仿真工具教程_02MATLAB符号计算

1、 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院第第2 2章章 MATLABMATLAB符号计算符号计算2.1 2.1 符号对象和符号表达式符号对象和符号表达式2.2 2.2 符号数字及表达式的操作符号数字及表达式的操作2.3 2.3 符号微积分符号微积分2.4 2.4 符号微分方程的求解符号微分方程的求解2.5 2.5 符号变换和符号卷积符号变换和符号卷积2.6 2.6 符号代数方程的求解符号代数方程的求解 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院什么是符号计算？什么是符号计算？ 符号计算是指：符号计算是指： 解算数学表达式、

2、方程解算数学表达式、方程不是在不是在离离散化散化的数值点上进行的数值点上进行，而是凭借，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。推理和演绎，获得解析结果。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院 符号计算的特点：符号计算的特点：1）符号表达式计算前必须）符号表达式计算前必须先定义符号变量先定义符号变量。2）符号计算是）符号计算是精确精确计算。计算。3）符号计算的计算）符号计算的计算速度较慢速度较慢。4）符号计算的运算符和函数与）符号计算的运算符和函数与数值计算数值计算中中的运算符和函数几乎完全相同的运算符和

3、函数几乎完全相同 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.1 符号对象和符号表达式符号对象和符号表达式 符号对象的创建符号对象的创建 （1）sym(变量变量,参数参数) 功能：把变量定义为符号对象。功能：把变量定义为符号对象。参数有三种选择参数有三种选择： positive 表示为表示为“正正”符号变量，符号变量，real 表示为表示为“实实”符号变量，符号变量，unreal 表示为表示为“非实非实”符号变量。符号变量。例如：例如： S=sym(88) sa=sym(pi+sqrt(5) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电

4、子工程学院（2）syms函数函数 格式：格式：syms arg1 arg2 参数参数 功能：创建多个符号变量。功能：创建多个符号变量。 例如：例如： syms r_l real syms a b c d positive MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院一、符号数字与数值数字一、符号数字与数值数字【例【例2.1-1】符号（类）数字与数值（类）数符号（类）数字与数值（类）数字之间的差异。字之间的差异。a=pi+sqrt(5)sa=sym(pi+sqrt(5)Ca=class(a)Csa=class(sa)vpa(sa-a) 结果结果：a =5.3777

5、sa =pi+sqrt(5)Ca =doubleCsa =symans =.138223758410852e-16 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院二、符号变量二、符号变量 1、符号表达式允许使用自由变量。确定自、符号表达式允许使用自由变量。确定自 由变量的原则：由变量的原则：1）小写字母）小写字母i和和j不能作为自由变量。不能作为自由变量。2）符号表达式中如果有多个字符变量，则）符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：按照以下顺序选择自由变量： 首先选择首先选择x作为自由变量；如果没有作为自由变量；如果没有x，则，则选择在字母顺

6、序中最接近选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如的字符变量；如果与果与x相同距离，则在相同距离，则在x后面的优先。后面的优先。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院【例【例2.1-2】用符号计算研究方程用符号计算研究方程 的解。的解。（1）不指定变量（默认）不指定变量（默认）syms u v w zEq=u*z2+v*z+w;result_1=solve(Eq)findsym(Eq,1) 2）指定变量为）指定变量为Zresult_2=solve(Eq,z) 02wvzuzresult_1 =-u*z2-v*zans =w result_2 = 1/2/u

7、*(-v+(v2-4*u*w)(1/2) 1/2/u*(-v-(v2-4*u*w)(1/2) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2、确定自由变量的指令、确定自由变量的指令findsym (11a版为版为symvar)的格式为：的格式为：findsym(EXPR,n)功能：功能：确定确定EXPR中的自由变量。中的自由变量。其中EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序给出EXPR中所有的符号变量。注意：注意：(11版指令换成：版指令换成：symvar) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学

8、院通信与电子工程学院【例】findsym确定自由变量是对整个矩阵进行的。 syms a b t u v x y A=a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v findsym(A,1) A = a+b*x, sin(t)+u x*exp(-t), log(y)+vans =x MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.1.1符号计算中的算符符号计算中的算符 与数字计算的符号相同2.1.2符号计算中的函数指令符号计算中的函数指令 见表2.1-1，P45注意与数值计算的函数和指令的异同 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子

9、工程学院通信与电子工程学院2.1.3 符号对象的识别符号对象的识别例2.1-5 数据对象及其识别指令的使用。 （1） clear a=1;b=2;c=3;d=4; Mn=a,b;c,d ; Mc=a,b;c,d; Ms=sym(Mc); （2）SizeMn=size(Mn)SizeMc=size(Mc)SizeMs=size(Ms) （3）CMn=class(Mn)CMc=class(Mc)CMs=class(Ms) SizeMn = 2 2SizeMc =1 9SizeMs =2 2 CMn =doubleCMc =charCMs =sym MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子

10、工程学院通信与电子工程学院2.2符号数字及表达式的操作符号数字及表达式的操作2.2.1符号数字的任意精度计算符号数字的任意精度计算1、digits(n)功能：设定有效位数函数。其中功能：设定有效位数函数。其中n为所为所期望的有效位数，默认值为期望的有效位数，默认值为32位。位。2、vpa(s,n)功能：将功能：将s表示为表示为n位有效位数的符号位有效位数的符号对象。对象。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院例：应用例：应用digits和和vpa函数设置运算精度。函数设置运算精度。 a=sym(2*sqrt(5)+pi) %创建符号对象创建符号对象 di

11、gits %显示默认的有效位数显示默认的有效位数 vpa(a) %用默认的位数计算并显示用默认的位数计算并显示 vpa(a,20) %按指定的精度计算并显示按指定的精度计算并显示 digits(15) %改变默认的有效位数改变默认的有效位数 vpa(a) %按按digits指定的精度计算并显示指定的精度计算并显示 结果：a =2*sqrt(5)+pi Digits = 32 ans =7.6137286085893726312809907207421 ans =7.6137286085893726313 ans =7.61372860858937 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与

12、电子工程学院通信与电子工程学院2.2.2符号表达式的基本操作符号表达式的基本操作指令：指令：simple(EXPR)【例2.2-2】简化。syms xf=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3);g1=simple(f)g2=simple(g1) g1 =(2*x+1)/xg2 =2+1/x MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.2.3表达式中的置换操作表达式中的置换操作1、通用置换指令、通用置换指令subs (S)subs (S)功能：用MATLAB工作空间中的变量替换S符号表达式中的所有变量。 subs (S,NEW)subs (S,NEW)

13、功能：用变量NEW替换符号表达式S中的自由变量。subs (S,OLD,NEW)subs (S,OLD,NEW)功能：用变量NEW替换符号表达式S中的变量OLD。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院【例【例2.2-4】演示】演示subs的置换规则。的置换规则。 （1）syms a x f=a*sin(x)+5 （2）f1=subs(f,sin(x),sym(y) class(f1) （3）f2=subs(f,a,x,2,sym(pi/3) class(f2) （4）f3=subs(f,a,x,2,pi/3) class(f3) （5）数组置换数组置换

14、f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) class(f4) （6）f5=subs(f,a,x,0:6,0:pi/6:pi) class(f5) f1 =a*y+5ans =symf2=3(1/2)+5ans =sym f3 =6.7321 ans =doublef4 =5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000ans =double MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.3符号微积分符号微积分2.3.1极限和导数的符号计算极限和导数的符号计算1、求函数极限的函数：、求函数极

15、限的函数：limit limit(f,x,a) 功能：求符号函数功能：求符号函数f（x）的极限值。）的极限值。 即计算当自变量即计算当自变量x趋近于常数趋近于常数a时，时，f（x）函数的极）函数的极 限值。限值。 limit(f,x,a,right) 功能：求符号函数功能：求符号函数f的极限值。的极限值。 right表示变量表示变量x从右边趋近于从右边趋近于a。 limit(f,x,a,left) 功能：求符号函数功能：求符号函数f的极限值。的极限值。 left表示变量表示变量x从左边趋近于从左边趋近于a。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院【例例2.

16、3-1】试求】试求 syms x k Lim_f=limit(1-1/x)(k*x),x,inf) Lim_f =exp(-k)1lim (1)()xk xx MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2、求符号表达式的微分的函数：、求符号表达式的微分的函数：diffdiff(f) 功能：求功能：求f对自由变量的一阶微分对自由变量的一阶微分 diff(f,x) 功能：求功能：求f对符号变量对符号变量x的一阶微分的一阶微分 diff(f,n) 功能：求功能：求f对自由变量的对自由变量的n阶微分阶微分 diff(f,x,n) 功能：求功能：求f对符号变量对符号变量

17、t的的n阶微分阶微分 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院syms a t x;f=a,t3;t*cos(x), log(x);df=diff(f)dfdt2=diff(f,t,2)dfdxdt=diff(diff(f,x),t) df = 0, 0 -t*sin(x), 1/xdfdt2 = 0, 6*t 0, 0dfdxdt = 0, 0 -sin(x), 0 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院clearsyms xg=sym(cos(x+sin(y(x)=sin(y(x)dgdx=diff(g,x)%结果为

18、：结果为：dgdx =-sin(x+sin(y(x)*(1+cos(y(x)*diff(y(x),x) = cos(y(x)*diff(y(x),x)dgdx1=subs(dgdx,diff(y(x),x),dydx)% diff(y(x),x) 不能作为变量名dydx=solve(dgdx1,dydx)%关于关于dydx求解，使求解，使dy/dx通过通过x,y表示表示 dydx =-sin(x+sin(y(x)/cos(y(x)/(sin(x+sin(y(x)+1) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院3、r=taylor(f,n,x,a) 功能：把f

19、(x)在x=a处展开成n次幂级数,以以上上x缺少时由缺少时由findsys自动确认，自动确认，n缺少时默缺少时默认为认为1syms xr=taylor(x*exp(x),9,x,0)% %忽略忽略9 9阶及阶及9 9阶以上小量的展开阶以上小量的展开 求求f(x)=sin(x)在在x=0处处的泰勒级数展开？的泰勒级数展开？ MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.3.1序列序列/级数的符号求和级数的符号求和 级数求和运算函数级数求和运算函数：symsum symsum(f,v,a,b) 功能：计算符号表达式功能：计算符号表达式f的级数和。的级数和。 其中其

20、中f为通项式，为通项式，v自变量，自变量，v省略则默省略则默认为对自由变量求和；认为对自由变量求和；a,b为参数为参数v的的取值范围，缺少时求和区间默认为取值范围，缺少时求和区间默认为0v-1 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院syms k t;f1=t k3;f2=1/(2*k-1)2,(-1)k/k;s1=simple(symsum(f1)s2=simple(symsum(f2,1,inf) s1 = 1/2*t*(t-1), k3*ts2 = 1/8*pi2, -log(2) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工

21、程学院2.3.2符号积分符号积分符号积分函数符号积分函数：intint（f，v，a，b）功能功能：以：以v v为自变量，以为自变量，以a a、b b分别表示定积分的下分别表示定积分的下限和上限，对被积函数的符号表达式限和上限，对被积函数的符号表达式f f求定积分。求定积分。int（f，v）功能：以功能：以v为自变量，对被积函数的符号表达式为自变量，对被积函数的符号表达式f求求不定积分。不定积分。注意：注意：没有指定积分变量没有指定积分变量v时，按时，按findsym函数确函数确定的默认变量对被积函数的符号表达式定的默认变量对被积函数的符号表达式f求积分求积分. int函数的嵌套使用可实现二重积

22、分的计算。函数的嵌套使用可实现二重积分的计算。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院clearsyms xf=sqrt(1+x)/x)/xs=int(f,x)s=simple(simple(s) f =(1+x)/x)(1/2)/xs =log(1/2+x+(1+x)*x)(1/2)-2*(1+x)*x)(1/2)/x MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院syms a b x;f=a*x,b*x2;1/x,sin(x);disp(The integral of f is);pretty(int(f) %一行显示变两

23、行显示一行显示变两行显示 The integral of f is 2 3 1/2 a x 1/3 b x log(x) -cos(x) 直接执行直接执行int(f)时显示：时显示： 1/2*a*x2, 1/3*b*x3 log(x), -cos(x) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院syms x y zF2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2)VF2=vpa(F2)F2 =14912/4641*2(1/4)-6072064/348075*2(1/2)+64/225*2

24、(3/4)+1610027357/6563700VF2 =224.92153573331143159790710032805 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.4 微分方程的符号解法微分方程的符号解法2.4.2 求微分方程符号解的一般指令求微分方程符号解的一般指令n 符号微分方程的求解函数符号微分方程的求解函数：dsolvedsolve(eqn1,eqn2,.,eqn,condition1,condition2, ,conditionN,v) 功能：功能：求微分方程组求微分方程组eqn1,eqn2, .，eqn的通解。的通解。初值条件为初值条件为c

25、ondition1, condition2, conditionN下下,变量为变量为v (缺少时默认为缺少时默认为t)。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院dsolve函数也可求解二阶微分方程。函数也可求解二阶微分方程。clearS=dsolve(Dx=y,Dy=-x)disp(解解,blanks(12),x,blanks(21),y)disp(S.x,S.y) S = x: 1x1 sym y: 1x1 sym解 x y -C1*cos(t)+C2*sin(t), C1*sin(t)+C2*cos(t) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与

26、电子工程学院通信与电子工程学院（1）指令）指令y=dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,y(1)=0,y(5)=0,x) y =31/468*x4-1/3*x3+125/468 （2）图型化）图型化ezplot(y,-1,6)%画画y函数的图像，范围函数的图像，范围-16hold onplot(1,5,0,0,.r,MarkerSize,20)%在（在（1，0）和（）和（5，0）位置画出红点）位置画出红点text(1,1,y(1)=0)text(4,1,y(5)=0)title(x*D2y-3*Dy=x2, y(1)=0,y(5)=0)hold off MATLAB语言语言 电子教案电子教

27、案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.5符号变换和符号卷积符号变换和符号卷积2.5.1Fourier变换及其反变换变换及其反变换 正变换正变换fourierfourier Ffourier(f,t,w) 功能：功能：返回函数f(t)的fourier变换F。其中返回结 果F是符号变量w的函数，当参数w省略，默认返 回结果为w的函数；当参数t省略，默认自由变量为x。 傅里叶反变换函数：傅里叶反变换函数：ifourier f=ifourier(F,w,t) 功能：功能：返回函数F（w）的fourier反变换f(t)。参数 含义同fourier函数。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信

28、与电子工程学院通信与电子工程学院（1）傅里叶变换）傅里叶变换syms t wut=heaviside(t); %阶跃函数阶跃函数UT=fourier(ut,t,w) （2）反变换验算）反变换验算Ut=ifourier(UT,w,t) UT =pi*dirac(w)-i/wUt =heaviside(t) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院（1）求傅里叶变换）求傅里叶变换syms A t wsyms tao positiveyt=heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2);Yw=fourier(A*yt,t,w) （2）反

29、变换验算）反变换验算Yt=ifourier(Yw,w,t) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院（3）图形展示图形展示设设tao=3,A=1yt3=subs(yt,tao,3)Yw3=subs(Yw,A,tao,1,3)subplot(2,1,1)Ht=ezplot(yt3,-3,3);%图形句柄图形句柄Htset(Ht,Color,r,LineWidth,3)subplot(2,1,2),ezplot(Yw3) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.5.2 Laplace变换及其反变换变换及其反变换 Lapla

30、ceLaplace和和ilaplaceilaplace F=laplace(f,t,s) 功能：功能： 求函数f（t）的Laplace变换F(s)。 其中返回结果F为s的函数 f=ilaplace(F,s,t) 功能：功能： 求函数F（s）的iLaplace变换f（t）。参数的含义同上laplace函数。 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院syms t s ;syms a b positiveDt=dirac(t-a);Ut=heaviside(t-b);Mt=Dt,Ut;exp(-a*t)*sin(b*t),t2*exp(-t);MS=laplace

31、(Mt,t,s) MS = exp(-s*a), exp(-s*b)/s 1/b/(s+a)2/b2+1), 2/(s+1)3 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.5.3 Z变换及其反变换变换及其反变换ztrans和和iztransFZztrans(fn,n, z) 功能：求时域序列fn的Z变换FZ。 FZ以符号变量z为自变量 fniztrans(FZ,z,n) 功能：求Z域函数FZ的逆变换函数fn fn为时域离散序列，变量为n MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院【例2.5-5】一组Z变换、反变换算例（1）求

32、）求6(1-0.5n)序列的序列的Z变换变换clearsyms n z cleargn=6*(1-(1/2)n)G=simple(ztrans(gn,n,z);pretty(G)(2)clearsyms n z cleardelta=sym(kroneckerDelta(n, 0);%定义单位脉冲序列定义单位脉冲序列KD=ztrans(delta,n,z)inv_KD=iztrans(KD) )(ngn =6 - 6*(1/2)n 6 z - 2 2 z - 3 z + 1 KD =1inv_KD =kroneckerDelta(n, 0) 冲激序列的冲激序列的Z变换及反变换变换及反变换 MA

33、TLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.5.4 符号卷积符号卷积syms T t taout=exp(-t);ht=exp(-t/T)/T;uh_tao=subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao);yt=simple(simple(int(uh_tao,tao,0,t) yt =-(1/exp(t) - 1/exp(t/T)/(T - 1) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院【例2.5-8】采用Laplace变换和反变换求上例的输出响应。syms syt=ilaplace(laplace(ut,t

34、,s)*laplace(ht,t,s),s,t);yt=simple(yt) syms taot=sym(t,positive);ut=heaviside(t)-heaviside(t-1);ht=t*exp(-t);yt=int(subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao),tao,0,t) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.6 符号矩阵分析和代数方程解符号矩阵分析和代数方程解2.6.1符号矩阵分析符号矩阵分析常用指令：常用指令：Det(A)： 求矩阵A的行列式Diag(A): 取对角元素构成向量V,D=eig(A): 特征值分

35、解,使AV=VDexpm(A): 矩阵指数eAinv(A): A的逆ploy(A): 矩阵的特征多项式rank(A): 矩阵的秩 MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院syms a11 a12 a21 a22A=a11,a12;a21,a22DA=det(A)IA=inv(A)EA=eig(A) A = a11, a12 a21, a22 DA = a11*a22-a12*a21 IA = a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21) -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a11*a22-a

36、12*a21) EA = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) MATLAB语言语言 电子教案电子教案 通信与电子工程学院通信与电子工程学院2.6 线性方程组的符号解线性方程组的符号解一般代数方程组的解一般代数方程组的解 Solve指令指令S=solve(eq1,eq2 eqn,v1,v2 vn)syms d n p qeq1=d+n/2+p/2-q;eq2=n+d+q-p-10; eq3=q+d-n/4-p;S=solve(eq1,eq2,eq3,d,n,p,q);disp( S.d, S.n, S.p, S.q)disp(S.d,S.n,S.p,S.q) S.d S.n S.p S.q d, 8, 4*d+4, 3*d+6 MATLAB语言语言 电子教案电