构造判断矩阵的讲解(层次分析法)

1、 构造判断矩阵构造判断矩阵 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而的结果，则常常不容易被别人接受，因而SantySanty等人提等人提出：一致矩阵法，即：出：一致矩阵法，即：1. 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2. 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因因 素相互比较的困难，以提高准确度。素相互比较的困难，以提高准确度。心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9 9

2、个，即每层个，即每层不要超过不要超过9 9个因素。个因素。判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素相对重要性的比较。判断矩阵的元素a aijij用用SantySanty的的1 19 9标标度方法给出。度方法给出。建立判断矩阵例如：如果例如：如果C为购一台满意的设备，为购一台满意的设备，P1为功能强，为功能强，P2为价格低，为价格低，P3为维修容易。通为维修容易。通过对过对P1，P2和和P3的两两比较后做出的判断矩阵的两两比较后做出的判断矩阵P如下：如下：P1P2P2P3P3P111/323151/21/51

3、功能强价格低易维修衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下关系，则称判断矩阵具有完全一致性。关系，则称判断矩阵具有完全一致性。bij=bik/bjk为了考察为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一致性检验。致性检验。 1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)( 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn

4、对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)准则层准则层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途C1 C2 C3 C4 C5C1C2C3C4C5稍加分析就发现上述成对比较矩阵有问题 层次单排序和一致性检验对判断矩阵求其相对应的特征向量，即对判断矩阵求其相对应的特征向量，即max 其中的分量（其中的分量（， ，n）就是对应于）就是对应于n个要素的相个要素的相对重要度，即权重系数对重要度，即权重系数。计算权重系数的方法和

5、积法方根法（1 1）和积法）和积法将判断矩阵的每一列元素做归一化处理将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：将归一化的判断矩阵按行相加将归一化的判断矩阵按行相加：对向量对向量 T T归一化归一化： ),.,2 , 1,.(/1njibbbnkkjijij ),.,2 , 1.(1nibwnjiji ),.,(21niwwww ),.,2 , 1.(/1niwwwnjjii 所得的所得的),.,(21nwwww 即为所求得特征向量，亦即即为所求得特征向量，亦即判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数）判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数）T（二）一致性检验（二）一致性检验层次单排序和一致性检验1maxn

6、nCIn定义定义 一致性指标一致性指标C.I.C.I.为为：一般情况下，若一般情况下，若C.I. 0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值是可以接受的是可以接受的。显然，随着显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使的影响，使用随机性一致性比值用随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出了为平均随机一致性指标。下表给出了500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。平

7、均随机一致性指标平均随机一致性指标基本概念n 什么是权重（权系数）？注意， X1，X2， ，Xn中有的不是基数变量，而有可能是序数变量如舒适程度或积极性之类。小石块小石块W1小石块小石块Wn小石块小石块W2设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块 在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2， ，xn的线性组合：nnxwxwxwz+L2211 其中 . 则 叫各因素对于目标Z的权重， 叫权向量. nwww,.,211,01niiiwwTwnw2w1w),.,(n利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）b. 对 按行求和得： a. 将A的每一列向量归一化得：c. 将 归一化 ，

8、即为近似特征根（权向量）d. 计算 ，作为最大特征根的近似值。例列向量列向量归一化归一化按行求和按行求和归一化归一化268. 0972. 0760. 1091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 014/16/1412/1621AniiiwAwn1)(1njijiww1niijijijaaw1/w089. 0324. 0587. 0268. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31+Tnniiiiwwwwwww),.,(,/211iwijw得到排序结果：w=

9、(0.588,0.322,0.090)T, max=3.0092. 2. 层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验 对应于判断矩阵最大特征根对应于判断矩阵最大特征根maxmax的特征向量，的特征向量，经归一化经归一化( (使向量中各元素之和等于使向量中各元素之和等于1)1)后记为后记为W W。 W W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对谓一致性检

10、验是指对A A确定不一致的允许范围。确定不一致的允许范围。 定理：定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n定理：定理：n 阶正互反阵阶正互反阵A的最大特征根的最大特征根 n, 当且仅当当且仅当 =n时时A为一致阵为一致阵由于由于 连续的依赖于连续的依赖于aij ，则，则 比比n 大的越多，大的越多，A 的不的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用

11、 -n 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 A 的不一致程度。的不一致程度。1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CICI=0=0，有完全的一致性，有完全的一致性CI接近于接近于0，有满意的一致性，有满意的一致性CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI。方法为。方法为Saaty的结果如下的结果如下随机一致性指标随机一致性指标 RIRI50021,AAAL50021,CICICIL1500

12、5005002150021+nnCICICIRILL则可得一致性指标则可得一致性指标 随机构造随机构造500500个成对比较矩阵个成对比较矩阵1 .0RICICRA一致性检验：利用一致性指标和一致性比率一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.10.1及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。进行检验的过程。 一般，当一致性比率一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过有满意的一致性，通过一致性检验。一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵要重

13、新构造成对比较矩阵A A，对，对 aij 加以调整。加以调整。时，认为时，认为A定义一致性比率定义一致性比率 ：RICICR “选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 =5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一

14、致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致通过一致性检验性检验层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设设 层层 对上层对上层( ( 层层) )中因素中因素 的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为，随机一致性指为 ，则层次总排序的一致性比率为：则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,21LA), 2 , 1(mjAjLjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR+LL221122111 . 0CR当当 时，认为层次总排序通过一致性检验。层次时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那

15、些一致性比总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。率高的判断矩阵的元素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）的权向量为层（目标）的权向量为(2)(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)Tw同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量12/15/1212/15211B方案层对方案层对C1(景色景色)的的成对比较阵成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对方案

16、层对C2(费用费用)的的成对比较阵成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 =3.005 2 =3.002 5 =3.0 权向量权向量 w1(3) w2(3) w5(3) =(0.595，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682) =(0.166，0.166，0.668)选择旅游地选择旅游地第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果 w w( (2 2) ) )3(kwkkCI0.2630.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.4750.47530.1420.4290.4290.0

17、550.0553.0090.1750.1930.6330.0900.09030.6680.1660.1660.1100.110组合权向量组合权向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下层次分析法的基本步骤归纳如下3.3.计算单排序权向

18、量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验2.2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和从第二层开始用成对比较矩阵和1 19 9尺度。尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.