马克思 第一章

1、1数值分析主讲数值分析课题组Chenning2数值分析课程简介数值分析课程简介 数值分析主要包括数值分析主要包括计算方法计算方法和和数值方法数值方法两两部分。它是部分。它是研究科学与工程技术中数学问题的研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论数值解及其理论的一个重要的数学分支，它主的一个重要的数学分支，它主要涉及到要涉及到代数代数、微积分微积分、微分方程的数值解微分方程的数值解等等问题。问题。 数值分析及计算的主要任务，就是数值分析及计算的主要任务，就是研究适合研究适合于在计算机上使用的的于在计算机上使用的的数值计算方法数值计算方法及与此及与此相相关的理论，如方法的收敛性、稳定性及误关的理

2、论，如方法的收敛性、稳定性及误差分差分析等。析等。此外，还要根据计算机的特点，研究计此外，还要根据计算机的特点，研究计算时间最短、需要计算机内存最优等计算方法算时间最短、需要计算机内存最优等计算方法问题。问题。数值分析数值分析3第一章第一章 数值计算中的误差分析数值计算中的误差分析 第二章第二章 线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法第六章第六章 曲线拟合曲线拟合 第七章第七章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分第九章第九章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法目目 录录第八章第八章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法第五章第五章 函数插值函数插值第三章第三章 线性方程组的迭代解

3、法线性方程组的迭代解法第四章第四章 矩阵特征值特征向量的计算矩阵特征值特征向量的计算数值分析数值分析4第一章第一章 数值计算中的误差分析数值计算中的误差分析 ：本章的主要内容有（一） 误差的来源；误差的来源；（二）（二） 绝对误差、相对误差和有效数值绝对误差、相对误差和有效数值; ;（三）（三） 数值计算中误差的传播；数值计算中误差的传播；（四）（四） 数值计算中应注意的问题数值计算中应注意的问题。数值分析数值分析5第一节第一节 误差与数值计算误差与数值计算的误差估计的误差估计第二节第二节 选用和设计算法选用和设计算法 适应遵循的原则适应遵循的原则数值分析数值分析6误差与数值计算误差估计误差与

4、数值计算误差估计一一 误差的来源与分类误差的来源与分类二二 误差与有效数字误差与有效数字数值分析数值分析7一一 误差的来源与分类误差的来源与分类 按照误差的来源按照误差的来源, ,误差可以分为误差可以分为: :模型误差模型误差、观测误差观测误差、截断误差截断误差、舍入误差舍入误差四种四种. . 1. 模型误差模型误差 用数值计算方法解决问题时用数值计算方法解决问题时, ,首先必须首先必须建立数学模型建立数学模型. .由由于实际问题的复杂性于实际问题的复杂性, ,在对实际问题进行抽象与简化时在对实际问题进行抽象与简化时, ,往往往为了抓住主要因素而忽略了一些次要因素往为了抓住主要因素而忽略了一些

5、次要因素, ,这样就会使得这样就会使得建立起来的数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述建立起来的数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述, ,它它与实际问题之间总会有一些误差与实际问题之间总会有一些误差. .我们把这种数学模型与实我们把这种数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为际问题之间出现的这种误差称为模型误差模型误差. .数值分析数值分析8 2 2 观测误差观测误差 在数学模型中往往有一些观测或实验得来的物理在数学模型中往往有一些观测或实验得来的物理量量, ,由于测量工具和测量手段的限制由于测量工具和测量手段的限制, ,它们与实际量大它们与实际量大小之间必然存在误差小之间必然存在误差, ,

6、这种误差称为这种误差称为观测误差观测误差. . 3 3 截断误差截断误差 由实际问题建立起来的数学模型由实际问题建立起来的数学模型, ,在很多情在很多情 况下要得到况下要得到准确解是困难内的准确解是困难内的, ,通常要用数值方法求出它的近似解通常要用数值方法求出它的近似解. .这这种数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的种数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差称为误差称为截断误差截断误差,由于截断误差是数值计算方法固有的由于截断误差是数值计算方法固有的, ,故又称为故又称为方法误差方法误差. .9 4 4 舍入误差舍入误差 用计算机进行数值计算时用计算机进行数值计算时, ,

7、由于计算机的数位有由于计算机的数位有限限, ,计算时只能对超过位数的数字进行四舍五入计算时只能对超过位数的数字进行四舍五入, ,由此由此产生的误差称为产生的误差称为舍入误差舍入误差. .二二 . .误差与有效数字误差与有效数字 1 1 绝对误差与绝对误差限绝对误差与绝对误差限e=x-x*. 称为近似值称为近似值x x* *的的绝对误差限绝对误差限。 *xxe简称简称误差限误差限或或精度精度.设设x x* *为准确值为准确值x x的一个近似值，称的一个近似值，称为近似值为近似值x x* *的的绝对误差绝对误差10有了误差限和近似值，可得到准确值范围有了误差限和近似值，可得到准确值范围*.xxx

8、易知，由四舍五入所得到的数，其易知，由四舍五入所得到的数，其误差限误差限一定一定不超过被保留数不超过被保留数的的最后数位最后数位上的上的半个单位半个单位213.143.140.001610 .2( 3.14163.140.0016)313.1423.1420.00041102(3.142413.1420.00041)1112314313.14159265.3.142,3.141,22 7.3.141593.1423.1423.14159110.00040,1010 ,22xxxxx 例：问例：问3.142,3.141,22/7分别作为分别作为 的近似值各具有几位有效数字？的近似值各具有几位有效

9、数字？3.142具有具有4位有效数字；位有效数字；13223.141593.1410.00059,111010,22xx3.141具有具有3位有效数字；位有效数字；33222 73.141593.142850.00126,111022 710 ,22x22/7具有具有3位有效数字。位有效数字。122 2 绝对误差、相对误差和其绝对误差、相对误差和其误差误差限限 设设x x* *为准确值为准确值x x的一个近似值，称的一个近似值，称绝对绝对误差限误差限与与准确值准确值之比为近似值之比为近似值x x* *的的相对误差相对误差。记记: :*,rreex*rexxexx称为称为x x* *的的相对误差

10、限相对误差限。若存在正数若存在正数 , ,使得使得133 3 有效数字有效数字 有效数字有效数字。x,xnxn如果近似值 的误差限是其某一位上的半个单位且该位直到 的第一位非零数字一共有 位，则称近似值 有 位1*,nx 自左向右看，第一个非零数自左向右看，第一个非零数误差不超过该数的半个单位。误差不超过该数的半个单位。14*xx一般地，任何一个实数 经过四舍五入后得到的近似值式都可以写成如下标准形*12121211(101010 ) 100.10.nmnmnmmnx 为所以，当其绝对误差限nmxx1021*数。中的到是，中的数，到是整数为位有效数字，其中具有时，则称近似值9091,321*n

11、mnx15有三位有效数字。 表示近似数0.003400准确到小数点后第五位,例例1-1：510.003400102x是具有7位有效数字的近似数， 其误差限是*31104 732xxm n *1452.046x 例例1-2：16绝对误差（限）绝对误差（限）相对误差（限）相对误差（限）有效数字有效数字nmxx1021*rexxexx111102na*1210.10(0)mnxa aaan 有 位111102(1)nra *1210.10(0)mnxa aaan 有 位有效数字与绝对误差、相对误差的关系有效数字与绝对误差、相对误差的关系,rree17 4 4 有效数字与绝对误差、相对误差的关系有效数

12、字与绝对误差、相对误差的关系：的绝此近似值位有效数字，则有的近似值若某数*) 1 (xnxx 对误差限为nmxx1021*1211*111*(2)0.10 (0)110,21102(1)mnnrnrxxa aaanxaaxn 若 的近似值有 位有效数字，则为其相对误差限。反之 若 的相对误差限 满足则 至少具有 位有效数字。18解解于是有字是的近似值的首位非零数, 4201 %110421)() 1(* nrx即可满足要求。故取解之得3,2nnEX:P13.519小结小结模型误差模型误差 观测误差观测误差 截断误差截断误差 舍入误差舍入误差绝对误差绝对误差 绝对误差限绝对误差限 相对误差相对误

13、差 相对误差限相对误差限有效数字有效数字 有效数字与绝对误差、相对误差的关系有效数字与绝对误差、相对误差的关系20第二节第二节 选用和设计算法适应选用和设计算法适应 遵循的原则遵循的原则一、选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的一、选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播传播 二、尽量简化计算步骤以减少计算次数二、尽量简化计算步骤以减少计算次数 三、尽量避免两个相邻的数相减三、尽量避免两个相邻的数相减四、小结四、小结21*1212()(,)(,)nne yyyf xxxf xxxniiinxexxxxf1*2*1*)(),(基本运算：基本运算：指四则运算和常用函数的计算。设数值指四则运算和常

14、用函数的计算。设数值nxxx,21),(21nxxxfnxxx,21nxxx*2*1*,),(*2*1*nxxxfy近似值分别是近似值分别是相应的解为相应的解为计算中求解与参量计算中求解与参量有关有关, ,记：记：1、基本运算的误差估计、基本运算的误差估计设设 在点在点 可微可微, ,当数据误差较小当数据误差较小时，解的时，解的绝对误差绝对误差为为 ),(*2*1*nxxxf22解的解的相对误差相对误差为为 )(),(),()(ln)()(*1*1*1*irniniinrxexxfxxxxffdyyeye注注:函数的和、差、函数的和、差、积、积、商的部分误差商的部分误差公式为：公式为：),()

15、()(2121xexexxe)()()(2212121121xexxxxexxxxxerrr)()/()()/(222112121xexxxxxxe)()()/(2121xexexxerrr1 22112()( )( )e xxx e xxe x1 212()( )( )rrre xxe xe x23)()()()()/()()()()()()()()()()(212121212121212121xexexexexxexexexexexxexexexexexxerrrrrrrrrr可得： 即：和、差的误差限不超过各数的误差限的和，积、即：和、差的误差限不超过各数的误差限的和，积、 商的相对误差

16、限不超过各数的相对误差限的和。商的相对误差限不超过各数的相对误差限的和。 则则 的相对误差为的相对误差为x x相对误差的相对误差的n n倍倍。特别有。特别有 相对误差为相对误差为x x相对误差的相对误差的0.50.5倍。倍。 nxxnxy 例例1 1、设、设 , ,求求y y的相对误差与的相对误差与x x的相对误差之的相对误差之间的关系。间的关系。)()(ln)(ln)(xnexndxdyernr解解：由公式知，：由公式知，2410)5/(dxxxInn(1)( 1 , 1,151)(, 2 , 1,5111BnnkIkIAnInIkknn(2)算法算法1：x=0.182322for n=1:

17、20 n x=-5*x+1/nend算法算法2：x=0.00873016for n=20:-1:1 n-1 x=-(1/5)*x+1/(5*n)endx =0.1823 n =1 x = 0.0884 n =2 x =0.0581 n = 3 x = 0.0431 n = 4 x = 0.0346 n = 5x = 0.0271 n =6 x = 0.0313 n =7 x =-0.0134 n = 8 x =0.1920 n = 9 x = -0.8487 n =1x = 4.3436 n =11 x =-21.6268 n =12 x =108.2176 n =13 x =-541.011

18、0 n =14 x =2.7051e+003n =15 x = -1.3526e+004 n =16 x =6.7628e+004 n =17 x = -3.3814e+005 n =18 x =1.6907e+006 n =19 x =-8.4535e+006 n =20 x =4.2267e+007x = 0.0087 ans = 19 x = 0.0083 ans = 18 x = 0.0089 ans =17 x = 0.0093 ans = 16 x = 0.0099 ans = 15 x = 0.0105EX25 一个算法是否稳定是非常重要的，如果算法不一个算法是否稳定是非常重要的

19、，如果算法不稳定，则数值的结果就会严重背离数学模型的稳定，则数值的结果就会严重背离数学模型的真实真实结果结果。在选择数值计算公式来进行计算时，应用在。在选择数值计算公式来进行计算时，应用在数值计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。数值计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。一、选用数值稳定的计算公式，控制舍一、选用数值稳定的计算公式，控制舍 入误差的传播入误差的传播例例 1 计算定积分计算定积分101dxexeIxnn(1.2.1)26解解 算法一算法一 利用分部积分法不难求得递推关系式利用分部积分法不难求得递推关系式: :(1.2.2) 6321. 011101eInIInn由上式可计

20、算得7280. 0,7200. 0,0400. 01600. 0,1680. 0,2080. 02640. 0,3680. 0,6321. 0876543210IIIIIIIII27由于(1.2.3) 11)(max010101ndxxeeInxxn125. 0817I:.,)2 . 2 . 1 (87原因在于果是错误的的结算出的可见按递推关系式II则由以上的则由以上的 的不等式可以看出的不等式可以看出 nI28.,87,1021878740的结果错误从而使得倍与该误差放大了时与传播到很快此误差在运算中传播得的舍入误差本身有不超过IIIII 算法二算法二改写为将递推关系式)2 . 2 . 1

21、()1 (11nnInI29因为1011011)(minnedxxeeInxxn可得结合)3 . 2 . 1 (1111nInen有由作初始值取时当)4 . 2 . 1 (,1124. 0,77In306320. 0,3680. 02643. 0,2073. 0,1708. 01455. 0,1269. 0,1124. 001234567IIIIIIII.6321. 0,07相差无几的精确结果与最后便得到小的的计算过程中是逐渐减引起的初始误差在以后由于此时II 31s0=1-exp(-1);s1=1-s0;for n=2:20 s(n)=1-n*s(n-1);ends(1:20)n11nnII

22、n11nnIIn11nnII01234560.63210.36790.26420.20730.17090.14550.1268789101112130.11240.10090.09160.08390.07740.07180.0669141516171819200.06270.05900.05550.0572-0.02951.5596-30.1924s(30)=1/31;for n=30:-1:2 s(n-1)=(1-s(n)/n;ends(1:20)nnIInn/ )1 (1nnIInn/ )1 (1nnIInn/ )1 (1201918171615140.63210.36790.26420.

23、20730.17090.14550.1268131211109870.11240.10090.09160.08390.07740.07180.066965432100.06270.05900.05570.05280.05010.04770.045532二、尽量简化计算步骤以减少计算次数二、尽量简化计算步骤以减少计算次数 同样一个问题同样一个问题, ,如果能减少运算次数如果能减少运算次数, ,不但不但可以节省计算机的计算时间可以节省计算机的计算时间, ,而且还能减少舍而且还能减少舍入误差入误差, ,这是数值计算必须遵守的原则这是数值计算必须遵守的原则. .例例2256.x计算的值解解,255,x若将 的值逐个相乘 那么需要作次乘法 但若写成 256248163264128xxxxxxxxxx .只 要 作 8次 乘 法 就 可 以 了33三、尽量避免两个相邻的数相减三、尽量避免两个相邻的数相减 在数值计算中，两个相近的数相减会造