解析函数的洛朗展式与孤立奇点

1、 第一节第一节 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式 第二节第二节 解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点 第三节第三节 解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质 形如形如的级数称为双边幂级数的级数称为双边幂级数 2212210azcazcazcazccazcnnn第一节第一节解析函数的罗朗展式解析函数的罗朗展式1 1 双边幂级数双边幂级数 正则部分是幂级数，故收敛圆正则部分是幂级数，故收敛圆 对于主要部分对于主要部分 ， 可作代换可作代换RRaz01nnnazcaz 1 成为一幂级数成为一幂级数 它的收敛区域为它的收敛区域为 221CCr1raz 因此当因此当 时，两者有公共的收敛时，

2、两者有公共的收敛区域即圆环：区域即圆环： 。在此圆环内有在此圆环内有Rr Razr nnnazczfzf21 定理定理5.1设双边幂级数设双边幂级数的收敛圆环为的收敛圆环为nnnazcRrRazrH, 0: 则（则（1）（）（5.1）在内绝对收敛且内）在内绝对收敛且内闭一致收敛于闭一致收敛于 （2）在内解析）在内解析（3） 级数在内可逐项求导任意次。级数在内可逐项求导任意次。 H zfzfzf21 zfHH 2、解析函数的罗朗展式、解析函数的罗朗展式 定理定理5.2（罗朗定理）（罗朗定理） 在圆环内解析的函在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数数必可展开成双边幂函数 其中其中 且展式唯一且展式

3、唯一 ，210211ndaficnn 定义定义5.1 （5.2）称为在点的罗朗展式，）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（）称为其罗朗系数，而（5.2）右边）右边的级数则称为罗朗级数。的级数则称为罗朗级数。 注意注意 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。 例例5.1 将函数将函数 在下列三个区域内在下列三个区域内（1）圆）圆 （2）圆环）圆环 （3）圆环）圆环内求的罗朗展式。内求的罗朗展式。 211zzzf1z21 z z2 zf 解：首先解：首先 1121zzzf （）在（）在圆内圆内1z12z nnnzzzzf01211212111 （）在圆环（）在圆

4、环 内内 有有故故 21 z11z12z 1011101211221111121121nnnnnnnnnnzzzzzzzzzf （）在圆环上（）在圆环上故故 z211z12z 210012112111112111nnnnnnnnzzzzzzzzzzf 3、孤立奇点邻域内的罗朗展式、孤立奇点邻域内的罗朗展式 定义定义5.2 若在奇点的若在奇点的某一去心邻域某一去心邻域内解析，则称为内解析，则称为 的一个孤立的一个孤立奇点。奇点。 zfa RazaK0:a zf 若为的一个孤立奇点，若为的一个孤立奇点，则必存在数，使在的去心则必存在数，使在的去心邻域邻域 内可展成罗朗级数。内可展成罗朗级数。 a

5、zfR zfa RazaK0: 例例5.2 求求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。 211zzzf 解：有两个奇点和。解：有两个奇点和。在的（最大）去心邻域在的（最大）去心邻域内内1z2z1z110 z 011111112111nnzzzzzzzf 在的（最大）去心邻域在的（最大）去心邻域内内2z110 z nnnzzzzzf212121210 孤立奇点的分类孤立奇点的分类可去奇点、极点、本性奇点。可去奇点、极点、本性奇点。 定义5.3 设是的孤立奇点， （1） 若主要部分为0，则称是的可去奇点 f(z)。 （2）若主要部分为有限多项，则称是的 极点，此时

6、主要部分的系数必满足 此时称 为 极点阶级点，亦称为级极点。 若主要部分有无限多项，则称是f(z)的本性奇点。 a zf zfa zf0mcmama zf 2、可去奇点的判断、可去奇点的判断 定理定理5.3 设为的孤立奇点，设为的孤立奇点，则下述等价：则下述等价： （1） 在的主要部分为在的主要部分为0； （2） （）（） 在点的某去心邻域内在点的某去心邻域内有界。有界。 a zf zfa bzfazlim zfa 证：证： （1）（）（2）由（）由（1）有）有 因此因此 Razazcazcczf02210 0limczfaz（2）（）（3）即例）即例1.27（3）（）（1）考虑主要部分的系数

7、）考虑主要部分的系数其中可任意小，故其中可任意小，故 daficnn121a: nnnnMMdafc2212111, 210，ncn 极点极点 定理定理5.4 若以点为孤立若以点为孤立奇点，则下述等价奇点，则下述等价 （1） 是级极点，即主要部分是级极点，即主要部分为为am01mmmcazcazc zfa （）（） 在点的去心邻域内有在点的去心邻域内有 且解析且且解析且 （）（） 以为级零以为级零点。点。 zfa mazzzf z 0a zfzg1am 定理定理5.5 的孤立奇点为极点的的孤立奇点为极点的充分必要条件是充分必要条件是 zfa zfazlim 5、本性奇点、本性奇点 定理定理5.

8、6 的孤立奇点为本性的孤立奇点为本性奇点的充分必要条件是奇点的充分必要条件是 zfa 有限数bzfazlim 定理定理5.7 若为之一本若为之一本性奇点，且在点的充分小去心邻域性奇点，且在点的充分小去心邻域内不为零，则亦必为内不为零，则亦必为的本性奇点。的本性奇点。 如：如： 为的本性奇点，为的本性奇点，亦为的本性奇点。亦为的本性奇点。 az zfaaz zf10zze10zze1 6、毕卡定理、毕卡定理 定理定理5.8 若为的本性奇若为的本性奇点，则对任意数（可以是），点，则对任意数（可以是），都有一个收敛于的点列都有一个收敛于的点列使使a zfA nzAzfnnlim 定理定理5.9（毕卡

9、大定理）（毕卡大定理） 若为若为的本性奇点，则对每一个，的本性奇点，则对每一个， 除掉可能一个值外，必有趋于除掉可能一个值外，必有趋于的无限点列的无限点列 使使a zfA0AA a nzAzfn 定义定义5.4 设函数在无穷远点设函数在无穷远点（去心）邻域（去心）邻域内解析，则称为的一个孤内解析，则称为的一个孤立奇点。立奇点。 zf zrN: zf 作变换于是函数作变换于是函数在去心邻域在去心邻域内解析。即是内解析。即是的一孤立奇点，的一孤立奇点，依此可规定的类型。依此可规定的类型。z1 zff1 rK10:00 定义定义5.5 若为的可去若为的可去奇点、级极点或本性奇点，则我奇点、级极点或本

10、性奇点，则我们相应地称为们相应地称为的可去奇点、级极点或本性奇点。的可去奇点、级极点或本性奇点。 0 mz zfm 类似于有限孤立奇点的分类，可依在类似于有限孤立奇点的分类，可依在的主要部分的项数对的主要部分的项数对进行分类。进行分类。主要部分为主要部分为 zz1nnnzb 例例5.6 求出求出（1）（）（）的奇点（包括），并确定其类别的奇点（包括），并确定其类别 11tanzz11secz 解：（解：（1 1）以为可去奇点以为可去奇点1cos11sin11tanzzzzz1z为一级极点为一级极点为非孤立奇点为非孤立奇点（因是的聚点）（因是的聚点），210211kkzkzzkz （2 2）令，得该函数的所令，得该函数的所有奇点为有奇点为11cos111seczz2111kz是一级极点，是非是一级极点，是非孤立奇点，因是的聚点。至于孤立奇点，因是的聚点。至于应是可去奇点。应是可去奇点。z，101211kkzkkz1z1zkzz 例例5.7 若在若在内解析，且不恒为零，又若有一列异于内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点的零点，但却以为聚点的零点，试证必为的本性奇点。试证必为的本性奇点。 zfRaz0 zfaaa 证：证： 是的孤立奇点，且不能是是的孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令可去奇点，若不然，令 则则在内解析且由假设有以在内解析