高二数学均值不等式

1、基本不等式-均值不等式 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）证明：证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba2221指出定理适用范围：指出定理适用范围： Rba,2强调取强调取“=”的条件：的条件： ba 定理：定理： 如果如果a, bR+，那么，那么 abba2（当且仅当（当且仅当a=b 时，式中等号成立）时，式中等号成立）证明：证明： 22()()2aba b abba2 即：即： abba2当且仅当当且仅当a=b时时abba2均值定理：均值定理：注意：注意：1适用的范围：适用的范围：a, b 为正数

2、为正数. 2语言表述：语言表述：两个正数两个正数的算术平均的算术平均数数不小于不小于它们的几何平均数。它们的几何平均数。称称2ab为为a，b的算术平均数，的算术平均数，3.我们把不等式我们把不等式 (a0,b0)2abab称为基本不等式称为基本不等式称称ab的几何平均数。的几何平均数。为为a，b2ab把把看做两个看做两个正数正数a，b的等差中项，的等差中项，ab看做看做正数正数a，b的等比中项，的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等它们的等比中项。比中项。几何直观解释：几何直观解释：令正数令正数a，b为两条线段

3、的长，用几何作为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为图的方法，作出长度为 和和的两条线段，然后比较这两条线段的长。的两条线段，然后比较这两条线段的长。2abab具体作图如下：具体作图如下：（1）作线段）作线段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB为直径作半圆为直径作半圆O；（3）过）过D点作点作CDAB于于D，交半圆于点，交半圆于点C（4）连接）连接AC，BC，CA，则，则2abOCCDababa+b2ba ODCBA当当ab时，时，OCCD，即，即2abab当当a=b时，时，OC=CD，即，即2abab基础知识基础知识基本不等式的几种特殊变形：基本不等式的几种特殊变形

4、：变形（变形（1）：）：2() ,( ,)2ababa bR12,(0) aaa变形（变形（2）：）：变形（变形（3）：）：22 ,(0)aba bb注意等号成立的条件注意等号成立的条件基础知识基础知识几个基本概念：几个基本概念：（1）n个正数的算术平均值：个正数的算术平均值：（2） n个正数的几何平均值个正数的几何平均值：123nna aaa123naaaan123,.,na aaaR（3）两个平均值的关系：）两个平均值的关系：123123nnnaaaaa aaan注意式中等号成立的条注意式中等号成立的条件件基础知识基础知识（4）两个正数的平方平均值：）两个正数的平方平均值：,a bR222

5、ab211ab2221122abababab（5）两个正数的调和平均值：）两个正数的调和平均值：关系：关系：注意式中等号成立的条注意式中等号成立的条件件 加权、加权、 算术、算术、 几何、调和几何、调和 基础知识基础知识（6）不等式的变形：）不等式的变形：222()22abab, a bR注意式中等号成立的条注意式中等号成立的条件件, a b的取值范围的取值范围, a bR例例1已知已知ab0，求证：，求证： ，并，并推导出式中等号成立的条件。推导出式中等号成立的条件。2baab证明：因为证明：因为ab0，所以，所以 ，根据均值不等式得根据均值不等式得0,0baab22bab aaba b即即

6、2baab当且仅当当且仅当 时，即时，即a2=b2时式中等号时式中等号成立，成立，baab因为因为ab0，即，即a，b同号，所以式中等号成同号，所以式中等号成立的条件是立的条件是a=b.例例2（1）一个矩形的面积为）一个矩形的面积为100m2，问，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是）已知矩形的周长是36m，问这个矩，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？规律：规律： 两个正数的积为常数时，它们的和有两个正数的

7、积为常数时，它们的和有最小值；最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。最大值。基础知识基础知识5.最值定理：最值定理：（1）若）若a,bR+且且ab=p（p为常数）则为常数）则pabba22（当且仅当（当且仅当a=b时取等号）时取等号）pba2min（2）若）若a+b=S(a,bR+,则则 （当且仅当（当且仅当a=b时取等号）时取等号） 4222sbaab42maxsab求最值要注意三点：求最值要注意三点：正数正数定值定值检验等号是否成立检验等号是否成立 例例3求函数求函数 的最大的最大值，及此时值，及此时x的值。的值。223( )(0)xxf xxx

8、5已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值)2(23)(xxxxf的最小值。，（其中求函数20sin4sin 3y 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值4 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值yxu112 已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值练习题：练习题：当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为48最小值为最小值为82 22( )f xxx3.已知已知x0，求函数，求函数 的最大值的最大值.32 2基础训练基础训练1.设设x+3y2=0，则函数，则函数z=3x+27y+3

9、的最小值是的最小值是DA. B.3+2 C.6 D.921132.若若t(0,1,则则2tt有最小值有最小值 .2 2A.3B2.2C. 2DB3.已知已知a,b是正数且是正数且a+b=1，求求 的最小值的最小值bay1111baabbbaababay221111119224124abbabaab解：（法一）解：（法一）abba21 ba当且仅当当且仅当 ，即，即 时，时，min9y4121ababba149yab21 ba当当 时，时，ymin=9 （法二）（法二）1 1121+ + +=1+a b abab11y = 1+1+=ab21,21ba当且仅当当且仅当 时取等号时取等号4.求下列函数的最值求下列函数的最值 的最小值的最小值 的最小值的最小值0, 0,1ccxxxy032xxxy 的最大值的最大值0432xxxy(1) (1) 的最大值的最大值(2) (2) 的最小值的最小值(3) (3) 的最小值的最