“归纳与演绎并用”的教学原则(数学归纳法第1课时)

1、“归纳与演绎并用”的教学原则(数学归纳法 第1课时)刘耀斌摘要 在进一步阐述归纳与演绎关系的基础上，揭示并分析了中学数学教学中出现的“偏演绎轻归纳”现象，提出了数学教学中必须遵循“归纳与演绎并用”的教学原则.关键词 归纳 演绎 教学原则众所周知，数学的重要性不仅在于数学科学本身，还在于数学可以用来培养人的品质，发展人的思维能力.因此，我们应该把数学教学看成是教育人的整体工程的一部分，把发展人的素质作为核心，这正是义务教育的根本目的.但是，怎样在数学教学中全面地培养人的素质，却存在着认识上的问题，本文在进一步分析归纳与演绎关系的基础上，揭示当前数学教学中仍然存在的偏演绎轻归纳现象的不足，指出数学

2、教育中必须遵循“归纳与演绎并用”的教学原则.1.归纳与演绎的关系数学中最基本的推理方法就是归纳法和演绎法.归纳推理和演绎推理是根据思维过程的不同来加以区分的.归纳是由个别到一般的推理，演绎是由一般到个别的推理.归纳和演绎是两种不同的思维过程，但它们又有着密切的联系，这种联系表现在两个方面.首先，从演绎的前提看，它最初的基础是从原始概念和数学公理开始的，而所谓的原始概念和数学公理都是在实践中归纳出来的，从演绎所要证明的定理、公式、法则来看，这些结论起初也是人们在实践中通过归纳猜想而得到的，而后才是对它们的演绎证明.因此，演绎以归纳为基础，归纳为演绎准备了条件.其次，从归纳的前提看，归纳对于所考察

3、的每一个特殊结论一般都是经过演绎思考的，从归纳的结论来看，它的正确性也需要经过演绎证明才能确认.因此，归纳以演绎为指导，演绎为归纳提供了理论依据.从归纳与演绎的关系我们不难看到，归纳的过程蕴含着数学问题的猜想与发现的过程，归纳法具有一定的创造性.演绎过程是对数学问题的证明、整理的过程，演绎法是扩展数学知识体系，揭示知识的内部联系的主要方法.因此，归纳和演绎在数学理论形成和发展的过程中，都起着十分重要的作用，这也意味着在数学教学中，必须正确处理好归纳与演绎的关系，使学生的归纳推理能力和演绎推理能力都得到培养.2.数学教学中偏演绎轻归纳的现象及其分析在现今的数学教育中，主要倾向还是偏演绎推理能力的

4、训练.反映在教材处理和教学方法里，似乎力求把数学知识组织成演绎的逻辑体系来进行教学，把学生注意力吸引到形式论证的“严密性”上去，对于如何教会学生寻求真理、发现真理的本领不够重视，在一定程度上，忽视了归纳推理在数学活动中的重要性.中学数学教学中，偏演绎轻归纳的现象有三种情况：第一，在概念教学中，重视对概念的解释和运用概念进行解题的教学，而忽视对形成概念的背景材料的归纳与概括过程的教学；第二，在公式、定理教学中，重视对公式、定理证明的教学，而忽视通过放手让学生去实践，从观察、归纳、猜想中得出结论的教学；第三，在解题教学中，重视给出一个完善、简练解答模式的教学，而忽视引导学生共同思考、挣脱困境获得解

5、题方式归纳过程的教学.事实上，科学认识总是归纳与演绎的结合，过分重视演绎推理能力训练的教学，往往掩盖了一个最重要的事实：在数学的实际创造性活动中，观察、归纳和猜想起到了不可或缺的作用.造成当前数学教学重演绎轻归纳的原因是多方面的.首先，受教科书的影响，随着人类文化的发展，数学科学知识的庞大积累，必须经过筛选和提练，把最重要的最精华的题材用演绎法串联起来，才能有效地传给后代.因此，教科书必须要反映演绎推理的要求，知识的条理化、系统化、完备化是非常必要的.但有些教师不善钻研和挖掘教材，而是照本宣科，这是造成偏演绎轻归纳的一个重要原因.其次，受应试教育的影响.应试教育集中表现为片面追求升学率，在教学

6、中则表现为重知识结果的传授，轻知识发生过程的渗透，其结果是，盲目追求教学进度，压缩授课时间，大搞“题海战术”，这种不正常的教学模式是造成偏演绎轻归纳的又一重要原因.第三，受对儿童心理发育认识的影响.心理学研究表明，人在幼儿期就能进行某些归纳思维活动.相比之下，演绎推理能力开始得较晚，特别需要教育与训练，这种情形也容易使人们特别重视对中学生演绎能力的培养，而忽视保护和发展从儿童时期就已萌发出来的归纳能力.在我们分析偏演绎轻归纳的现象时，也不能忽视另一种情况，看重归纳并排斥演绎.认为演绎是从一般到个别的推理，因而运用演绎法得不出什么新的结论来，只有归纳法才能发现新的东西.这个观点也是片面的.因为，

7、认识了一般不等于认识了所有的个别情形，要判定某个复杂的个别结论是否真实可靠，是否为一般结论下的逻辑结果时，需要进行演绎论证，一般结论与个别结论之间的关系有时并非一目了然，要确认个别结论为真理常常需要艰苦的演绎工作.所以学会演绎不仅使思维清晰、严密、而且也是发现和确认真理所不可缺少的.何况，不完全归纳所得出的结论并不总是正确的.3.“归纳与演绎并用”的教学原则偏演绎轻归纳、偏归纳轻演绎的做法都是片面的.恩格斯指出：“正如分析与综合一样，归纳与演绎是必然联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充.”波利亚也十分

8、强调数学知识的双重性，即“归纳与演绎”的双重性.因此，我们提出“归纳与演绎并用”的教学原则.遵循这条原则，就是要正确处理好归纳与演绎的关系，教学中不仅要表现知识的结果和状态，还要突出知识的演化和过程.具体地说，在教材处理上，要求使课堂教学充分显示出具有“双重性”的教学内容，充分体现知识发生过程的“归纳性”材料；在教学方法上，要引导学生像科学家发现真理一样去学习，一方面鼓励学生善于归纳，大胆猜想，另一方面又教会学生善于运用演绎推理的方法，对猜想进行证明和整理.这里必须注意的是，在教学中要注意突出重点，因为归纳与演绎相比，归纳似乎更难一些，因为要找出作为演绎出发点的公理，没有一般的方法.面向21世

9、纪，大众数学将成为历史发展的必然，大众数学意义下的数学课程设计思想将不存在形式训练价值和实用价值谁轻谁重的争论，不存在欧氏几何与推理训练的必然联系，不存在知识是否系统的疑虑，不存在教材的固定体裁，不受演绎体系对数学理论的限制，形成非形式化的、归纳的、开放的体系，“淡化形式，注重实质”将成为现实.因此，研究归纳推理和演绎推理在数学教育中的地位和作用，将有深远的意义.4.案例现以“有理数加法法则”的教学为例，谈谈“归纳与演绎并用”教学原则的应用.“有理数加法法则”的教学，可以有多种不同的设计方案，大体上可分为两类：一类是较快地由教师给出法则，用较多的时间组织学生练习，以求熟练地掌握法则；另一类是注

10、重法则归纳过程的教学，渗透数学思想方法，适当压缩应用法则的练习.第一种方案，教学的重点偏重于让学生通过练习，熟练法则的应用，这是重演绎轻归纳的表现.第二种方案，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则产生的过程，主动地获取知识，学生不仅会用法则，还学懂了法则的来龙去脉，归纳推理和演绎推理能力都得到了培养.按第二种方案，设计如下教学思路：提出问题：我们已经学习了有理数的一些基本知识，从今天起学习有理数的运算.首先研究两个有理数的加法.两个有理数怎样相加呢？给出现实模型：请大家看一个熟悉的实际问题：足球比赛中赢球数与输球数是相反意义的量.若规定赢球为“正”，输球为“负”，不赢不输则为“0”(比如赢3球记为+3，输2球记为2).那么，学校足球队在一场比赛中的胜负可能有哪些情形？师生共同探讨：上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么全场共赢了5球，也就是(+3)+(+2)=+5(共八种情形).归纳有理数加