = my2由77，得3m2 + 4 y 212 my576 = 03x2 + 4y2 = 12749 y1 + y2 =12m 73m 2， y1 y2 =4576493m 24 PMPN = x1 + 2 , y1 ·x2 +2 , y2 = x1 + 2 x2 +2 + y1 y2= my1 + 12 my2 + 12 + y1 y2 = m2 +1 y1 y2 + 12 m y1 + y2 + 1447774

23、9=m2 +1576493m2+ 12 m4712m 73m2+ 144 = 0 MPN = 90449，°为定值 . 自我提升1. 如椭圆经过原点，且焦点为F1 （1， 0）， F 2（， 0），就其离心率为（C ）32A.B.4311C.D.242. 双曲线的虚轴长为4，离心率 e6 ，F1、F 2分别是它的左，右焦点，如过F 1的直线与双曲线的左2支交于 A、B两点，且 |AB |是|AF 2|与|BF2|的等差中项，就|AB| 为（ A ）.A 、 82B、 42C、 22D、83. F 1、F 2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作F 1QF 2的外角平分线的垂线

24、，垂足为 P，就P点轨迹为（ A ） .A 、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线x 24双曲线a 2y 1的左支上一点P， O'为PF 1F2的内切圆，就圆心O'的横坐标为（ B ）.2b 2caacA 、aB、-aC、D、22| x | y |5. 已知点 F 1-4,0 ， F 24,0, 又 P x,y是曲线1 上的点 , 就 C53A. | PF 1|+|PF2|=10B. |PF 1|+|PF2|<10 C. |PF 1|+|PF 2| 10D. | PF1|+|PF 2| 1026. F 1、F 2 是椭圆 xa 2y 21 （ a>b> 0）的两焦点

25、，过F1 的弦 AB 与 F2 组成等腰直角三角形ABF 2，其b 2中 BAF 2=90 0，就椭圆的离心率是 637已知椭圆E 的离心率为e，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线 C 以 F 2 为焦点， F1 为其顶点，如P 为两3曲线的公共点，且e|PF2|=|PF 1|，就 e ；38已知 O： x2+y2=4 ，一动抛物线过A（ 1， 0）、 B（ 1， 0）两点，且以圆的切线为准线，就动抛x 2物线的焦点F 的轨迹方程为 y1， y 0243专题 13圆锥曲线的定义、性质和方程第6 页（共 8 页）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 -

26、 - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -9如图，已知三点A7, 0， B7,0， C2,12. 如椭圆过A、B 两点，且 C 为其一焦点，求另一焦点P 的轨迹方程； 如双曲线的两支分别过A、B 两点，且C 为其一焦点，求另一焦点Q 的轨迹方程；解析： 由椭圆定义知，|AP| |AC| |BP| |BC|，即 | PB| | PA| AC| | BC|2| AB|14y2故 P 的轨迹为A（ 7，0）、B（ 7，0）为焦点实轴长为2 的双曲线的一支， 其方程为x 21x480 ； 经争论知，无论A 在双曲线的哪一支上,总有 |

27、QA| |QB| |AC| |BC| 28 |AB| 14x 2y2故点 Q 的轨迹为以A （ 7， 0）、 B （ 7， 0）为焦点长轴长为28 的椭圆，其方程为1；x 210已知椭圆my212m1196147m5 过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、B、C、D ，设 f m=|AB|-|CD |,（1）求 fm,（ 2）求 fm的最值；x 2y 2解： （ 1）椭圆1中， a2=m，b2=m-1， c2=1，左焦点F1-1,0mm1就 BC:y=x +1, 代入椭圆方程即m-1 x2+my2-mm-1=0得m-1 x2+mx+1 2-m2 +m=0yD 2m-1 x2+2mx+2m-m2=0C设 Bx,y ,Cx,y , 就 x +x =-2m2m5F10 F2112212x2m1