2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积学案新人教B版必修2

1、1.1.7柱、锥、台和球的体积【学习目标】1.理解祖暅原理的内容2了解柱、锥、台体的体积公式的推导3掌握柱、锥、台和球的体积公式.ET问题导学-知识点一祖暅原理思考 取一摞纸张堆放在桌面上（如图所示），并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积 是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？梳理祖暅原理的含义及应用（1）内容：幕势既同，则积不容异.（2）_ 含义：夹在的两个几何体，被平行于这两个平面的 _所截，如果截得的 _，那么这两个几何体的体积相等.（3）_应用：的两个柱体或锥体的体积相等.知识点二 柱、锥、台、球的体积公式思考 已知直四棱柱ABGDABCD底面ABC为矩形.AB= a,AD=

2、b,AA=c,则四棱柱ABCDABCD与三棱锥AiABCD勺体积分别为多少？梳理柱、锥、台、球的体积公式名称体积（V）柱体棱柱旳iBjiD C2圆柱锥体棱锥圆锥台体棱台圆台球其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示咼，r和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径.题型探究类型一柱体、锥体、台体的体积例 i 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(H2-h2H主视图左视圏A.2n+2 3B. 4n +2 3C 2n+守D. 4n +乎反思与感悟(1)求简单几何体的体积. 若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解.(2)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到

3、几何体的直观图，然后根据条件求解.跟踪训练 1 (1) 一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为 _m3.3梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.类型二球的体积例 2(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器厚度，则球的体积为()500n3、匚cm2 048n3cm设长方体的长、宽、高分别为2a, a, a,其顶点都在一个球面上， 则该球的体积为 _反思与感悟(1)求球的体积，关键是求球的半径R(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、

4、切点、 接点等. 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰8 cm,将一个球放在容器B.866n33cmC.1 372n33cm俯视图4跟踪训练2则该球的体积是()( ) 2A. na11C.na类型三几何体体积的求法命题角度 1 等体积法例 3 如图所示，正方体ABCD- ABCD的棱长为 1,E为线段BC上的一点，则三棱锥A- DED的体积为_.反思与感悟(1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积.利用等体积法可求点到平面的距离.跟踪训练 3 如图，在棱长为a的正方体ABC-ABCD中，求点A到平面ABD的距离d.2 5

5、 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm,A.12ncm33B. 36ncmC. 64j6ncm3D. 108ncm(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为7B.3n2D. 5na5命题角度 2 割补法例 4 如图，在多面体ABCDE中，已知平面ABC是边长为 4 的正方形，EF/ AB EF= 2,EF上任意一点到平面ABCD勺距离均为 3，求该多面体的体积.反思与感悟当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.跟踪训练 4 如图，一个底面半

6、径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母 线长分别为 2和 3，求该几何体的体积.1.已知高为 3 的棱柱ABABC的底面是边长为 1 的正三角形（如图），则三棱锥BABC的 体积为当堂训练6（）7C. 64nD. 128 2n5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 _厂规律与方法-1.计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高,多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.旋转体的轴截面是用过 旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面.例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰 三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平

7、面截球所得的圆面.2 .在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题.A.41B.2C至D更C.6D. 42 .一个球的表面积是16n，则它的体积是（）64nA.64nB.-C. 32n32Dpn3 现有一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 cm,高为 20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中.当铅锤从水中取出后，杯里的水将下 降（）A. 0.6 cmB. 0.15 cmC. 1.2 cmD. 0.3 cm4 .圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16 2n，则圆锥的体积是（A.64nVB.1

8、28n3要充分运用A8合案精析问题导学知识点一思考体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.梳理(2)两个平行平面间任意平面两个截面的面积总相等(3)等底面积、等高知识点二思考VBQ D1山BCD=abc,1VA山BCD= 3abc21梳理V=Sh V=nr2h V=3Sh312V=3nr2hV= *h(S+SS+ S，)12/ 243V=3nh(r+rr+r)V=3nR题型探究例 1 C 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱底面半径为 1，高为 2,体积为 2n,四棱锥的底面边长为2，高为 3，所以体积为X(2)

9、2X3= 号，所以该几何体的体积为 2n +竽.亠亠20n跟踪训练 1(1)解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4m,高为 2m 的圆锥，下部是一个底面直径为 2 m，高为 4 m 的圆柱.故该几何体的体积12220n3V=3n X2 X2+ n XI X4=3 (m ).33(2)解如图，在三棱台AB&A B C中，取上、下底面的中心分别为O，Q BC, B C的中点分别为D, D，9则DD是梯形BCC B的高.101所以$侧=3X2X(20 + 30)XDD= 75DD.又因为A B= 20 cm,AB=30 cm，则上、下底面面积之和为S上+S下=X(20* 2+30

10、2)=325 3(cm2).由S侧=S上+S下，得 75DD= 325, ;3,所以DD= 呼),O D= X20= 呼,OD= X30=5 3(cm),所以棱台的高球的半径AD=5,所以V= JnR500n(cm3).6a3解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为BO CA依题意BE= 2,AE=CE= 4,设因为AD=AE+ DE,解得x= 3,故该h= O O=TPOD- O D122a2+a2+a2= 611a,得球的半径为 鸟,V= 3n(乎a)3=3a3.跟踪训练 2 (1)B 设球心为O截面圆心为O,连接OO,则OO垂直于截面圆0,如图所 示.在 Rt 00A

11、中，0A=5 cm ,08 2 cm,球的半径R=0A=_22+ 5 一2=3(cm),433球的体积V= 3Xn X3= 36n(cm ).(2)B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，0为球心，R满足 氏=0A= (a)2+ ()2= 12a2,故S3212R=3na例 316解析V三棱锥A DED1- V三棱锥EDD1A1 1 1 =3x2X1X1X1=6 跟踪训练 3 解 在三棱锥AABD中AA丄平面ABD,AB= AD= AA=a,AB=BD= AD=2a,VA|ABD=VA ABD1 1211 3x2aa= “2xV2ax2ad,易知AP=|x1,0P=2a,所以球的半径12例 4 解如图，连接EB EC四棱锥E-ABCD勺体积V四棱锥 E- ABCD12=-X4 X3=16.3 AB= 2EF,EF/ AB/ SEAB= 2SBEF,.V三棱锥 F-EBC=V三棱锥 C- EFB多面体的体积V=V四棱锥 E- ABC厅卜V三棱锥 F EBC= 16+ 4 = 20.跟踪训练 4 解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的