现代控制理论-2-控制系统状态空间描述-第1讲

1、第二章 控制系统的状态空间描述Modern Control Theory 线性系统的数学描述线性系统的数学描述状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念v 状态、状态变量状态、状态变量v 状态矢量（状态向量）状态矢量（状态向量）v 状态空间状态空间v 状态方程状态方程v 输出方程输出方程v 状态空间表达式状态空间表达式v 状态变量结构图状态变量结构图本章主要内容本本 章章 主主 要要 内内 容容机理分析法列写状态空间表达式机理分析法列写状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵系统状态方程的线性变换系统状态方程的线性变换v 基本知识

2、及概念基本知识及概念v 状态方程的两种标准形式状态方程的两种标准形式 对角形对角形 约当形约当形v 将状态方程化为标准形式将状态方程化为标准形式本章主要内容重点内容：重点内容：要求熟练掌握要求熟练掌握n电路、机电系统状态空间表达式的建立电路、机电系统状态空间表达式的建立（由系统的物理机理或由微分方程推导状（由系统的物理机理或由微分方程推导状态空间表达式）。态空间表达式）。n线性变换的基本性质以及对角和约当标准线性变换的基本性质以及对角和约当标准型。型。n传递函数矩阵的定义及求取（由状态空间传递函数矩阵的定义及求取（由状态空间表达式）。表达式）。本章重点内容2.1 线性系统的数学描述线性系统的数

3、学描述系统描述中常用的基本概念系统描述中常用的基本概念1. 系统：一些相互制约的部分所构成的整体。系统：一些相互制约的部分所构成的整体。 典型控制系统由典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制被控对象、传感器、执行器和控制器器组成。组成。 被控过程被控过程具有若干输入端和输出端。具有若干输入端和输出端。2. 输入和输出：输入和输出： 输入输入-由外部施加到系统上的全部激励由外部施加到系统上的全部激励 输出输出-从外部量测到的来自系统的信息从外部量测到的来自系统的信息 典典 型型 控控 制制 系系 统统 方方 框框 图图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制反馈控制

4、 被被 控控 过过 程程puuu21nxxx,21qyyy212.1 线性系统的数学描述线性系统的数学描述 3. 3. 系统数学描述的两种基本方法：系统数学描述的两种基本方法： 4. 松弛性松弛性: :若系统的输出若系统的输出 由输入由输入 唯一确定，则称系统唯一确定，则称系统在在 是松弛的。是松弛的。0 ,)t y0 ,)t u0t 系统的外部描述系统的外部描述（输入输出描述）（输入输出描述）传递函数或高阶微分方程传递函数或高阶微分方程, 不计所有内部中间变量。不计所有内部中间变量。 系统的内部描述系统的内部描述状态空间表达式状态空间表达式，基于系统内部结构，基于系统内部结构， 计及内部状态

5、，是对系统的一计及内部状态，是对系统的一 种完整的描述。种完整的描述。 输出方程状态方程2.1 线性系统的数学描述线性系统的数学描述yHuH 算子5. 线性：一个松弛系统，当且仅当对任何输入线性：一个松弛系统，当且仅当对任何输入 及任意常数及任意常数 ， 均有均有 则该系统称为线性的，否则为非线性。则该系统称为线性的，否则为非线性。6. 定常性（时不变性）：定常性（时不变性）：2.1 线性系统的数学描述线性系统的数学描述21uu 和和 2121)(HuHuuuH 11()()HuH u(可加性可加性)(齐次性齐次性)一个松弛系统当且仅当对任何输入一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数和任意

6、实数 ，均，均有有uuHQHQ则称系统是定常的，否则称为时变的。则称系统是定常的，否则称为时变的。 aQ-位移算子位移算子)()()(tutuQtuayHu)(tu)(tutt)(ty)(tytt定常性（时不变性）定常性（时不变性）状态和状态变量状态和状态变量 状态向量状态向量 状态空间状态空间 状态方程状态方程 输出方程输出方程状态空间表达式状态空间表达式状态变量结构图状态变量结构图 2.2 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念一、一、状态和状态变量状态和状态变量1 1、状态：表征系统在时间域中运动的信息和、状态：表征系统在时间域中运动的信息和行为。行为。2 2、状态变量：足以完全表

7、征系统运动状态的、状态变量：足以完全表征系统运动状态的 最小个数的一组变量。最小个数的一组变量。 注意：注意：1)1)、状态变量的选取具有非唯一性，可用一组数目、状态变量的选取具有非唯一性，可用一组数目最少的变量作为状态变量；最少的变量作为状态变量； 相互独立，相互独立，其个数等于微分方程的阶数其个数等于微分方程的阶数 微分方程阶数取决于独立储能元件的个数微分方程阶数取决于独立储能元件的个数 状态变量的个数应等于状态变量的个数应等于独立储能元件的个数独立储能元件的个数 2) 2)、状态变量不同于输出变量，其、状态变量不同于输出变量，其不一定在物理不一定在物理上可量测上可量测，有时只具有数学意义

8、有时只具有数学意义。二、状态向量（状态矢量）二、状态向量（状态矢量） )(tx( ) tx 若描述系统状态若描述系统状态n n状态变量用状态变量用表示，并把这些状态变量看作是向量表示，并把这些状态变量看作是向量( (矢量矢量) )的分量，则向量的分量，则向量 称为称为n n维状态向量，记作：维状态向量，记作： 或：或： )(,)(),(21txtxtxn12( )( )( )( )nx tx ttx tx12( )( ),( ),( )Tntx tx tx tx 三、状态空间三、状态空间 )(,)(),(21txtxtxn 以状态变量以状态变量 作为坐标轴所构作为坐标轴所构成的成的n n维空间

9、称为状态空间。维空间称为状态空间。说明：说明：1)1)、系统在任一时刻的状态，在状态空间中用、系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点表示。一点表示。 2)2)、随着时间的推移，将在状态空间中描绘出、随着时间的推移，将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为一条轨迹，称为状态轨迹状态轨迹。 2x1xt0)(),(0201txtx)(),(1211txtx状态轨 迹)()()(21txtxtxAB状态空间状态空间四、四、状态方程状态方程-描述输入与系统内部状态的变化关系描述输入与系统内部状态的变化关系 描述系统状态变量与输入变量之间关系的描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组一阶微分方程组(

10、 (连续系统连续系统) )或一阶差分方程组或一阶差分方程组( (离散系统离散系统) )称为状态方程。称为状态方程。说明：说明：1)1)、状态变量的选择具有非唯一性，因此状态状态变量的选择具有非唯一性，因此状态方程也具有非唯一性；方程也具有非唯一性； 2)2)、虽然状态方程的形式不同，但它们的本质相虽然状态方程的形式不同，但它们的本质相同，都描述了同一个系统；同，都描述了同一个系统； 3)3)、不同形式的状态方程之间实际上存在着某种、不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。线性变换关系。 ),(),()(ttutxftx 五、五、输出方程 描述系统输出量与状态变量描述系统输出量与状态

11、变量（输入量）（输入量）之间函数关系的之间函数关系的代数方程代数方程 称为输出方程。称为输出方程。 由系统任务确由系统任务确定或给定定或给定指定 作为输出，则：1cxu 或cuy 1yx用y 表示矩阵表示式为：矩阵表示式为：或或 ： 2101xxyycxxyu代数方程),(),()(ttutxgty六、状态空间表达式六、状态空间表达式 状态方程和输出方程的组合称为状态空间状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，亦称为表达式，亦称为动态方程动态方程。 说明：说明：1 1、状态空间表达式是对系统动态行为的完全状态空间表达式是对系统动态行为的完全 的描述，因为它既表征了输入对于系统内部状的描述，

12、因为它既表征了输入对于系统内部状 态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输 出的影响。出的影响。 2、状态空间表达式是非唯一的，因为系统状、状态空间表达式是非唯一的，因为系统状 态变量的选择是非唯一的。态变量的选择是非唯一的。),()(),(tuxgtytuxfx 设设单输入单输入-单输出单输出线性定常连续系统，其状态变量为：线性定常连续系统，其状态变量为： ，则，则状态方程状态方程的一般形式为的一般形式为: )(,)(),(21txtxtxnubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn221122222121211212

13、1111输出方程输出方程为：为： 1 12 2n nycxc xc x状态空间状态空间表达式表达式状态空间表达式状态空间表达式写成一阶矩阵微分方程的形式为写成一阶矩阵微分方程的形式为 :111121112212222212nnnnnnnnnxaaaxbxaaaxbxaaaxbu1212nnxxcccxy xAxbuycx简记为：简记为：系统矩阵或系数矩阵系统矩阵或系数矩阵: :表示系统内部状态的表示系统内部状态的联系，为联系，为 方阵方阵 nn 输出矩阵输出矩阵 n1输入矩阵或控制矩阵输入矩阵或控制矩阵，为输入对状态的作用，为输入对状态的作用， 的列阵的列阵 1nn n 维维状态变量状态变量r

14、nrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnrrnnrrmmmmnnmmmrryc xc xc xd ud ud uyc xc xc xd ud ud uyc xcxcxd udud urm对于一个具有对于一个具有 个输入个输入 个输出个输出的复杂系统，其的复杂系统，其状态方程状态方程为为: 输出方程输出方程的一般形式为：的一般形式为：多输入多输入- -多输出

15、系统多输出系统状态空间表达式状态空间表达式的矢量形式为：的矢量形式为：11112111112112212222212222121211112122122212nrnrnnnnnnnnnrrnnmmmxaaaxbbbuxaaaxbbbuxaaaxbbbuycccycccyccc1111211221222212rrmnnmmmrrxddduxddduxddduDuCxyBuAxx可简写为：可简写为：系统矩阵或系数矩阵:表示系统内部状态的联系，为 方阵 nnn维状态变量DuCxyBuAxx 输出矩阵 nmm 维输出向量 输入矩阵 rnr维输入向量 （控制向量 ） 直接转移矩阵 (关联矩阵 )rm线性

16、时不变系统模型：线性时不变系统模型：( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u ty tC t x tD t u t线性时变系统模型：线性时变系统模型：线性定常离散系统线性定常离散系统模型：模型：)()() 1(kHukGxkx)()()(kDukCxky(,ktkT T采样周期）七、状态变量结构图七、状态变量结构图 BSICDAx xuy+结结构构图图线线性性定定常常系系统统状状态态变变量量结结构构图图线线性性时时变变系系统统状状态态变变量量DuCxyBuAxx讨论：讨论：1 1、状态变量的、状态变量的独立独立性。性。 2 2、由于、由

17、于状态变量的选取不唯一状态变量的选取不唯一，因此，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不唯一。状态方程、输出方程、动态方程也都不唯一。但是，用独立变量所描述的但是，用独立变量所描述的系统的维数系统的维数( (阶阶数数) )应该是唯一的应该是唯一的，与状态变量的选取方法，与状态变量的选取方法无关。无关。 3 3、动态方程对于系统的描述是充分的、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述状态方程和输出方程来描述。 x3x3例例2.12.1、试分别确定下图（试分别确定下图（a a）、（）、（b b）所示电路的独立

18、状态）所示电路的独立状态变量。变量。 图中图中u u、i i分别是是输入电压和输入电流，分别是是输入电压和输入电流，y y为输出电为输出电压，压，x xi i为电容器电压或电感器电流。为电容器电压或电感器电流。 （a） （b） 因此，因此，只有一个变量是独立的只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个三个串并联的电容可以等效为一个电容。串并联的电容可以等效为一个电容。 对图（对图（b b），），x x1 1 = x= x2 2，因

19、此两者相关，电路，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的只有两个变量是独立的，即，即（x x1 1和和x x3 3）或）或(x(x2 2和和x x3 3) )，可以任用其中一组变量如（，可以任用其中一组变量如（x x2 2，x x3 3）作为状态变）作为状态变量。量。13232xcccx13223xcccx解解：并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。 对图（对图（a），），不失一般性，假定电容器初始电压值均为不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有，有x3列写状态空间表达式列写状态空间表达式（ 机理分析法机理分析法）(1)(1

20、)、根据具体系统结构及其研究目的，选择一定根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量；的物理量作为系统的状态变量；(2)(2)、 根据对象或环节所遵循的物理或化学定律，根据对象或环节所遵循的物理或化学定律，列写出描述变化过程的列写出描述变化过程的原始方程；原始方程；(3)(3)、列出矩阵微分方程形式的状态空间表达式。、列出矩阵微分方程形式的状态空间表达式。2.3 机理分析法建立状态空间表达式机理分析法建立状态空间表达式几个不同系统状态方程的列写几个不同系统状态方程的列写示例：示例：例例2.2、电路系统状态空间表达式的列写示例、电路系统状态空间表达式的列写示例 求图示求图示

21、RLC回路的状态空间表达式。回路的状态空间表达式。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出独立储能元件独立储能元件(2(2个个) )： 电容电容C C 和电感和电感 L可用二阶微分方程式描述该系统可用二阶微分方程式描述该系统 以以 和和 作为该系统的两个状态变量：作为该系统的两个状态变量： cuiuuRidtdiLidtduCccuLiLRuLiiCucc111设状态变量设状态变量 ，则该系统的，则该系统的状态方程状态方程为为:ixuxc21,uLxLRxLxxCx11121221RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为:uLxxLR

22、LCxx101102121LLRLCxx10,110,21bAxbuAxx简记为简记为:即：即：若改选若改选 和和 作为两个状态变量，令作为两个状态变量，令:则该系统的状态方程为则该系统的状态方程为:cucu ccuxux21,uLCxLRxLCxxx1121221uLCxxLRLCxx101102121状态变量选取的不同，状态变量选取的不同，状态方程也不同状态方程也不同RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出uuuCRuCLuuRidtdiLcccc)()(指定 作为输出，则：cux 1 或cuy 1xy 用y 表示输出方程输出方程的矩阵表示式为：的矩阵表示式为：或或 ： 210

23、1xxycxy RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出例例2.3、力学系统状态空间表达式的列写示例、力学系统状态空间表达式的列写示例 机械运动系统如下图所示，机械运动系统如下图所示， M为物体的质量，为物体的质量，K为弹为弹簧系数，簧系数，B为阻尼器的阻尼系数，为阻尼器的阻尼系数，f为外加的力，为外加的力，y为为受力后物体的位移，受力后物体的位移，v为物体的运动速度。为物体的运动速度。 试以外力试以外力f为输入、位移为输入、位移y为输出，写出该机械系统的为输出，写出该机械系统的状态空间表达式。状态空间表达式。 KMByf弹簧质量阻尼器系统弹簧质量阻尼器系统yx 1vx 2fu 解

24、：解：设设 , , , , ,则有则有根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律可写出该系统的运动方程：可写出该系统的运动方程： dtdvMKyBvfuMxMBxMKx1212弹簧质量阻尼器系统弹簧质量阻尼器系统21xvyx 2xvKMBy可得状态空间表达式为：可得状态空间表达式为： 2101xxyuMxxMBMKxx10102121状态方程状态方程输出方程输出方程1221211xxKBxxxuMMMyx 例例2.4、倒立摆装置、倒立摆装置长度为长度为l l ，质量为，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为的单倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力的小车上，小车受电机

25、操纵，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系产生位移，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状。要求建立该系统的状态空间表达式。态空间表达式。设小车瞬时位置为设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为摆心瞬时位置为在水平方向，由在水平方向，由牛顿第二定律牛顿第二定律即：即：在垂直方向：在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡惯性力矩与重力矩平衡(sin)xlx2222(sin)dxdMmxludtdt2()cossinMmxm lm lu22(sin)cossindmxllm gldt即即: 则有：则有：联立求解：联立求解：22coscossincossinxllg)Mmxm lu（xlg1m gxuMM (

26、)1MmguM lM l选取状态变量：选取状态变量：121343,xx xxxxx122133443311()1xxm gxxxxuMMxxMmgxxxuM lM lyxx 1m gxuMM ()1MmguM lM l2.4 由微分方程求状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式经典控制论：输入、输出变量间的经典控制论：输入、输出变量间的高阶微分方程高阶微分方程描描 述系统述系统现代控制论：输入、状态、输出变量间的现代控制论：输入、状态、输出变量间的一阶微分一阶微分 方程组方程组描述系统描述系统提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态空提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态空 间表达式，保

27、持原输入输出关系不变。间表达式，保持原输入输出关系不变。2.4 由微分方程求状态空间表达式1 1）输入变量没有导数项的情形）输入变量没有导数项的情形 lSISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为线性定常连续系统微分方程的一般形式为l第一步：选择状态变量，第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择阶系统，一般选择n个个状态变量状态变量 令令)1(321nnyxyxyxyx 12,nx xxuyayayayaynnnnn001)2(2) 1(1)(n第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有uxaxaxaxxxxxxxnnnnn012110132211xy )

28、1(321nnyxyxyxyx n第三步：将方程组表示为向量第三步：将方程组表示为向量-矩阵形式矩阵形式uyxAxbcx1210100001000010naaaaA0000b0001c其中， 这样的这样的A阵阵又称又称友矩阵友矩阵n例例2.5 已知系统的输入输出微分方程为已知系统的输入输出微分方程为试列写其状态空间表达式。试列写其状态空间表达式。解：取状态变量解：取状态变量 61163yyyyuyxyxyx 321,可得可得13213322136116xyuxxxyxxyxxyx 写成矩阵形式写成矩阵形式uyyyy36116 uxxxxxx3006116100010321321321001xx

29、xy210aaa02 2）系统输入量中含有导数项的情形）系统输入量中含有导数项的情形 SISO线性定常连续系统的线性定常连续系统的微分方程微分方程一般形式一般形式为：为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为为避免在状态方程中出现避免在状态方程中出现u的导数项的导数项，可选择如下一，可选择如下一组状态变量。组状态变量。 设设 ，选取：，选取：yayayaynnn01) 1(1)(ububububnnnn01)1(1)(0nbniuxxuyxiii, 3 , 21101， uxxuxxuxxuxxuyxnnnnnniii1122111112

30、01n 是是n个待定系数个待定系数12,n niuxxuyxiii, 3 , 21101，uuy10 即：即：uxyuyx0101uuxyuuyx10210230123012xyuuuyxuuu(1), ,niy yyxu u 求出由及表示uuuyxnnnnn1)2(1) 1(0) 1(uuuxynnnnn1)2(1)1(0)1(uuuyxnnnnn1)1(1)(0)(得到得到将求出的将求出的 代入上式，代入上式， 可得：可得：yayayayaynnnnn01)2(2) 1(1)(ububububnnnn01)1(1)(yayayaynnn01) 1(1)(ububububnnnn01)1(1

31、)(由已知系统由已知系统微分方程微分方程1021121)(xaxaxaxaynnnnn)(1)2(1)1(01uuuannnn(2)(3)2012()nnnnauuuuauua00101)(ububububnnnn01)1(1)( 继续将上式代入前面求得的：继续将上式代入前面求得的：可得可得uuuyxnnnnn1)1(1)(0)(nnnnnxaxaxaxax1122110)1(0111)(0)()(nnnnnuabub)2(021122)(nnnnuaabuaaabnnnnn)(01322111uaaaabnnnn)(001122110显然，若合理选择系数显然，若合理选择系数 ，可使，可使得上式中得上式中u的各阶导数项的系数都等于的各阶导数项的系数都等于0110,nn即可解得：即可解得：01110221120331221304