第二节平面图形面积

1、第二节平面图形面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形2. 极坐标情形极坐标情形xyo)(xfy ab面积元素面积元素: baxxfAd)(面积元素面积元素: baxxgxfAd)()(xxx d 1.直角坐标系情形直角坐标系情形xxfAd)(d xxgxfAd)()(d 选选 x 为积分变量为积分变量Oyabx)(xgy )(xfy xxxd abxoy例例1. 求椭圆求椭圆12222 byax解解: 14AA 所围图形的面积所围图形的面积. 利用对称性有利用对称性有.2 ; 0 0 ),20(sin taxtxttax则则令令ttabAdcos4 220 ba

2、4 21 2 . ba xxaabad4022 22xaaby 1A2xy 2yx 0).1 , 1(),0 , 0(xxxAd)( 210 10333223 xx.31 .22的图形的面积的图形的面积所围成所围成和和计算由两条抛物线计算由两条抛物线xyxy 例例2.解解: 由由xy 22xy 得交点为得交点为1xy .1 , 0, xx 为为积积分分变变量量选选 baxxgxfAd)()().9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy.3 , 00, 2 x21AA A2xy xxy63 .623图图形形的的面面积积所所围围成成的的和和计计算算由由曲曲线线xyxxy :先

3、先求求两两曲曲线线的的交交点点, 为为积积分分变变量量选选 x例例3.解解:1A2A21AAA xxxxd)6(2023 xxxxd)6(3230 .12253 0232431341 xxx2xy xxy63 3024334131 xxx1A2A :类似地类似地.)d( dcyyA xyo)(yx cdyyA)d(d 面积元素：面积元素：yy +dy选选 y 为积分变量为积分变量.d)()( dcyyyA xyo)(yx cd)(yx yy +dyyyyAd)()(d 面积元素：面积元素：).4,8(),2,2( 422xyxy 422)d24(yyyA.42 2的图形的面积的图形的面积所围成

4、所围成和直线和直线计算由曲线计算由曲线 xyxy求求两两曲曲线线的的交交点点,4, 2, yy为积分变量为积分变量选选例例4.解解:xxy22 oy4 xy)4,8()2,2( .18 -244 yx22yx 4232642 yyy.d)()( dcyyyA o A.x 2. 极坐标系情形极坐标系情形. 0)( ,)( ., , )( 且且上上连连续续在在其其中中求求其其面面积积围围成成一一曲曲边边扇扇形形及及射射线线设设由由曲曲线线)( ( )d o +d 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量， 其变化区间为其变化区间为 , , d)(21d2 A以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边

5、扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素： , . d)(212A. dAA3 作定积分作定积分r )( 对应对应 从从 0 变变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:)0( aa 202d)(21aA22a 20331 .3423a 到到 2 所围图形面积所围图形面积 . d212Axa 2o a xa2o)cos1( a12AA 利用对称性知利用对称性知.232a 022d)cos1(212 a 022d)coscos21( a022sin41sin223 a).0()cos1( aa面积面积所围平面图形的所围平面图形的求心形线求心形线 例例6.解解:1A d2121A14AA 402d 2cos214 a.2a xy 2cos22a 1A.2cos22所围图形的面积所围图形的面积求双纽线求双纽线 a 由对称性知由对称性知,例例7.解解:总面积等于第一象限部分面积的四倍总面积等于第一象限部分面积的四倍.4022sin a 内容小结内容小结平面图形的面积平面图形的面积极坐标方程极坐