2018年高三高三数学经典二轮复习专题三---三角函数与平面向量

1、专题三三角函数与平面向量知识网络图解同角二渤瞬赃基彳关系式考情分析及命题趋势1三角函数是基本的初等函数目前，我们对三角函数性质的了解，全面地反映了我们在高中阶段 对函数性质的研究所要达到的深度和广度三角函数自成体系（定义、图象、性质、三角公式及变换等） 同时通过它，又与数形紧密地联系在一起.2平面向量在高中数学体系中独立成章向量可以和数一样运算，同时向量将数与形统一了起来， 以向量为工具可以有效地解决数学和物理学科中的许多问题要认真体会在正、余弦定理的推理过程中向 量所起的作用.3对于三角函数，应熟练掌握其基础知识，把握住三角函数图象的几何特征，灵活应用（正用、逆用、变用）三角公式；灵活变换角

2、，如a= （a+$ B；运用 7 方程与函数思想对于向量，应理解其运算的深层次意义，比如 a b 把长度、角度、数相联结又比如通过丨a | =、a2可将向量问题转化为数的问题注意用坐标处理向量对于解析（立体）几何问题，比如平行、垂直，有时先用向量表达，再通过向 量的运算来处理，最后把向量转化为数，这种方法比较简单.4从近年考试说明和高考试题来看，对三角函数要求并不高题型多为选择题和解答题高考三衢变换三角副K平面向量牌料三角形诱导公式期】差公式二倍角公式性瞬弦运理平行築件 垂直条件对度问題 宦比分成坐标公式 平移问題2二对向量的要求也基本如此，但要求有逐渐加强之势因此，对三角函数的复习应注意基础

3、性，对向量的复 习应注意综合性.第 12 课时三角变换主干知识整合i 三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明对所给三角 式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式如平方差公式、 立方差公式等对三角公式不仅要掌握其原形”，更要掌握其 变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界.2 在运用三角公式进行三角变换时，要从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的 分析中决定三角公式的选取一般变换的规律是：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无 理化有理.3三角函数式的化简、求值、证明(1) 三角函数式的化简、

4、求值、证明三种题型使用的工具是一致的，方法也是相通的；(2 )倍角公式和万能公式都建立了 2a与a a与兰的关系，正切函数起主要作用；真题新题探究【例 1】 2018 年湖北已知 6sina+siacos a 2cos =0, a , n,求 sin(2a+ )的值.23【分析】 通过已知的条件式，求出角a的一个三角函数值，然后利用同角三角函数公式与两角和等公式求解.【解】解法一：由已知，有(3sina+2cosa)( 2sinacosa)=0 得 3sina+2cosa=0 或 2sinacos a=0,由此知 cosa,0 aM.2兀2即a , n于是 tanav0, - - tan aa

5、sin =sinacosa+(cos2asin2a)n sin(2a+ )=sin2a3JI-cos+cos232二32sin a cosa . 3-J-sin2a cos2a 22 2 2cos a -sin a tana . 3 1 -tan a-:-:- =-:- 十- *-:-sin2a cos2a tan2a 121 tan2a将tana=3代入得sin(2a+)=131(3)2 -解法二：由已知 cosa,0 a上，即卩a22 2 2sina=sin3=sin( 3 a)=n有故 OWa琢,6sin?a6tan?a+sinacos2aos2()=()+tan -a2=0,(3tan

6、a+2(2tan二tan2 13(tana=舍去)， 2sin2a+cosa=1 cos2a =1 +ta ncosa =3132sina= .J13nsin(2a+ )3n：=sin2a cos+cos23sin=sinacos22(2cosa1)=133 29 _1=空2131326【评本题主要考查对三角函数同角关系和两角和及倍角公式的掌握，正确地选用公式并注意题设中角的范围,【例2】是解此题关键.已知 f (0)=sin20+sin (0+a+sin2(0+3,其中 OWaW nW试问a 3为何值时，f (0)为与B无关的定值.【分若 f (0为与0无关的定值，则有 f( 0 ) = f

7、 (-a)= f (-3)= f (二)，即可求 a3,再20把a、3代入,【解看 f (B)是否为定值.设 f (0)=sin20+sin (0+ +sin2(0+3为与B无关的定值,则 f (0)=f(- a=f(- 3)n=f(222222曰 sin疋2=1+cosa2小+cos3JI二a=,3反之，若33JIa=,32 2f( 0)=sin0+in (3，则3jisin2(二21 .=sin0#sin712 22 -cos)2(_si n3cos寸)222=sin2丁2(】sin2寸4jia=,3所以，当33产2r (定值).3二时，f (0)为与0无关的定值.3244424【评析】

8、本题是用先特取再反代的方法求解这种逆向思维的解题过程应值得重视.3【例 3】 已知 f (x)=2sin ( x+ )cos( x+ )+cos2( x+ )-、32 222(1)试化简 f (x)的解析式；(2 )若 0,n,试求出使 f (x)为偶函数时的B的值；(3 )在(2)成立的条件下，求满足f( x)1且 x n n的集合.【分析】 通过和角公式与降次方法以及辅助角公式可将f( x)化简为形如 Asin (3X+0)或 Acos(曲+心的函数，再根据题设 f ( x) =f ( x)与 氏:0,n可确定B的值，利用 f (x)的单调性或图象法，可得出简单的不等式 f(x)1且 x

9、L 二，二的解集【解】(1)Tf (x) =sin (2x+0)+V3cos(2x+日)一J3=sin ( 2x+0)+V3cos (2x+0)2兀、=2 sin (2x+0 -)3n f(x)=2 sin (2x+0+).3(2) 依题意f(x) =f (x)，二0 = +knk 乙又00,n, 0=时，f(x)为偶函数.326二1二5二丄口&,2si n( 2x+)兰1,cos2x兰一，k兀+Ex兰k+ ，kZ(3) 由(2)即解 2二 2二66一兀Ex兰兀，I一兀兰x兰兀， 一兀兰X兰兀满足题意的 x 的集合是-5,， 6 6 6 6【评析】 本题主要考查可化为 Asin(3X+

10、的函数的性质，熟练地进行三角函数式的化简，会运用函数的奇偶性、单调性解决问题是此题获解的关键.【例 4】 若函数 f (x) = a+bcosx+ csinx 的图象过点 A ( 0, 1 )和 B ( , 1 )且 x 0,时 f (x)2 22恒成立，试求实数a的取值范围.【分析】 将点 A, B 的坐标代入函数式，求得 a, b, c 的关系后，通过消元，可得到含参数 a 的三 角函数式，然后根据 f (x)的值域转化为解关于a 的不等式.【解】 由已知 A (0, 1)与 B ( , 1)在 f (x)的图象上，2 f ( 0) =a+b=1, f ( ) =a+c=1.2 b=c=1

11、 a,3 : x 0, , 一 (+ f (x) =a+ (1 a) (cosx+sinx)=a+2(1 a)JIsin(x+ )42:sin( x+一) 1244424依题意，只需对 f (x)的最小值与 1 a 的正负进行讨论:当 awl 时，1f (x) 1 时，a+2(1 a)W(x)1只要 a+、.2(1 一 a) 2，解得 a 4+3.2,1va4+3.、2.综上所述，实数的取值范围是 2 , 4+3、一2.【评析】 本题考查三角函数式的化简与三角函数性质运用的能力，其中代入消元和分类讨论的思想是解题的关键.方法技巧提炼1.三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幕降幕法、辅助元素法

12、，“1 的代换法等.2 .对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析,合理转化，避免盲目性.第 13 课时三角函数图象与性质主干知识整合1 .三角函数的图象包括： y=sinx、y=cosx、y=tanx 的图象； 五点法画出 y=Asin (此+$)的简图; 利用平移和伸缩变换画出y=Asin(sx+O)的图象.对三角函数图象要从对称轴和有界性双角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个关键要素，这是高考命题的一个热点.2 .三角函数的性质包括：奇偶性，单调性，周期性，最值.其中对三角函数性质的研究要 首先建立在定义域的基础之上.而求三角函数的定义域

13、往往要解三角不等式， 解三角不等式的方法一般表 现为图象法或三角函数线法.对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合.一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换, 使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究.真题新题探究11【例 1】已知函数 f (x)是定义在(一丄，丄)上的奇函数且为减函数，又函数满足f (1 sinx)33+f (1 sin x)v0，求 x 的取值范围.【分析】 把题目中的抽象的不等式转化为具体的不等式，再化简.112【解】 由题意得一-v1 sinxv, vsinx13334又1v1sin2xv1vsinxw 1.从而 2L6 sin

14、2x 1,2sin x+sinx2v0，10, OW喲是 R 上的偶函数，其图象关于点 M( ,0)对称，且在区间0,上是单调函数，求3和0的值.42【分析 抓住函数 f( x)是偶函数，图象关于 y 轴对称，且有f( x)=f( x),又图象关于点 M(蛍0)4对称，则有f (- x)=f(3x)，这两点是解决本题的关键.44【解 由 f (x)是偶函数，得 f ( x) =f ( x).即 sin( 3X+0)=sin( wx+)， cos sin x=cos sin3对任意 x 都成立，且w0，所以得 cos =0f(1sinx)vf(sin2x1).(2kn+,2kn+arcs(k Z

15、).43仙兀自然cos=0，最后，对求出的3分类讨论，验证是否满足题意.依题设0W n所以得=.23 :-由 f(x)的图象关于点3:3:M(- ,0)对称，得取得f (3x)二-f ( x)得 x=0,得f( )= 一f(444443 ,3兀、f()=0.4Tf(匹)=前(匚443鳥-：=cos-4又30，得2)3蔦丄 二=+knk=0,1,2,2当 k=0 时,423二当 k=1 时,3=2,2兀f (x) =sin( x )在32JI3wn- cos=0.420) (2k+1),k=0,1,2,川3n:0, 上是减函数；2JTf (x) =sin(2x)在0,上是减函数;2 23, f

16、(x) =sin( x )在323 =-或3=23【评析本小题考查三角函数的图象和单调性、当 k 时,所以，综合得:3兀3TI力.解答本题的关键是得到f ( )=sin(40,上不是单调函数.2奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能兀3国兀)=cos式后，立即联想到点 M 的坐标(匚，0 ),42442X【例 3】 已知函数 f (x) =a(cossinx)+b2(1 )当 a=1 时，求 f (x)的单调递增区间；(2)当 av0, x 0,兀时，f (x)的值域是3, 4,求 a, b 的值,【分析】 关键是把 f (x)的表达式化成单角的三角函数.【解】(1) / a=1,2x二

17、f (x)=2 cos sin x b2=sin x+cosx+b_l=.2sin(x )+1 + b,y=sinx 的单调递增区间是2k兀K ,2kn,kZ.22当 2k 兀一一w(+nn即 2kn3二JI n一,k Z 时 f (x)时是增函数,24244f (x)单调递增区间是2k n-3:3兀2k n,k Z.4，4(2)由(1 )得 f (x) =. 2asin(x )+a+b,42二sin(x) w 1.Ta0, Cv n即 B+2C= 3兀 兀-(B=2C)或 B=2C 一2 2JI或 2C B=.2 2由 si nA ( sin B+cosB) si nC=0 得sinAsin

18、B+sinAcosB sin (A+B) =0./ sin Asi nB+si nAcosB sin AcosB cosAs inB=0.即 sinB(sinAcosA)=0./ sinBMQ/ cosA=sinA.由 A (0, n),知TtA=.4从而 B+C=，知4JI_3兀B+2C= 不合要求.2所以 A= , B=,3再由 2C B=，得 B= , C=23124本题主要考查三角形问题等知识，关键是运用代换式【评C=12sin (A+B) =sinC.的【例2】2018 年湖北在厶 ABC 中，已知 AB=4-6, cosB=, AC 边上的中线 BD=5，求 si nA36【解解法

19、一：设 E 为 BC 的中点，连接DE,贝UDE / AB,且 DE=1AB=仝6，设 BE=x.23在厶 BDE 中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED22BE-EDcosZBED,5=x2+8+2 卫 x,解得 x=1 , x=3363（舍去） .62 21故由正弦定理得23, sinA=70sin A V301428of 21故 BC=2，从而 AC2=AB2+BC22AB BCCOSB=，即 AC=33_221又 sin B=30，故 一236 sin A J306sinA14解法二：以 B 为坐标原点,BC 为 x 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象限.由呻=型则，BA

20、=设 BC= （x,0）则 BD=（6JI-4 3x 2汀由条件得IBD1=（443x）2（235）2=5从而 x=2,x= 14（舍去）.3故CA=（二口33COSA=BA CABA CA809 99 9916 803.1414 sinA=. 1-COS2A=.7014解法三：如图 3 14 1 所示，过 A 作 AH 丄 BC 交 BC 于 H,延长 BD 到 P使 BD=DP，连结 AP、PC过 P 作 PN 丄 BC 交 BC 的延长线于 N ,贝 U14 1HB=ABCOSB=4, AH= ,3BN=BP2PN2八BP2AH2 BC=BN CN=2 ,HC=3，AC=AH2HC2寻（

21、25）10，而 CN=HB=-33【评析】 解法一通过中位线，利用余弦定理和正弦定理求解；解法二通过建立坐标系，利用向量数量积求解；解法三构造图形，通过几何途径求解.31【例 3】已知锐角三角形 ABC 中，sin( A+B)=，sin (AB) = _ .55(1) 求证：tanA=2 tanB ;(2) 设 AB=3，求 AB 边上的高.【分析】 利用两角和与两角差的正弦公式，可得到这两个角正切关系式，再根据三角形中内角和定理与平面几何知识，可求出所给角的正切值与已知边上的高.sin A cos B + cos A sin B由已知sin A cos B cosAsin B21 + ，得

22、sinAcosB=,，得 cosA -sinB=.55两式相除，得tanA=2，即 tanA=2 tanB.tan B兀3(2) VA+BVn又 Sin ( A+B)=-,25 cos (A+B ) = Js in2(A + B)=-(3)2= - , tan (A+B)=-.554即tan A tanB= 3，将 tanA=2tanB 代入此式，整理得，2tan2B 4tanB 1=0.1 -tan A tan B 4解得 tan B=2一6，舍去负值，tanB=26，于是 tan A=2：；76.2 2设 AB 边上的高为 CD，则AB=AD + DB = C+C =3C乞乞,tan A

23、tan B 2+6由 AB=3，得 CD=2+6，故 AB 边上的高为 2+, 6.【评析】 本题主要考查对两角和与两角差三角公式的掌握及运用能力，注意锐角三角形中隐含的条件，会把已知线段分解为被高线分成的两线段的和，从而得到所求的高的关系式是解决此题的重要一步.【例 4】 将一块圆心角为 120,半径为 20cm 的扇形钢片裁出一块矩形钢片，如图3 14 2 中有两种裁法：使矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或者让矩形一边与弦 AB 平行，试问哪种裁法能使截得的矩形钢片面积最大？并求出这个最大值.3515(1)【证明】图 3 14-2【分析】 依题意，利用平面几何知识与三角函数公式，分别求出

24、两种裁法下所得矩形钢片的面积的最大值，然后比较两个最值的大小后作出结论.【解】 如图甲，要使矩形面积最大，则0 为其一顶点且另一顶点 M 在AB上，设/ MOA=B,则矩形 PMNO 的面积 S!=20 sin 20cos0=2,0sin20当0=45 时，有最大值，为 200cm2;如图乙，设/ MOA=0,在厶 OMQ 中，由正弦定理得 QM=0M驯日驯日.sin 120由图形的对称性知， / AOB 的平分线 OC 为其对称轴，于是 MN=2OMsin ( 600),2矩形 PQMN 的面积 S2=QM- MN=2 OM32sin0sin60 0）=:800 3COS（2=一6O0）一c

25、os60 .【评析】 本题主要考查运用三角知识解决实际问题的最值能力，其中依题意，引入参数0,列出矩形的面积的表达式是解题的关键.方法技巧提炼1.解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式.2 要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能.第 15 课时三角与平面向量的综合当0=30 时，S2有最大值为2cm ,又400 33200故用第二种方法可截得的矩形钢片面积最大，最大面积为400一332cm .NOP AO Q（甲）Q主干知识整合1. 平面向量的重点内容包括：向量的概念；向量加法及减法的定义及运算法则(三角形法则和 平行四边形法则)；向量共线的充要条件

26、；平面向量基本定理及应用；平面向量的坐标表示及应用； 线段的定比分点坐标公式及应用；平面向量数量积的定义、运算律及应用.2.向量本身具有 数”与 形”的双重身份，因此在解题中应充分运用数形结合的思想方法，三角形法则是向量加法和减法的根本法则，具体运用时要注意和向量与差向量的方向性平面向量的数量积为向量与数量”之间架起了沟通的桥梁，只有掌握好平面向量数量积的定义及运算律， 才能在解题中得心应手.3 禾 U 用向量的思想方法解决有关问题，如平行与垂直、夹角及平面几何的相关问题，突出向量的工 具作用成为高考命题的新亮点.真题新题探究若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c = ( m, n) |m

27、|v才平移后得到函数 y=f (x)的图象，求实数n 的值.【解 (1)依题设 f (x) =2cos2x+ , 3sin2x=1+2sin查运算能力.【例 2已知 a、b 是两个向量，且 a= (1,(1 )求 y 关于 x 的函数解析式 y=f (x)及其单调递增区间；n(2 )若 x0,求函数 y=f (x)的最大值、最小值及其相应的x 的值.2【分析利用向量的数量积的坐标运算公式：ab=X1X2+y1y2，易求出函数表达式，然后借助三角函数的基本性质来解题.【1设函数 f (x) =a b，其中向量a= (2cosx, 1), b = (cosx, /3sin2x), x R.(1)右

28、 f (x) =1 J3,且 x3，求x；n nn n5n一一$ 尙，一W2+_ -,3326 6(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量nnn - 2x+-= 一，即卩 x= 一一.634c = (m, n)平移后得到函数 y=2sin2 (x m) +n 的图象，即函数y=f (x)的图象.由(1)得 f (x) =2sin2 x+窃 +1me n，【评析本题主要考查平面向量的概念和计算、m=-, n=1.三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考m、,3cosx), b= ( cos2x , sinx) , x R，定义：y=a b由 1+2sin 2x+6，得 sin【解 a= (

29、1,诵 cosx), b= (cos2x, sinx),n1.3+2-y=cos单调递增区间是k , k(k Z)36ab=cos2x+ .12(1)若点P 的坐标为(Xo, yo),B为 PM 与 PN 的夹角，求 tan9n n2n(2)由 x0 ,得一$W2$弓2333f(x)min=0,此时 x=2 ；3f ( X)max=，此时nx=6.【评析】关键是抓住向量的基本运算，如用坐标运算表示向量的加、减法, 表示向量平行、垂直的条件等.【例3】设 a=(1+cosa,sina,b=(1cos3sin3,c=(1,0),a(0,n, 3( n2n,a与 c 的夹角为氛b与c的夹角为$,且9-嗨，求的值sin宁【分析】先由已知找到9、9与a、3关系，由99=二，求得_,6 2进而求得.asin_2【解】由 a=(2cosb=(2sin2(0,I aP,2sin2n, 3cosotOfOf,2sin cos)=2 COS (sin ,COS )2 2 222 2pppp)=2s in(si n ,cos )22222