(完整版)极值点偏移问题

1、.极值点偏移问题总结一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。 2、极值点偏移的判定定理判定定理1 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0若，则，即函数在区间上极大（小）值点左（右）偏。 证明：（1）因为可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又，有由于，故，所

2、以，即函数极大（小）值点右（左）偏。判定定理2 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极大（小）值点左（右）偏。证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又，有，且，又，故，所以，即函数极大（小）值点右（左）偏.结论（2）证明略。二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数 （3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定的大小关系。2.抽化模型答题模板：

3、若已知函数满足，为的极值点，求证： （1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在 上单调递增。（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成（3）通过求导谈论的单调性，判断处在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可以得出，从而得到：时，（4）不妨设，通过的单调性，的大小关系得出结论；接上述情况：由于时，且，故 ，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证；（5）若要证明还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；此处只需继续证明：因为故，由于在上单调递减，故说明：（1）此类试题由于思路固定，所以通常情

4、况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明或的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 或者的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。三、 例题(一) 不含参数的的极值点偏移问题例1：（2010 天津理21）已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若，且，求证： 解答：【法一】（1），；增 减 极大值（2） ， ； 减；增时， 即 ，不妨设，由（1）知， ， 在上增， ，即【法二】欲证，即证由法一知，故又因为 在上是单调递减的，只需证,又因为，故也即证，构造函数， 由在上单调递增，故原不等式成立【法三

5、】由得，化简得 不妨设，由法一知，令，则，代入得：，反解出：，则，故要证即证，又因为，等价于证明： 构造函数，则，故上单调递增，从而上单调递增，【法四】由得，化简得 ，两边同时取以e为底的对数：得，即，从而，令，则欲证等价于证明 ，构造，则 ，又令 则，由于对恒成立，故，在上单调递增，对恒成立，在上单调递增，由洛必达法则知： 即，即证式成立，也即原不等式成立例2：（2013 湖南 文21），（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，(二) 含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问

6、题去解决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例1已知函数有两个不同的零点，求证：例2. 已知函数，为常数，若函数有两个不同的零点，求证：例3：已知是函数的两个零点，且（1）求证：（2）例4：已知函数，若存在（），使 求证： 变式训练：1.设函数的图像与轴交于两点，（1）证明： （2）求证： 2.设函数，其图像在点处切线的斜率为，当时，令，设（）是方程的两个根，是的等差中项，求证：3.已知函数（1）若，求函数在上的零点个数；（2）若有两零点（），求证： 4.已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：时， (三) 含对数式的极值点偏移问题根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。对数平均不等式的介绍与证明两个整数和的对数平均定义： ，对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： 例1：已知函数 （1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图像与轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为，证明： (四) 含指数式的极值点偏移问题例1（全国1卷 2016 理21）已知函数有两个零点，证明