复杂潮流计算机算法电力系统有功调频

1、12 1、节点导纳矩阵节点导纳矩阵，节点导纳矩阵节点导纳矩阵各元素的各元素的物理意义物理意义，如何由节点导纳矩阵如何由节点导纳矩阵形成形成节点阻抗矩阵，节点阻抗矩阵，节点阻抗矩节点阻抗矩阵阵各元素的各元素的物理意义物理意义，导纳矩阵与阻抗矩阵的，导纳矩阵与阻抗矩阵的对称性对称性和稀疏性和稀疏性；n2、网络、网络节点分类节点分类，数学模型中已知条件和待求量；，数学模型中已知条件和待求量；n3、牛顿拉夫逊牛顿拉夫逊迭代法迭代法原理原理，牛顿拉夫逊迭代法，牛顿拉夫逊迭代法直角坐标形式直角坐标形式的的功率误差方程功率误差方程和和电压误差方程电压误差方程，牛顿，牛顿拉夫逊迭代法拉夫逊迭代法极坐标形式极坐

2、标形式的的雅可比矩阵雅可比矩阵与与修正方程修正方程，两，两种修正方程的不同点，牛顿拉夫逊迭代法两种坐标系种修正方程的不同点，牛顿拉夫逊迭代法两种坐标系潮流计算潮流计算求解步骤求解步骤；3 5、PQ分解法分解法潮流计算，潮流计算， PQ分解法与牛顿拉夫分解法与牛顿拉夫逊的逊的关系关系，由牛顿拉夫逊法，由牛顿拉夫逊法导出导出PQ分解法用到了几分解法用到了几个近似条件，各个近似条件，各近似条件的物理意义近似条件的物理意义， PQ分解法的分解法的修正方程式修正方程式， PQ分解法与牛顿拉夫逊的迭代次数分解法与牛顿拉夫逊的迭代次数与解题速度，与解题速度， PQ分解法分解法潮流计算分解法分解法潮流计算求解

3、步骤求解步骤。4、高斯赛德尔法高斯赛德尔法潮流潮流原理原理，非线性节点电压方程的，非线性节点电压方程的高斯赛德尔迭代形式，高斯赛德尔迭代形式，PV节点向节点向PQ节点转化的节点转化的原因原因和和方法方法；4 电力网络方程指将网络的有关参数和变量及其电力网络方程指将网络的有关参数和变量及其相互关系归纳起来组成的，反映网络特性的数相互关系归纳起来组成的，反映网络特性的数学方程式组。如学方程式组。如节点电压方程节点电压方程、回路电流方程回路电流方程，割集电压方程。相应有：割集电压方程。相应有： （1）节点导纳矩阵）节点导纳矩阵 （2）节点阻抗矩阵）节点阻抗矩阵 （3）回路阻抗矩阵）回路阻抗矩阵5网络

4、元件：恒定参数网络元件：恒定参数发电机：电压源或电流源发电机：电压源或电流源负荷：恒定阻抗负荷：恒定阻抗电力网电力网代数方程代数方程一、节点电压方程一、节点电压方程6一、节点电压方程一、节点电压方程注意：注意：零电位是零电位是不编号的不编号的负荷用阻抗表示负荷用阻抗表示以母线电压作为待求量以母线电压作为待求量1234电力系统结线图电力系统结线图1234E1E4电力系统等值网络电力系统等值网络7电压源变为电流源电压源变为电流源以零电位作以零电位作为参考，根为参考，根据基尔霍夫据基尔霍夫电流定律电流定律12112110)(IUUyUy 0)()()(422432232201212 UUyUUyUy

5、UUy0)()(33043342323 UyUUyUUy444034342424)()(IUyUUyUUy 一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程124I1y243I4y10y12y20y23y34y40y3084444343242434333232424323222121121211100 IUYUYUYUYUYUYUYUYUYUYIUYUY 一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程934244044342330331224232022121011yyyYyyyYyyyyYyyY 其中其中344334244224233223122112yYYyY

6、YyYYyYY 一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程10nnnnnnnnnnIUYUYUYIUYUYUYIUYUYUY 221122222121112121111、节点导纳方程、节点导纳方程n 个独立节点的网络，个独立节点的网络，n 个节点方程个节点方程一、节点电压方程一、节点电压方程11 nnnnnnnnIIIUUUYYYYYYYYY2121212222111211n 个独立节点的网络，个独立节点的网络，n 个节点方程个节点方程一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程12IYU n 个独立节点的网络，个独立节点的网络，n 个节点方程个节点方程Y

7、 节点导纳矩阵节点导纳矩阵Yii 节点节点i的自导纳的自导纳Yij 节点节点i、j间的互导纳间的互导纳一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程13jijiiiijUiiiiyyYUIYjiif j0), 0( Y Y 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义 自导纳自导纳Yii：当网络中除节点当网络中除节点i以外所以外所有节点都接地时，从节点有节点都接地时，从节点i注注入网络的电流同施加于节点入网络的电流同施加于节点i的电压之比的电压之比Yii：节点节点i以外的所有节点都以外的所有节点都接地时节点接地时节点i对地的总导纳对地的总导纳一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳

8、方程、节点导纳方程14ijjiijjijiyYYUIYjiif Y Y 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义 互导纳互导纳Yji：当网络中除节点当网络中除节点j以外所有以外所有节点都接地时，从节点节点都接地时，从节点i注入网注入网络的电流同施加于节点络的电流同施加于节点j的电压的电压之比之比节点节点i的电流实际上是自网络流的电流实际上是自网络流出并进入地中的电流，所以出并进入地中的电流，所以Yji应应等于节点等于节点j、i之间导纳的负值之间导纳的负值一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程15一、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y3I4y10

9、y12y20y23y34y40y30I1124节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定16一、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y)0(4444321 UUUUIY0443442441444yUyUyUyUI 4034241444yyyyY 1234y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定17一、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y)0(4114321 UUUUIY01 I014 Y1234y10y12y

10、20y23y24y34y401I3I2I4I4U1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定18一、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y)0(4224321 UUUUIY2442yUI 2424yY 1234y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定19一、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y)0(4334321 UUUUIY3443yUI 3434yY 1234y10y12y20y23y24

11、y34y401I3I2I4I4U1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定20节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 的特点的特点1. 直观易得直观易得2. 稀疏矩阵稀疏矩阵3. 对称矩阵对称矩阵一、节点电压方程一、节点电压方程21二、二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改不同的运行状态，不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、（如不同结线方式下的运行状况、变压器的投切或变比的调整等）变压器的投切或变比的调整等） 改变一个支路的参数或它的投切只影响该支改变一个支路的参数或它的投切只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因此路两端节点的

12、自导纳和它们之间的互导纳，因此仅需对原有的矩阵作某些修改。仅需对原有的矩阵作某些修改。22二、二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改电力网电力网ijijijYYY )0(不同的运行状态，不同的运行状态，（如不同（如不同结线方式下的运行状况、变压器结线方式下的运行状况、变压器的投切或变比的调整等）的投切或变比的调整等）YYY )0(23二、二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改 nnnjninnjnjjjijjinijiiiinjinjiYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY21212122222211111211) 0(电力网电力网24电力网电力网yi

13、kikY 增加一行一列（增加一行一列（n1）（）（n1）iiiiiiikiiikkiikikkkYYYyYyYYyY )0(（1）从原网络引出一条支路增加一个节点）从原网络引出一条支路增加一个节点二、二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改25Y 阶次不变阶次不变ijjiijijjjiiyYYyYY 电力网电力网yijij三、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改（2）在原有网络节点）在原有网络节点i、j之间增加一条支路之间增加一条支路ijijjiijiiiiiiYYYYYYY )0()0(26Y 阶次不变阶次不变ijjiijijjjiiyYYyYY yij电力网电力

14、网ij（3）在原有网络的节点）在原有网络的节点i、j之间切除一条支路之间切除一条支路二、二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改ijijjiijiiiijjiiYYYYYYYY )0()0(27二、二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改电力网电力网ij-yijyij（4）在原有网络的节点）在原有网络的节点i、j之间的导纳由之间的导纳由yij改变为改变为yijijijjjijijjiijijijiiyyYyyYYyyY ijijjiijiiiijjiiYYYYYYYY )0()0(28二、二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改（5）在原有网络的节点）在原有

15、网络的节点i、j之间变压器的变比由之间变压器的变比由k*改变为改变为k*ZZijk*:1ZTZZijyT/k*2*1kkyT *1kkyT 29二、二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改（5）在原有网络的节点）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由之间变压器的变比由k*改变为改变为k*TTTTTiiykkkkykykkykyY)11()1()1(2*2*2*2* 0)1()1(* kkykykkykyYTTTTjj*kykyYYTTijij 304 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方

16、程GG12111GGGjQPS 222GGGjQPS 111LLLjQPS 222LLLjQPS 1U2U等值电源功率等值电源功率等值负荷功率等值负荷功率（a）简单系统）简单系统314 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程GG12111GGGjQPS 222GGGjQPS 111LLLjQPS 222LLLjQPS 1U2Uy10y20y12（b）简单系统的等值网络）简单系统的等值网络324 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分

17、类1、功率方程、功率方程12111LGSSS 1U2Uy10y20y12111LGIII 222LGIII 222LGSSS )90(122012102211sjseyyyyyYY )90(121212mjmeyyYY （c）注入功率和注入电流）注入功率和注入电流334 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程12111LGSSS 1U2Uy10y20y12111LGIII 222LGIII 222LGSSS 1*1*1212111USIUYUY 111 jeUU 222 jeUU （c）注入功率和注入

18、电流）注入功率和注入电流2*2*2222121USIUYUY 344 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程2*2222*1212*1*2121*1111*UUYUUYSUUYUUYS 22*22*21*21*212*12*11*11*1UUYUUYSUUYUUYS 22)90()(12)90(22)(12)90(21)90(112121UeyeUUeyjQPeUUeyUeyjQPsmmsjsjjmjjmjs354 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功

19、率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程 mmssmmssLGUUyUyUUyUyPPP )(sinsin)90cos()90cos(212121212121111 mmssmmssLGUUyUyUUyUyQQQ )(coscos)90sin()90sin(121222121222111 mmssmmssLGUUyUyUUyUyPPP )(sinsin)90cos()90cos(121222121222222 mmssmmssLGUUyUyUUyUyQQQ )(coscos)90sin()90sin(212121212121111364 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法

20、一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程)cos(cos)sin(sin211221111211221111mmssLGmmssLGUUyUyQQQUUyUyPPP )cos(cos)sin(sin121222222121222222mmssLGmmssLGUUyUyQQQUUyUyPPP mmssLLGGmmssLLGGUUyUUyQQQQUUyUUyPPPP cos)cos(2)(cossin)cos(2)(sin211222212121211222212121 374 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分

21、类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程mmssmmssUUyUUyQUUyUUyP cos)cos(2)(cos)sin)cos(2)(sin2112222121122221 决定功率大小的是相对相位角或相对决定功率大小的是相对相位角或相对功率角功率角)(21 有功、无功功率损耗为：有功、无功功率损耗为：384 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量的分类除网络参数外，共有十二个变量除网络参数外，共有十二个变量 （1）负荷消耗的有功、无功功率）负荷消耗的有功、无功功率PL1、PL2、QL

22、1、QL2。取决于用户，不可控变量或扰动变量，用列向量取决于用户，不可控变量或扰动变量，用列向量d表示。表示。 （2）电源发出的有功、无功功率）电源发出的有功、无功功率PG1、PG2、QG1、QG2。控制变量，用列向量控制变量，用列向量表示。表示。 （3）母线或节点电压的大小和相位角）母线或节点电压的大小和相位角U1、U2、1、2。状态变量或受控变量，状态变量或受控变量，UQ， P，用列向量，用列向量x表示。表示。394 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量的分类对于对于n个节点，变量数增为个节点，变

23、量数增为6n，其中，其中d、x各各2n个。个。 将上述变量进行分类后，只要已知或给定将上述变量进行分类后，只要已知或给定扰动变量和控制变量，就可运用功率方程式解扰动变量和控制变量，就可运用功率方程式解出状态变量出状态变量U，。 但是当但是当1 、2 变化同样大小时，功变化同样大小时，功率的数值不变，从而不可能求出绝对相率的数值不变，从而不可能求出绝对相位角，相应的功率损耗也不能确定。位角，相应的功率损耗也不能确定。?404 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量的分类 为克服上述困难，在一个具有为克服上

24、述困难，在一个具有n个节点的系统中，个节点的系统中，对变量的给定稍作调整：对变量的给定稍作调整： （1）只给定（）只给定（n-1)对控制变量对控制变量PGi、QGi，余下，余下一对控制变量一对控制变量PGs、QGs待定，以使系统功率保持平待定，以使系统功率保持平衡；衡； （2）给定一对）给定一对s、Us，其中；，其中； PLi、QLi均为已知。均为已知。求解（求解（n-1)对状态变量及一对待定的控制变量对状态变量及一对待定的控制变量 00 . 1sssUU 414 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量

25、的分类得出的解应满足如下约束条件：得出的解应满足如下约束条件：控控制制变变量量maxminGiGiGiPPP maxminGiGiGiQQQ 取决于一系列的技术经济因素取决于一系列的技术经济因素00 GiGiQP、无电源的节点：无电源的节点：424 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量的分类得出的解应满足如下约束条件：得出的解应满足如下约束条件：节点状节点状态变量态变量保证系统的稳定性保证系统的稳定性良好的电压质量良好的电压质量maxmaxminjijiiiiUUU 扰动变量扰动变量不可控不可控、Li

26、LiQP434 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类3、节点的分类、节点的分类为为定定值值，以以保保证证即即电电源源可可调调节节、而而是是、有有些些节节点点iGiiGiiGiiiGiGiUQQUPUQP 444 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类3、节点的分类、节点的分类 (1) PQ节点：节点：PLi、QLi；PGi、QGi，即相应的，即相应的Pi、Qi给定，待求给定，待求Ui、i。如按给定有功、无功发电的发电厂。如按给定有功、无功发电的发电厂

27、母线和没有其他电源的变电所母线母线和没有其他电源的变电所母线 (2) PU节点：节点： PLi、 PGi ，从而，从而Pi给定；给定； QLi 、Ui给定。给定。即相应的即相应的Pi、Ui给定，待求给定，待求QGi、i。如有一定无功储备。如有一定无功储备电源变电所母线（很少，甚至没有）。电源变电所母线（很少，甚至没有）。 (3) 平衡平衡节点：节点： 一般只有一个。设一般只有一个。设s节点为平衡节点，节点为平衡节点，则：则： PLs、QLs ；Us 、 s 给定，给定， Us 1.0， s 0。待求。待求PGs、QGs。454 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭

28、代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）333323213123232221211313212111yxaxaxayxaxaxayxaxaxa 设有方程组设有方程组464 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）（）（）（可可改改写写为为：223131333332312122223132121111111xaxayaxxaxayaxxaxayax474 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德

29、尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）（）（）（迭代格式为：迭代格式为：（)1223)1131333)13)(323)1121222)12)(313(212111)1111)1 kkkkkkkkkxaxayaxxaxayaxxaxayax484 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）若式中的若式中的aij对于对于Yij、xi对应对应Ui，yi对应对应 iiUS个个节节点点：则则对对于于第第iUSUYBBB* nijjjijiiiiiiiiinij

30、jjijiiiUYUjQPYUUjQPUYUY111494 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其为平衡节点，其余为余为PQ节点，则有：节点，则有： )(3)1(232131)(33333)1(3)(2)(323121)(22222)1(211knnkkkknnkkkUYUYUYUjQPYUUYUYUYUjQPYU504 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭

31、代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其为平衡节点，其余为余为PQ节点，则有：节点，则有： ) 1(11) 1(2211)() 1()()(11) 1(1111)() 1(11knnnknnknnnnnknkninkiiikiiiikiiiiikiUYUYUYUjQPYUUYUYUYUYUjQPYU514 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点此时可

32、用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其为平衡节点，其余为余为PQ节点，则有：节点，则有：；，一一般般先先假假设设一一组组）（）（ 00 . 1), 3 , 2 , 1()1(00iiUniU；计计算算), 3 , 2 , 1()2()1(niUi ）。式式不不满满足足，则则回回到到（给给定定的的允允许许误误差差；如如该该为为事事先先，检检验验）（2), 3 , 2 , 1()3()(1 niUUkiki 计算步骤为：计算步骤为：524 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）对各类

33、节点的计算和处理对各类节点的计算和处理 由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同，由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同，约束条件不同，在计算过程中的处理不同。约束条件不同，在计算过程中的处理不同。（1）PQ节点：按标准迭代式直接迭代；节点：按标准迭代式直接迭代；（2）PV节点：已知的式节点：已知的式Pp和和Up，求解的是，求解的是Qp，p；按；按标准迭代式算出标准迭代式算出Up (k)， p (k)后，首先修正后，首先修正:)()(kppkpUU 然后修正然后修正)(ImIm)(*)1(*12*1*1*)()(*)()(kjnpjpikjpjpipkpkpkpkpUYUYUYUIUQ

34、534 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理对各类节点的计算和处理检查无功是否越限，如越限，取限值检查无功是否越限，如越限，取限值,此时：此时：PVPQmax)(minpkppQQQ )1()( kpkpUQ计算计算然后再用然后再用 )()(11) 1(1111)() 1()(1knpnkpppkppppkpppppkpUYUYUYUYUjQPYUk544 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解

35、非线（常用于解非线性方程）性方程）原理：原理：求解此方程。求解此方程。设有非线性方程设有非线性方程0)( xf将满足将满足，则真解，则真解，它与真解的误差为，它与真解的误差为先给定解的近似值先给定解的近似值,)0()0()0()(xxxxxo 0)()0()0( xxf按泰勒级数展开，并略去高次项按泰勒级数展开，并略去高次项0)()()0()0()0( xxfxf554 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）原理：原理：)()()0()0()0(xfxfx )0()0()1(xxx 修正修正)()(

36、)1()1()1(xfxfx 2)(1)()( kkxxf或或直至直至)(kx)1( kx)2( kx)3( kx564 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）nnnnnyxxxfyxxxfyxxxf ）非非线线性性方方程程组组：,(,(,(2122121211574 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程），则则有有：，与与精精确确解解相相差差。设设近近似似解解，其其近近似似解解为为nnxxxxxx 21

37、)0()0(2)0(1nnnnnnnnyxxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxf ）)0(2)0(21)0(12)0(2)0(21)0(121)0(2)0(21)0(11,(,(,(584 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）：将将上上式式按按泰泰勒勒级级数数展展开开iinniiininniyxxfxxfxxfxxxfxxxxxxf 0202101) 0() 0(2) 0(1) 0(2) 0(21) 0(1,(,(）594 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代

38、法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）由由此此可可得得：nnnnnnnnnnnnnnyxxfxxfxxfxxxfyxxfxxfxxfxxxfyxxfxxfxxfxxxf 0202101) 0() 0(2) 0(120220221012) 0() 0(2) 0(1210120211011) 0() 0(2) 0(11,(,(,(）604 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）为为：线线性性方方程程或或修修正正方方程程组组 nnnnnnnnnnnnxxxxfxfxfxfxfx

39、fxfxfxfxxxfyxxxfyxxxfy21002010202201201021011) 0() 0(2) 0(1) 0() 0(2) 0(122) 0() 0(2) 0(111,(,(,(）61例题：如图所示，母线例题：如图所示，母线1为平衡节点，为平衡节点，10，U11.0，母线，母线2为为PV节点，节点，U20.95，P2PG2PL2422，母线，母线3为为PQ节点，节点， P3PL34.0 ， Q3QL31.5 。试写出。试写出此系统的功率方程。此系统的功率方程。624 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于

40、解非线性方程）性方程）的的矩矩阵阵形形式式为为：线线性性方方程程或或修修正正方方程程组组xJf 的的雅雅可可比比矩矩阵阵ifJ（1）将）将xi(0)代入，算出代入，算出f，J中各元素，代入上式方程组，中各元素，代入上式方程组，解出解出xi(0)；（2）修正）修正xi(1) xi(0) xi(0) ，算出，算出f，J中各元素，代入中各元素，代入上式方程组，解出上式方程组，解出 xi(1) ；2)(1)(x)x( kkf或或直至直至634 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）（1）将）将xi(0)代入

41、，算出代入，算出f，J中各元素，代入上式方程组，中各元素，代入上式方程组，解出解出xi(0)；（2）修正）修正xi(1) xi(0) xi(0) ，算出，算出f，J中各元素，代入中各元素，代入上式方程组，解出上式方程组，解出 xi(1) ；2)(1)(x)x( kkf或或直至直至计算步骤：计算步骤：注意注意：xi的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。644-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式节点电压用直角坐标表示：节点电压用直角坐标表示：iiijfeU ijijijjBGY BB

42、BUSUY * iijjnjijijiijQPjfejBGjfe 1)( iinjjijjijjijjijiijQPeBfGjfBeGjfe 1)(654-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 injjijjijijijjijiPeBfGffBeGe 1)( injjijjijijijjijiQeBfGefBeGf 1)(首先对网络中各节点作如下约定：首先对网络中各节点作如下约定：（1）网络中共有）网络中共有n个节点，编号为个节点，编号为1，2，3，n；（2）网络中（）网络中（m1）个）个PQ节点，一个平衡节点，编节点，一

43、个平衡节点，编号为号为1，2，m，其中，其中1sm为平衡节点；为平衡节点；（3）nm个个PV节点，编号为节点，编号为m+1,m+2,，n.664-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 injjijjijijijjijiPeBfGffBeGe 1)( injjijjijijijjijiQeBfGefBeGf 1)(222iiiUfe (m-1)个个PQ节点节点(n-m)个个PV节点，共节点，共n-1个个(m-1)个个PQ节点节点(n-m)个个PV节点节点674-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流

44、计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 njjijjijijijjijiiieBfGffBeGePP1)( njjijjijijijjijiiieBfGefBeGfQQ1)(2222iiiifeUU 相应的：相应的：684-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程用直角坐标表示的修正方程 nnppnnnnnpnpnnnnnnnnnpnpnnnnpnpnpppppppppnpnppppppppnnppnnppnnppppnnppnnppefefefefSRSRSRSRNHNHNHNHSRSRSRSR

45、NHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHUPUPQPQP221122112211221122112222222221212222222221211111111111111112121111222211PQ节点节点PV节点节点2(nm)2(m1)2(nm)2(m1)694-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程用直角坐标表示的修正方程jiijjiijePNfPH jiijjiijeQLfQJ jiijjiijeUSfUR 22704-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计

46、算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示的另一种修正方程式为以极坐标表示的另一种修正方程式为 npnnnpnnnnpnppppppnpnpnpnpnpUUUUHHNHNHHHNHNHJJLJLJHHNHNHJJLJLJHHNHNHPPQPQP 2221112211221122222221212222222121111212111111121211112211PQ节点节点PV节点节点2(nm)2(m1)2(nm)2(m1)71用极坐标表示的修正方程式为用极坐标表示的修正方程式为4-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计

47、算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式jjiijjiijUUPNPH jjiijjiijUUQLQJ 724-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式雅可比矩阵的特点：雅可比矩阵的特点： （1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数，）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数，在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩阵各元素的值；阵各元素的值； （2）雅可比矩阵各非对角元素均

48、与）雅可比矩阵各非对角元素均与YijGijjBij有有关，当关，当Yij0，这些非对角元素也为，这些非对角元素也为0，将雅可比矩阵进，将雅可比矩阵进行分块，每块矩阵元素均为行分块，每块矩阵元素均为22阶子阵，分块矩阵与节阶子阵，分块矩阵与节点导纳矩阵有相同的稀疏性结构；点导纳矩阵有相同的稀疏性结构； （3）非对称矩阵。）非对称矩阵。734-4 P4-4 PQ Q分解法潮流计算分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 2211212221222221121111121121212121222122222112111112112121UUUULLJJJJLLJJJJNNH

49、HHHNNHHHHNNHHHHNNHHHHQQPPPPnpnpnpnnnnnpnnpppnppppnpnpnp (m-1)(n-1)(m-1)(m-1)(n-1)(n-1)(n-1)(m-1)744-4 P4-4 PQ Q分解法潮流计算分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 UULJNHQP 1、对修正方程式的第一步简化、对修正方程式的第一步简化 高压网络中，各元件的高压网络中，各元件的XR，P，相应的，相应的J0；U Q，N 0。 UULHQP 00754-4 P4-4 PQ Q分解法潮流计算分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 2、

50、对修正方程式的第二步简化、对修正方程式的第二步简化 高压网络中，各元件的高压网络中，各元件的XR，使，使GijBij，再加上，再加上系统稳定性的要求，即系统稳定性的要求，即| i j| | i j|max， | i j|max（10 20）。）。ijijijijijBG cossin1cos 3、对修正方程式的第三步简化、对修正方程式的第三步简化iiijQUB2764-4 P4-4 PQ Q分解法潮流计算分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 nnnnnnnnnnUUUBBBBBBBBBUPUPUP 22112122221112112211774-4 P4-4 PQ

51、 Q分解法潮流计算分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 mmmmmmmmmUUUBBBBBBBBBUQUQUQ212122221112112211784-4 P4-4 PQ Q分解法潮流计算分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式缩写为缩写为 UBUPUBUQ 794-4 P4-4 PQ Q分解法潮流计算分解法潮流计算 P-Q分解法分解法是牛顿是牛顿-拉夫逊法潮流计算的一种拉夫逊法潮流计算的一种简化方法。简化方法。 牛顿牛顿-拉夫逊法的缺点：牛顿拉夫逊法的缺点：牛顿-拉夫逊法的雅可拉夫逊法的雅可比矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形

52、比矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形成和求解，这占据了计算的大部分时间，成为牛顿成和求解，这占据了计算的大部分时间，成为牛顿-拉夫逊法计算速度不能提高的主要原因。拉夫逊法计算速度不能提高的主要原因。 P-Q分解法利用了电力系统的一些特有的运分解法利用了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿行特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，以改进和提拉夫逊法做了简化，以改进和提高计算速度。高计算速度。80牛顿牛顿- -拉夫逊法修正方程展开为：拉夫逊法修正方程展开为：根据电力系统的运行特性进行简化：根据电力系统的运行特性进行简化：1.1.考虑到电力系统中有功功率分布主要受节点电压相考虑到电力系统中有功功率分

53、布主要受节点电压相角的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的影角的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的影响，所以响，所以可以近似的忽略电压幅值变化对有功功率可以近似的忽略电压幅值变化对有功功率和电压相位变化对无功功率分布的影响和电压相位变化对无功功率分布的影响，即：，即： ULUJQUNUHP11ULUQHPJN1,0, 0812.2.根据电力系统的正常运行条件还可作下列假设：根据电力系统的正常运行条件还可作下列假设：1)1)电力系统正常运行时线路两端的电压相位角一般变化电力系统正常运行时线路两端的电压相位角一般变化不大（不超过不大（不超过10201020度）；度）；2)2)电力系统中一般架空线路的电抗远大于电阻；电力系统中一般架空线路的电抗远大于电阻；3)3)节点无功功率相应的导纳节点无功功率相应的导纳Q/UQ/U* *U U远小于该节点的自导远小于该节点的自导纳的虚部。纳的虚部。用算式表示如下：用算式表示如下：iiiiijijijijBUQBG2 )3sin )21cos ) 182由以上假设，可得到雅可比矩阵的表达式为：由以上假设，可得到雅可比矩阵的表达式为：修正方程式为：修正方程式为：U U为节点电压有效值的对角矩阵，为节点电压有效值的对角矩阵，B B为电纳矩阵（由节点为电纳矩阵（由节点导纳矩阵中各元素的虚部构成）导纳矩阵中各元素的虚部构成）iii