2017-2018学年高中数学第04章圆与方程专题4.1.2圆的一般方程试题新人教A版必修

1、4.1.2 圆的一般方程隹知识、圆的一般方程1 圆的一般方程的定义当D2 E2-4F 0时，方程x2y2Dx Ey 0表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程, 其中圆心为，半径r =_.2 圆的一般方程的推导把以（a,b）为圆心，r为半径的圆的标准方程（x-a）2 （y-b）2二r2展开，并整理得x2y2-2ax -2by a2b2- r2= 0 .取D - -2a, E - -2b, F二a2b2- r2，得：2 2x y Dx Ey F =0.当且仅当 _ 时，方程表示圆，且圆心为 _ ，半径长为 _IDE当D +E 4F =0时，方程只有实数解x = ,y=，所以它表示一个点 _22当D2

2、 E2-4F 0 (一, 2-2)3.2丄2X。y。DxEy0F : 02X2y0Dx0Ey0F = 02 2xyDxEy0F 0二、标准方程或一般方程方程组2 2(3)x +y+20 x+121=0;x2+y2+2ax=0.【解析】原方程可化为（工十呼+护 7 它表示点丄0）环表示圆-（2）原方程可化为童如沪曲41,它表示S心为-切，半径为硏応的圆标准方程为严W+1-原方程可化为（如+护二加故方程不表示任何曲线，故不能表示圆一（4）原方程可化为匕词坤护 F.当 Z 时，方程表示点W不表示圆;当 唧时.方程表示以（叫0）为圆心半径为14的圆.标准方程为住网却护血一【例 2】方程x2+y2+4m

3、x-2y+5m=0 表示圆的条件是A.1m14C.m0, 解得m1 或m14D+2E+F+20=0由圆经过点(4,2)和(-2,-6),得,2D+6EF40 = 0设圆在X轴上的截距为Xi,X2,2则xi,X2是方程x +Dx+F=0 的两个根，得Xi+X2=-D.设圆在y轴上的截距为yi,y2,则yi,y2是方程y2+Ey+F=0 的两个根，得yi+y2=-E.由已知,得-D+(-E)=-2,即D+E-2=0.联立，解得D=-2,E=4,F=-20,故所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.【例 4】试判断A(1,2)，B(0,1)，C(7,-6)，D(4,3)四点是否在同一个圆上【

4、解析】解法一：线段AB,BCAB,BC的斜率分别是阳=1,皈二-1,得匕叫,则4EC三点不共线，设过三点的圆的方程为+ / + F =Z + 2E + F + 5=O因为4EC三点在园匕所加E + F + 1 72-6+ +85=0! L.所汰过AAf fC C三点的圆的方程为/十於-肛十幻一5将点 Q 的坐标(4,3)代入方程，得41+31-8x4+4x3-5 = OJ即点D在圆上,故4EGD4EGD四点在同一个圆上一2 1 1+6解法二：因为kABkBC二仝丄6=T，所以AB _ BC,1-00-7所以AC是过A,B,C三点的圆的直径，| AC(1-7)2 (2 6)2=10,线段AC的中

5、点M即圆心M (4, -2).因为|DM | = ,(4 -4)2(3 2)2= 5=丄|AC |,2所以点D在圆M上，所以A,B,C,D四点在同一个圆上.【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代rD=-B解得乜=4 .F = -5L5入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上3 与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程步骤如下:(2)定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程(3)相关点法：若动点P(x, y)随着圆上的另一动点Q(xi,y

6、j运动而运动,且Xi, yi可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程【例 5】已知点P(x,y),A(1,0),B(-1,1),且|PA|=|PB|.(1)求点P的轨迹方程；判断点 P 的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由【解析】 由题意得J十=塔2+ (y I)，,两边同时平方，化简得x2+y2+6x-4y+3=0,即点P的轨迹方程为x2+y2+6x-4y+3=0.解法一：由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10,故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为(-3,2),半径为 I .解法二：由(1)得 D=6,E=-4,F=3,所以D2+E2-4F

7、=36+16-12=400,故点P的轨迹是圆又旦。旦2,2 2所以圆心坐标为(-3,2),半径r=1； m【例 6】已知直角ABC的斜边为AB,且A( -1,0), B(3,0),求:(1 )直角顶点 C 的轨迹方程7(2)直角边BC中点 M 的轨迹方程【解析】 解法一：设顶点CU必因为&丄0C,且4EC三点不共线，所以沖3且心一1.因此，直角顶点C C的轨迹方程为/ +尸一2耳-3 = 0(兀工3且x工一1).解法二：同解法一得x = 3且x = -1.由勾股定理得| AC |2|BC | AB |2，即(x 1)2y2(x-3)2y16,oo化简得x y -2x-3 =0.因此，直

8、角顶点C的轨迹方程为x2 y2- 2x - 3 = 0(x =3且x -1).1解法三：设AB中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知，|CD|=?|AB| = 2,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,以 2 为半径的圆(由于A, B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设C(x, y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2 y2=4(x3且x=-1).(2)设点M(x, y),点C(X0,y),因为B(3,0),M是线段BC的中点，由中点坐标公式得3(X= 3且x= 1), y=0,2 2于是有x= 2x-3, y= 2y.由(1)知，点C在圆(x -1

9、)2 y2=4(x = 3且-1)上运动，将x, y代入该方程得(2x -4)2 (2y)2=4, 即(x -2)2y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2 y2=1(x = 3且x=1).4 忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例 7】已知点O(0,0)在圆x2y2kx 2ky 2k2k T =0外，求k的取值范围.1【错解】点0(0,0)在圆外，2k2k -1 0,解得k或k：1.2k的取值范围是(：，-1)U(丄：)2y才+1=-1,y yx+x+出=-1北简得，+尸2工一3=0一x x3 3所以【错因分析】本题忽视了圆的一般方程X2y2Dx Ey 0表示圆的条件为D2 E2- 4F

10、. 0,而导致错误.【正解】方程表示圆，k2(2k)2-4(2k2 k-1) 0，即3k24k -4：0,解得-2：k ：-.321又点0(0,0)在圆外，2k k-10，解得k-或21 2综上所述，k的取值范围是(_2 -1)u(丄土).2 3【易错点睛】一个二元二次方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考 虑的问题.理好题1.圆X2+y2+ 4x 6y 3 = 0 的圆心和半径分别为A.(4, 6),16B.(2, 3),4C.( 2, 3),4D.(2, 3) ,162.若方程x2+y2x+y+m= 0表示圆，则实数m的取值范围是1A.(-二，)B.(-二,0

11、)211CD.(-：,223.设圆的方程是x2y22ax 2y (a -1)0，若0a : 1，则原点与圆的位置关系是B.在圆外D .不确定4与圆x2 y2-4x 6y 3 = 0同圆心，且过1, T的圆的方程是2 2A.x y -4x 6y -8 =02 2B. x y -4x 6y 8 = 0C. x2y24x _6y _8 = 0D. x2y24x_6y 8 = 05 .若RtACB的斜边的两端点AB的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为A.x2+y2=25(y丰0)B.x2+y2=25C. (x-2)2+y2=25(yz0)D. (x-2)2+y2=256.圆心

12、是(一 3, 4),经过点 M(5, 1)的圆的一般方程为 _.A.在圆上C.在圆内97 .已知圆C x2+y2 2x+ 2y 3= 0,AB为圆C的一条直径，点A(0,1 ),则点B的坐标为_8.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径.(1)x2y2x 1 = 0；2 2 2(2)x y 2ax a =0(a = 0)；(3)2x22y22ax-2ay=0(a = 0).9 .已知方程-r 2: (R)表示一个圆(1) 求 m 的取值范围.(2) 若 m0,求该圆半径 r 的取值范围.10.已知三点坐标分别是A(0,5),B(1,-2),q-3,-4), 求过ABC的圆的一般方程，

13、并判断点M1,4),N6,4),F(0,1)与所求圆的位置关系.11 若圆x2y2ax 3by =0的圆心位于第三象限，那么直线x ay b= 0 定不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12 .已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA=2|PE|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于A.nB. 4nC. 8nD. 9n13.当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+2=0 恒过定点C则以C为圆心，屈为半径的圆的方程为2 22 2A.x+y -2x+6y=0B.x+y+2x+6y=02 22 2C. x+y+2x-6y=0D. x+y -2x-6y=014

14、.如图，设定点：-：； ：.,动点 在圆上运动，以为邻边作平行四边形.,求点的轨迹.1115. （2016 新课标 II ）圆x2亠y22x 8y亠13 = 0的圆心到直线ax y -1 = 0的距离为 1,则a=3B.4B., 3D. 216. （2016 新课标 I）设直线y =x - 2a与圆C:x2 y2-2ay - 2 = 0相交于 代B两点，若| AB 2.3,则圆C的面积为1234511121315CABBCDBCA1.【答案】C【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为(一 2, 3),半径r = *J42+(-6)2+12 =4.故选C.2 .【答案】A2 21【解析】由方程x+y

15、x+y+ mi= 0 表示圆，可得1 14m - 0,解得m.故选 A.23 .【答案】B【解析】将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a -1)2,0：a：1, (a -1)2 0,原点在圆外.4.【答案】B【解析】把圆x2y4x 6y 0化成标准方程为(x -2)2 (y 3)2= 10，由于两圆共圆心，可设另一个圆的方程为：(x -2)2 (y 3)2二r2，把x =1,y二-1代入所设方程，得：2 2 2 2 2 2(1-2)(-1 3)=，r =5，所以所求的圆的方程为(x-2) (y 3) =5，化简为：2 2x y -4x 6y 8=0，故选 B.5.【答案】C【解析】线段AB的中

16、点坐标为(2,0)，因为ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点(2,0)1 _的距离为|AB|=5,所以点C(x,y)满足=5(y丰0), 即 (x-2)2+y2=25(0).忌【答案】+/+6X-87斗8 = 0【解折】圆的半径心亠5+(4-= =y/73y/73 A.二圆的标准方程为(Jt+3)3+ (y-4) 2=73?整理得/+ 6x-8j?-48 = 0 .7.【答案】-3)【解析】由W+护加+勾T=0,得U-1)：+-设農(叭兀+0 = 2= 2肌片由中点坐标公式得勺解得T所以点的坐标为 -为.8.【解析】(1)v D =1,E =0,F =1 , D2E24F =1 4二

17、3：0. .方程(1)不表示任何图形.(2)v D =2a,E =0,F =a2,2 2 2 2 D E -4F =4a -4a =0.方程(2)表示点(_a,0).(3)方程两边同除以 2，得x2y2ax -a0,-D二a, E - -a, F= 0 ,D2E2-4F =2a20.方程(3)表示圆，它的圆心为(-旦,勻,9.【解析】依题意，得4(m3)2+ 4(2mr1)2-4(5吊+ 2)0,即卩8r 320,解得m-4,所以m的取值范围是(一 4,+).因为 m 0 ,+)，所以，所以r的取值范围是.1310【解析】设所求圆的方程为疋+b+%+野+F = 0（ +沪-4F0）（5 +F4

18、-2S= 0（D = 6把丿（0上）以121%34）代入上述方程.整理得D-2+F4-S=0辩得強=-2 .（3D+4E-F-2S = 0（F =-15则所求圆的方程为*+护他把mpmp的坐标代入上述方程左边得：lMF6Q2M-15=O,护神侮d2吗-15-650,P+P+6xO-2xH5-1$0,所以点M在所求圆上，点N在所求圆外，点P在所求圆內.11.【答案】D2231 b【解析】圆x2+y22ax+3by =0的圆心为（a, 一一b），则ao.直线y=-一x 一，其斜率2a a1bk= o,在 y 轴上的截距为一 一0,所以直线不经过第四象限，故选D.aa12.【答案】B2 2 2 2 2 2【解析】设点P的坐标为（X,y）,则（x+2） +y=4（x-1） +y,即（x-2） +y=4,所以点P的轨迹是以（2,0）为圆心,2 为半径长的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4n .13.【答案】C【解析】直线方程