知识讲解_三角恒等变换综合_基础

1、三角恒等变换综合编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】【要点梳理】要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式sin（）=；cos（）；tan（）；要点诠释：1.公式的适用条件（定义域）：公式、对任意实数a,3都成立，这表明、是R上的恒等式；公式中,R,且、一k（kZ）22 .正向用

2、公式、，能把和差角（）的弦函数表示成单角a,3的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角（）的弦函数.公式正向用是用单角的正切值表示和差角（）的正切值化简.要点二：二倍角公式1.在两角和的三角函数公式S,C,T中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式S2,C2,T2：sin2(S2);cos2(C2)；tan2(T2).要点诠释：.一.k1 .在公式S2C2中，角a没有限制，但公式T2”中，只有当和一k(kZ)时422才成立；2.余弦的二倍角公式有三种：cos2cos2sin2=2cos21=12sin2；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升哥和扩

3、角降哥的作用.33 .二倍角公式不仅限于2a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，一是一的一倍,3是3-242的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键.要点三：二倍角公式的推论22升帚公式：1cos22cos,1cos22sin1 .一降帚公式：sincossin2；221cos2sin;221cos2cos.2要点四：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：1 .三角函数式的化简(1)常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等.(2)化简要求：能求出

4、值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.2 .三角函数的求值类型有三类(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.3 .三角等式的证明(1)三角恒等式的证题思路是根据等式

5、两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明.【典型例题】类型一：正用公式已知sinsin(1)(2)求sin2求cos【思路点拨】2,3的值；的值.（1）由题意知,coscos3,25山1y口,然后利用二倍角公式求得3sin2的值.（2）求得22小一一，人、,，然后利用两角差的余弦公式可求解.9【答案】（1）迤（2）(1)Qsinsin22sin(2)Qcoscoscoscoscossin,2sin，得sin举一反三：【变式1】求值:4x29s

6、in15=；sin75=【答案】*其J【解析】sin15sin(6045)sin75sin(3045)cos75cos(3045)【变式2已知tan和tan.5,354.52.232.23cos75=sin60cos45sin30cos45cos30 cos45cos60sin45cos30sin45sin30sin45是方程2x2x60的两个根，求tan（）的值.【解析】由韦达定理,得tantantantan3,tan(tantan1)1tantan.8j3兀,12,cos(a0,=_413a）,分别求出,sin例2.已知三 vv23,求sin2a的值.5【思路点拨】因为2的正弦值和余弦值，

7、利用两角和的正弦公式可求解.56653冗oc43，-sin(a+3)=,cos(a3)=212一,1345cos(%+3),sin(%3)-1sin2a=sin(a+3)+(a3)=一135665【总结升华】（1）解题中应用了2）式子的变换,体现了灵活解决问题的能力，应着重体会,常见的变换技巧还有)，2（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值,求另一个相关角的三角函数值,基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系,和差（为特殊角）关系，倍半关系等对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用【变式1】已知sin是第二象限角，且tan（的值.【解析】由724s

8、in是第二象限角，得tan(1tantan(tan(1tan(tan)tantan22tan1tan27244一，且一，求cos(2+一)的值.5212、-2,、, ,7)2cos()1121225Jsin2(.2724、31、2一()2252550类型二：逆用公式例3.求值：13.(1)sin24cos36cos24cos54；(2)cossin；212212【思路点拨】题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算.(1)若将式中的cos54改写为sin36则恰为两角和的正弦；(2)中将其转化为特殊角的三角函数值，然后可以逆用公式；(3)利用tan451将1ta

9、n15视为tan45tan15，将1tan15视为1tan45tan15,则式子恰为两角和的正切.【答案】(1)(2)(3)J322【解析】把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和(差)正(余)弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”.【解析】角的关系式：2-cos()12sin2(一12一2(12)(和差与倍半的综合关系)12435，二sin(122sin()cos(12122425【变式2】已知cos(【答案31_250cos2(3)1tan7501tan75(1)原式=sin24cos36cos24sin36sin(2436)(2)原式=sin30cos15cos30sin15sin(

10、3015)(3)原式tan4500tan15：1tan450tan150【总结升华】tan(450150)tan6003.1cos(2H).cos2(12cos2(2辅助角公式：asinbcosa2b2sin(在公式变形过程中自然确定【变式1】求值:(1)sin164osin224osin254osin314o；(2)00sin20cos1100.re。cos160sin70；(3)sin3470cos148osin770cos58o【答案】（1）1/2（2）1（3）1/2【解析】(1)原式sin16osin44ocos16ocos44ocos(16o44o)(2)原式=.一0一0sin20c

11、os70一0.一0cos20sin70-0sin(20700)(3)原式=cos74osin440sin740cos4400sin7444o0sin30、.1【变式2】下列各式中，值为1的是（2A.cos15sin15B.22cos12C.1cos30D.tan22.52tan22.5【解析】cos15sin151.sin30222cos112cos-6,32，1cos30cos15tan22.51tan222.5例4.求值：2tan22.51tan222.511一tan452(1)cos36cos72；(2)2coscos-77【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系,以最小角的正弦.【答案】

12、（1）1/41/8【解析】3cos-7且都是余弦的乘积.方法是分子分母（分母视为1）同乘（1）原式=sin360cos360cos7201sin720cos72sin360sin3601sin14404sin3602,4、(2)原式-coscos-cos(一)77724sincoscoscos7777sin7.224sincoscos7772sin7.8sin78sin718【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：余弦相乘；后一个角是前一个角的2倍与最小角的和与差是.三个条件缺一不可.另外需要注意2的个数.应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考

13、虑采用这个方法.举一反三：【变式】求值：cos20cos40cos802sin20cos20cos40cos80原式-2sin2000000=2sin40cos40cos802sin80cos8022sin2008sin200sin16001-0一,8sin208类型三：变用公式例5.求值：(1)tan200tan400百tan200tan400；(2)(1tan20)(1tan430)【思路点拨】表示两个正切的和，可以“凑”公式的变形：tan()(1tantan).tantantantan1tantan(1 tantan)24coscoscos7772倍；最大角的变形：tan20tan40.

14、3(1tan200tan400).(1)中204060,又tan(200400)tan200tan40033,1tan20Otan40【答案】(1)邪(2)2【解析】00_0000(1)原式tan(2040)(1tan20tan40),3tan20tan40.33tan20tan403tan20tan40.3.0000(2)原式=1tan2tan43tan2tan431tan(20430)(1tan20tan430)tan20tan43011tan20tan430tan20tan4302【总结升华】 本题是利用了两角和正切公式的变形， 找出tantan,tantan与tan()三者间的关系，

15、进行转化， 即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：tan451,sin2cos21.举一反三：tan22otan23otan22otan230=.【答案】(1)1(2)1【解析】,lc0cos100、.3sin100sin500cos10.c-0,-0.0.“00sin30cos10cos30sin10=2sin500cos100000八.0sin402cos40sin402sin5000cos10cos1000sin80cos10,001cos10cos10【变式1】求值:【答案】1例6.化简：(

16、1)sin50(1、,3tan10【思路点拨】(1)题中首先“化切为弦”)；(2)-2,2cos1_22t叫)sin(-),同时用好“50”和“40”的互余关系，注意逆用和角公式化简;(2)题初看有“化切为弦”，“降哥”等诸多想法，但首先应注意到(4)(4)a这个关系.(1)原式sin500(13呼cos100(2)原式=2tan(4cos22)sin-()24cos2+B）展开，代入数据即可.13【答案】(1)1/5(2)1385【解析】（1）由丁=2p=10P得亚=1w52sin(-)4cos(了)cos22/cos(42sin(4cos2)c%)cos2sin(2)cos21【总结升华】

17、（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系.因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察.（2）三角变换中一般采用21cos2.2cos,sin2举一反三：【变式1化简：“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降哥公式:1cos2（1）sin10【答案】（1）【解析】sin804(3)10tan10cos500（1）原式=cos10o3sin10o（2）原式=sin10o1cos10sin10(oosin10cos10cos500cos40cos1001sin4002cos600cos20sin10

18、0sin8002cos30sin800类型四：三角函数知识的综合应用4sin(30o100)sin20o2cos40cos80.cc0sin80cos10J3.sin80例7.已知函数f（x）2cos（一）（其中60,xR）的最小正周期为10(1)求的值;(2)01f(56516+/)一，f(5一)一，求cos(5617）的值.【思路点拨】（1）由丁=10兀可得3 的值；（2）化简所给的已知条件，求得cosa、sin（3的值，整cos(OC(2)由(1)知f(x)=2cos(-x+p)5651315Ppp6f(5a+)=2cos(5a+)+=2cos(a+)=-2sina=35362534一,cosa=一555p、cr15p、pi,16)=2cos(5b-)+=2cosb=656617815sinb=1717、.4831513)coscossinsin51751785(1)给值求角的本质还